autorregresión vectorial

Un modelo VAR describe la evolución de un conjunto de k variables, llamadas variables endógenas , a lo largo del tiempo. Cada período de tiempo se numera como t = 1, ..., T. Las variables se agrupan en un vector y _t , de longitud k. (De forma equivalente, este vector podría describirse como una matriz de ( k × 1) ). El vector se modela como una función lineal de su valor anterior. Los componentes del vector se denominan y _{i , t} , que representan la observación en el tiempo t de la i -ésima variable. Por ejemplo, si la primera variable del modelo mide el precio del trigo a lo largo del tiempo, entonces y _1,1998 indicaría el precio del trigo en el año 1998.  

Los modelos VAR se caracterizan por su orden , que se refiere al número de períodos de tiempo anteriores que utilizará el modelo. Siguiendo con el ejemplo anterior, un VAR de quinto orden modelaría el precio del trigo de cada año como una combinación lineal de los precios del trigo de los últimos cinco años. Un retardo es el valor de una variable en un período de tiempo anterior. Por lo tanto, en general, un VAR de orden p se refiere a un modelo VAR que incluye retardos para los últimos p períodos de tiempo. Un VAR de orden p se denota como "VAR( p )" y a veces se denomina "un VAR con p retardos". Un modelo VAR de orden p se escribe como

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{tp}+e_{t},\,}$

Las variables de la forma y _{t −i} indican el valor de la variable i períodos de tiempo antes y se denominan el "i- ésimo retardo" de y _t . La variable c es un vector k de constantes que sirve como término independiente del modelo. A _i es una matriz ( k × k ) invariante en el tiempo y e _t es un vector k de términos de error . Los términos de error deben satisfacer tres condiciones:  

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$Cada término de error tiene una media de cero.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$. La matriz de covarianza contemporánea de los términos de error es una matriz semidefinida positiva de k  × k denotada Ω. 
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{tk}')=0\,}$para cualquier k distinto de cero . No hay correlación a lo largo del tiempo. En particular, no hay correlación serial en los términos de error individuales. ^{[ 1 ]}

El proceso de elección del retardo máximo p en el modelo VAR requiere especial atención porque la inferencia depende de la corrección del orden de retardo seleccionado. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Tenga en cuenta que todas las variables deben ser del mismo orden de integración . Los siguientes casos son distintos:

• Todas las variables son I(0) (estacionarias): este es el caso estándar, es decir, un VAR en nivel
• Todas las variables son I( d ) (no estacionarias) con d  >  0:
  • Las variables están cointegradas : el término de corrección de errores debe incluirse en el VAR. El modelo se convierte en un modelo vectorial de corrección de errores (VECM), que puede considerarse un VAR restringido.
  • Las variables no están cointegradas : primero, las variables deben diferenciarse d veces y se obtiene un VAR en diferencias.

Se pueden apilar los vectores para escribir un VAR( p ) como una ecuación de diferencias de matrices estocásticas , con una notación matricial concisa:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

Un VAR(1) en dos variables se puede escribir en forma matricial (notación más compacta) como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

(en la que solo aparece una única matriz A porque este ejemplo tiene un retardo máximo p igual a 1), o, equivalentemente, como el siguiente sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

Cada variable del modelo tiene una ecuación. La observación actual (tiempo t ) de cada variable depende de sus propios valores rezagados, así como de los valores rezagados de cada una de las demás variables del modelo VAR.

Un modelo VAR con p retardos siempre puede reescribirse de forma equivalente como un modelo VAR con un solo retardo, redefiniendo adecuadamente la variable dependiente. La transformación consiste en apilar los retardos de la variable VAR( p ) en la nueva variable dependiente VAR(1) y añadir identidades para completar el número exacto de ecuaciones.

Por ejemplo, el modelo VAR(2)

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

puede reformularse como el modelo VAR(1)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

donde I es la matriz identidad .

La forma VAR(1) equivalente es más conveniente para derivaciones analíticas y permite enunciados más compactos.

Un modelo VAR estructural con p retardos (a veces abreviado como SVAR ) es

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

donde c ₀ es un vector de constantes de k  × 1, B _i es una matriz de k × k (para cada i = 0, ..., p ) y ε _t es un vector de términos de error de k × 1. Los términos de la diagonal principal de la matriz B _{0 (los coeficientes de la} i ^-ésima variable en la i ^-ésima ecuación) se escalan a 1.     

Los términos de error ε _t ( choques estructurales ) satisfacen las condiciones (1) - (3) en la definición anterior, con la particularidad de que todos los elementos en la diagonal fuera de la matriz de covarianza${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$son cero. Es decir, los choques estructurales no están correlacionados.

Por ejemplo, un VAR(1) estructural de dos variables es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

dónde

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

es decir, las varianzas de los choques estructurales se denotan${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$( i = 1, 2) y la covarianza es${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$.

Escribiendo la primera ecuación explícitamente y pasando y _2,t al lado derecho se obtiene

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

Nótese que y _{2, t} puede tener un efecto simultáneo sobre y _1,t si B _0;1,2 no es cero. Esto es diferente del caso en que B ₀ es la matriz identidad (todos los elementos fuera de la diagonal son cero, el caso en la definición inicial), cuando y _{2, t} puede afectar directamente a y _{1, t +1} y valores futuros subsiguientes, pero no a y _{1, t} .

Debido al problema de identificación de parámetros , la estimación por mínimos cuadrados ordinarios del VAR estructural produciría estimaciones de parámetros inconsistentes . Este problema puede superarse reescribiendo el VAR en forma reducida.

Desde un punto de vista económico, si la dinámica conjunta de un conjunto de variables puede representarse mediante un modelo VAR, entonces la forma estructural es una representación de las relaciones económicas subyacentes, las relaciones "estructurales". Dos características de la forma estructural la convierten en la candidata preferida para representar las relaciones subyacentes:

1. Los términos de error no están correlacionados . Se supone que los choques estructurales y económicos que impulsan la dinámica de las variables económicas son independientes , lo que implica una correlación nula entre los términos de error como propiedad deseada. Esto resulta útil para separar los efectos de influencias económicamente no relacionadas en el VAR. Por ejemplo, no hay razón para que un choque en el precio del petróleo (como ejemplo de un choque de oferta ) esté relacionado con un cambio en las preferencias de los consumidores hacia un estilo de ropa (como ejemplo de un choque de demanda ); por lo tanto, se esperaría que estos factores fueran estadísticamente independientes.

2. Las variables pueden tener un impacto simultáneo en otras variables . Esta es una característica deseable, especialmente cuando se utilizan datos de baja frecuencia. Por ejemplo, un aumento en la tasa del impuesto indirecto no afectaría los ingresos fiscales el día en que se anuncia la decisión, pero sí podría observarse su efecto en los datos de ese trimestre.

Premultiplicando el VAR estructural por el inverso de B ₀

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

y denotando

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

se obtiene el VAR reducido de orden p

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

Nótese que en la forma reducida todas las variables del lado derecho están predeterminadas en el tiempo t . Como no hay variables endógenas en el tiempo t en el lado derecho, ninguna variable tiene un efecto directo y simultáneo sobre las demás variables del modelo.

Sin embargo, los términos de error en el VAR reducido son compuestos de los choques estructurales e _t = B ₀ ⁻¹ ε _t . Por lo tanto, la ocurrencia de un choque estructural ε _i,t puede potencialmente conducir a la ocurrencia de choques en todos los términos de error e _j,t , creando así un movimiento contemporáneo en todas las variables endógenas. En consecuencia, la matriz de covarianza del VAR reducido

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

puede tener elementos fuera de la diagonal distintos de cero, lo que permite una correlación distinta de cero entre los términos de error.

Partiendo de la notación matricial concisa:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• El método de mínimos cuadrados multivariados (MLS) para estimar B produce:

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

Esto también se puede escribir como:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

dónde${\displaystyle \otimes }$denota el producto de Kronecker y Vec la vectorización de la matriz indicada.

Este estimador es consistente y asintóticamente eficiente . Además, es igual al estimador de máxima verosimilitud condicional . ^{[ 4 ]}

• Como las variables explicativas son las mismas en cada ecuación, el estimador de mínimos cuadrados multivariados es equivalente al estimador de mínimos cuadrados ordinarios aplicado a cada ecuación por separado. ^{[ 5 ]}

Al igual que en el caso estándar, el estimador de máxima verosimilitud (EMV) de la matriz de covarianza difiere del estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).

Estimador de máxima verosimilitud:${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

Estimador MCO:${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$para un modelo con una constante, k variables y p retardos.

En notación matricial, esto da como resultado:

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

La matriz de covarianza de los parámetros se puede estimar como

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

Los modelos de autorregresión vectorial suelen implicar la estimación de numerosos parámetros. Por ejemplo, con siete variables y cuatro retardos, cada matriz de coeficientes para un retardo determinado es de 7x7, y el vector de constantes tiene 7 elementos, por lo que se estiman un total de 49 × 4 + 7 = 203 parámetros, lo que reduce considerablemente los grados de libertad de la regresión (el número de puntos de datos menos el número de parámetros a estimar). Esto puede afectar la precisión de las estimaciones de los parámetros y, por consiguiente, de las predicciones del modelo.

Consideremos el caso de primer orden (es decir, con un solo retardo), con ecuación de evolución.

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

para el vector (de estado) en evolución${\displaystyle y}$y vector${\displaystyle e}$de choques. Para hallar, por ejemplo, el efecto del j -ésimo elemento del vector de choques sobre el i -ésimo elemento del vector de estado dos periodos después, que es una respuesta impulsional particular, primero escriba la ecuación de evolución anterior con un periodo de retraso:

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

Utilice esto en la ecuación de evolución original para obtener

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

Luego repita el proceso utilizando la ecuación de evolución con doble retardo para obtener

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

A partir de esto, el efecto del j -ésimo componente de${\displaystyle e_{t-2}}$sobre el i -ésimo componente de${\displaystyle y_{t}}$es el elemento i, j de la matriz${\displaystyle A^{2}.}$

Se puede ver a partir de este proceso de inducción que cualquier choque tendrá un efecto en los elementos de y infinitamente lejos en el tiempo, aunque el efecto se hará cada vez más pequeño con el tiempo suponiendo que el proceso AR sea estable, es decir, que todos los valores propios de la matriz A sean menores que 1 en valor absoluto .