haz coherente

En matemáticas, especialmente en geometría algebraica y teoría de variedades complejas , los haces coherentes son una clase de haces estrechamente vinculados a las propiedades geométricas del espacio subyacente. La definición de haces coherentes se realiza en referencia a un haz de anillos que codifica esta información geométrica.

Los haces coherentes pueden considerarse una generalización de los haces vectoriales . A diferencia de estos, forman una categoría abeliana , por lo que son cerrados bajo operaciones como la toma de núcleos , imágenes y conúcleos . Los haces cuasi-coherentes son una generalización de los haces coherentes e incluyen los haces localmente libres de rango infinito.

La cohomología de haces coherentes es una técnica poderosa, en particular para estudiar las secciones de un haz coherente dado.

Un haz cuasi coherente en un espacio anillado${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$es un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- módulos que tienen una presentación local, es decir, cada punto en${\displaystyle X}$tiene un vecindario abierto${\displaystyle U}$en la que hay una secuencia exacta

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos)${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$.

Un haz coherente en un espacio anillado${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$es un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- módulos que satisfacen las dos propiedades siguientes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es de tipo finito sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$, es decir, cada punto en${\displaystyle X}$tiene un vecindario abierto${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$de tal manera que exista un morfismo sobreyectivo${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$para algún número natural${\displaystyle n}$;
2. para cualquier conjunto abierto${\displaystyle U\subsetequ X}$cualquier número natural${\displaystyle n}$y cualquier morfismo${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos, el núcleo de${\displaystyle \varphi }$es de tipo finito.

Los morfismos entre haces (cuasi)coherentes son los mismos que los morfismos de haces de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos.

En un espacio anillado arbitrario, los haces cuasi-coherentes no necesariamente forman una categoría abeliana. Por otro lado, los haces cuasi-coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana, y son extremadamente útiles en ese contexto. ^{[ 2 ]}

En cualquier espacio anular${\displaystyle X}$, los haces coherentes forman una categoría abeliana, una subcategoría completa de la categoría de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. ^{[ 3 ]} (Análogamente, la categoría de módulos coherentes sobre cualquier anillo${\displaystyle A}$es una subcategoría abeliana completa de la categoría de todos${\displaystyle A}$-módulos.) Por lo tanto, el núcleo, la imagen y el conúcleo de cualquier aplicación de haces coherentes son coherentes. La suma directa de dos haces coherentes es coherente; más generalmente, un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-un módulo que es una extensión de dos haces coherentes es coherente. ^{[ 4 ]}

Un submódulo de un haz coherente es coherente si es de tipo finito. Un haz coherente es siempre un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo de presentación finita , lo que significa que cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$tiene un vecindario abierto${\displaystyle U}$de tal manera que la restricción${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$a${\displaystyle U}$es isomorfo al conúcleo de un morfismo${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$para algunos números naturales${\displaystyle n}$y${\displaystyle m}$. Si${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$es coherente, entonces, a la inversa, cada haz de presentación finita sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$es coherente.

El haz de anillos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$Se dice que es coherente si es coherente considerado como un haz de módulos sobre sí mismo. En particular, el teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomorfas en un espacio analítico complejo es coherente.${\displaystyle X}$es un haz coherente de anillos. La parte principal de la prueba es el caso${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$. Asimismo, en un esquema localmente noetheriano${\displaystyle X}$, el haz de estructura${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$es un haz coherente de anillos. ^{[ 5 ]}

• Un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en un espacio anillado${\displaystyle X}$se denomina localmente libre de rango finito , o fibrado vectorial , si cada punto en${\displaystyle X}$tiene un vecindario abierto${\displaystyle U}$de tal manera que la restricción${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$es isomorfo a una suma directa finita de copias de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$. Si ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es libre del mismo rango${\displaystyle n}$cerca de cada punto de${\displaystyle X}$, entonces el haz vectorial${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se dice que es de rango${\displaystyle n}$.

Fibrados vectoriales en este sentido de teoría de haces sobre un esquema${\displaystyle X}$son equivalentes a haces vectoriales definidos de una manera más geométrica, como un esquema${\displaystyle E}$con un morfismo${\displaystyle \pi :E\to X}$y con una cubierta de${\displaystyle X}$por conjuntos abiertos${\displaystyle U_{\alpha }}$con isomorfismos dados${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$encima${\displaystyle U_{\alpha }}$de tal manera que los dos isomorfismos sobre una intersección${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$difieren por un automorfismo lineal. ^{[ 6 ]} (La equivalencia análoga también se cumple para espacios analíticos complejos). Por ejemplo, dado un fibrado vectorial${\displaystyle E}$en este sentido geométrico, el haz correspondiente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se define por: sobre un conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$, el${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$-módulo${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$es el conjunto de secciones del morfismo${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$La interpretación de los haces vectoriales desde la perspectiva de la teoría de haces tiene la ventaja de que los haces vectoriales (en un esquema localmente noetheriano) están incluidos en la categoría abeliana de haces coherentes.

• Las poleas libres localmente vienen equipadas con el estándar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-operaciones de módulo, pero estas devuelven haces libres localmente.

• Dejar${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$,${\displaystyle R}$un anillo noetheriano. Luego, haces vectoriales en${\displaystyle X}$son exactamente los haces asociados a módulos proyectivos finitamente generados sobre${\displaystyle R}$, o (equivalentemente) a módulos planos generados finitamente sobre${\displaystyle R}$. ^{[ 7 ]}
• Dejar${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$,${\displaystyle R}$un noetheriano${\displaystyle \mathbb {N} }$-anillo graduado, sea un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano${\displaystyle R_{0}}$. Luego cada${\displaystyle \mathbb {Z} }$-calificado${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$determina un haz cuasi coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$es el haz asociado a la${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$-módulo${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$, dónde${\displaystyle f}$es un elemento homogéneo de${\displaystyle R}$de grado positivo y${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$es el lugar donde${\displaystyle f}$no desaparece.
• Por ejemplo, para cada número entero${\displaystyle n}$, dejar${\displaystyle R(n)}$denotan el calificado${\displaystyle R}$-módulo dado por${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$. Luego cada${\displaystyle R(n)}$determina el haz cuasi-coherente${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$en${\displaystyle X}$. Si${\displaystyle R}$se genera como${\displaystyle R_{0}}$-álgebra por${\displaystyle R_{1}}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$es un haz de líneas (haz invertible) en${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$es el${\displaystyle n}$-ésima potencia tensorial de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$. En particular,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$se denomina fibrado de líneas tautológico en el proyectivo${\displaystyle n}$-espacio.
• Un ejemplo sencillo de un haz coherente en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$que no es un fibrado vectorial viene dado por el conúcleo en la siguiente secuencia

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

Esto se debe a que${\displaystyle {\mathcal {E}}}$Restringido al lugar de anulación de los dos polinomios tiene fibras bidimensionales y tiene fibras unidimensionales en otros lugares.

• gavillas ideales : Si${\displaystyle Z}$es un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano${\displaystyle X}$, el haz${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$de todas las funciones regulares desapareciendo en${\displaystyle Z}$es coherente. Asimismo, si${\displaystyle Z}$es un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo${\displaystyle X}$, el haz ideal${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$es coherente.
• El haz de estructura${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$de un subesquema cerrado${\displaystyle Z}$de un esquema localmente noetheriano${\displaystyle X}$puede ser visto como un haz coherente en${\displaystyle X}$Para ser precisos, este es el haz de imágenes directas .${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$, dónde${\displaystyle i:Z\to X}$es la inclusión. Igualmente para un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo. El haz${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$tiene fibra (definida a continuación) de dimensión cero en puntos del conjunto abierto${\displaystyle X-Z}$y fibra de dimensión 1 en puntos en${\displaystyle Z}$. Existe una secuencia corta y exacta de haces coherentes en${\displaystyle X}$:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• La mayoría de las operaciones de álgebra lineal preservan los haces coherentes. En particular, para haces coherentes${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$en un espacio anillado${\displaystyle X}$, el haz de productos tensoriales${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$y el haz de homomorfismos${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$son coherentes. ^{[ 8 ]}
• Un ejemplo simple que no es un haz cuasi-coherente viene dado por el functor de extensión por cero. Por ejemplo, consideremos${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$para

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^{[ 9 ]}

Dado que este haz tiene tallos no triviales, pero cero secciones globales, no puede ser un haz cuasi-coherente. Esto se debe a que los haces cuasi-coherentes en un esquema afín son equivalentes a la categoría de módulos sobre el anillo subyacente, y la adjunción proviene de tomar secciones globales.

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$sea ​​un morfismo de espacios anillados (por ejemplo, un morfismo de esquemas ). Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un haz cuasi coherente en${\displaystyle Y}$, luego la imagen inversa${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo (o retroceso )${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$es cuasi coherente en${\displaystyle X}$. ^{[ 10 ]} Para un morfismo de esquemas${\displaystyle f:X\to Y}$y un haz coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle Y}$, el retroceso${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$no es coherente en su totalidad general (por ejemplo,${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$, que podría no ser coherente), pero los retrocesos de haces coherentes son coherentes si${\displaystyle X}$es localmente noetheriano. Un caso especial importante es el retroceso de un fibrado vectorial, que es un fibrado vectorial.

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es un morfismo cuasi-compacto cuasi-separado de esquemas y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un haz cuasi coherente en${\displaystyle X}$, luego el haz de imágenes directas (o empuje hacia adelante )${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$es cuasi coherente en${\displaystyle Y}$. ^{[ 2 ]}

La imagen directa de un haz coherente a menudo no es coherente. Por ejemplo, para un campo${\displaystyle k}$, dejar${\displaystyle X}$sea ​​la línea afín sobre${\displaystyle k}$y consideremos el morfismo${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$; luego la imagen directa${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$¿Está el haz en${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$asociado al anillo polinomial${\displaystyle k[x]}$, lo cual no es coherente porque${\displaystyle k[x]}$tiene dimensión infinita como un${\displaystyle k}$- espacio vectorial . Por otro lado, la imagen directa de un haz coherente bajo un morfismo propio es coherente, según los resultados de Grauert y Grothendieck .

Una característica importante de los haces coherentes${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es que las propiedades de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en un punto${\displaystyle x}$controlar el comportamiento de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en un barrio de${\displaystyle x}$, más de lo que sería cierto para un haz arbitrario. Por ejemplo, el lema de Nakayama dice (en lenguaje geométrico) que si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un haz coherente en un esquema${\displaystyle X}$, luego la fibra${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$de${\displaystyle F}$en un punto${\displaystyle x}$(un espacio vectorial sobre el campo residual${\displaystyle k(x)}$) es cero si y solo si el haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es cero en algún vecindario abierto de${\displaystyle x}$. Un hecho relacionado es que la dimensión de las fibras de un haz coherente es semicontinua superiormente . ^{[ 11 ]} Por lo tanto, un haz coherente tiene rango constante en un conjunto abierto , mientras que el rango puede saltar hacia arriba en un subconjunto cerrado de menor dimensión.

En el mismo espíritu: un haz coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en un plan${\displaystyle X}$es un haz vectorial si y solo si su tallo${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$es un módulo gratuito a través del anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$por cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$. ^{[ 12 ]}

En un esquema general, no se puede determinar si un haz coherente es un fibrado vectorial solo a partir de sus fibras (en contraposición a sus tallos). Sin embargo, en un esquema localmente noetheriano reducido , un haz coherente es un fibrado vectorial si y solo si su rango es localmente constante. ^{[ 13 ]}

Para un morfismo de esquemas${\displaystyle X\to Y}$, dejar${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$sea ​​el morfismo diagonal , que es una inmersión cerrada si${\displaystyle X}$está separado por${\displaystyle Y}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ser el haz ideal de${\displaystyle X}$en${\displaystyle X\times _{Y}X}$. Luego el haz de diferenciales${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$se puede definir como el retroceso${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$de${\displaystyle {\mathcal {I}}}$a${\displaystyle X}$. Las secciones de este haz se denominan 1-formas en${\displaystyle X}$encima${\displaystyle Y}$y se pueden escribir localmente en${\displaystyle X}$como sumas finitas${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$para funciones regulares${\displaystyle f_{j}}$y${\displaystyle g_{j}}$. Si${\displaystyle X}$es localmente de tipo finito sobre un cuerpo${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$es un haz coherente en${\displaystyle X}$.

Si${\displaystyle X}$es suave sobre${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle \Omega ^{1}}$(significado${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$) es un fibrado vectorial sobre${\displaystyle X}$, llamado el haz cotangente de${\displaystyle X}$. Entonces el fibrado tangente${\displaystyle TX}$se define como el haz dual${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$. Para${\displaystyle X}$allanar${\displaystyle k}$de dimensión${\displaystyle n}$En todas partes, el fibrado tangente tiene rango${\displaystyle n}$.

Si${\displaystyle Y}$es un subesquema cerrado suave de un esquema suave${\displaystyle X}$encima${\displaystyle k}$, entonces hay una secuencia corta exacta de haces vectoriales en${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

que puede utilizarse como definición del paquete normal${\displaystyle N_{Y/X}}$a${\displaystyle Y}$en${\displaystyle X}$.

Para un plan sin problemas${\displaystyle X}$sobre un campo${\displaystyle k}$y un número natural${\displaystyle i}$, el haz vectorial${\displaystyle \Omega ^{i}}$de formularios i en${\displaystyle X}$se define como el${\displaystyle i}$-octava potencia exterior del haz cotangente,${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$Para una variedad suave${\displaystyle X}$de dimensión${\displaystyle n}$encima${\displaystyle k}$, el haz canónico${\displaystyle K_{X}}$significa el paquete de líneas${\displaystyle \Omega ^{n}}$. Así, las secciones del fibrado canónico son análogos algebraico-geométricos de las formas de volumen en${\displaystyle X}$. Por ejemplo, una sección del fibrado canónico del espacio afín${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$encima${\displaystyle k}$ se puede escribir como

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

dónde${\displaystyle f}$es un polinomio con coeficientes en${\displaystyle k}$.

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un anillo conmutativo y${\displaystyle n}$un número natural. Para cada número entero${\displaystyle j}$Existe un ejemplo importante de un fibrado de líneas en el espacio proyectivo.${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$encima${\displaystyle R}$, llamado${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$Para definir esto, consideremos el morfismo de${\displaystyle R}$-esquemas

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}

dado en coordenadas por${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$. (Es decir, pensando en el espacio proyectivo como el espacio de subespacios lineales unidimensionales del espacio afín, enviar un punto no nulo en el espacio afín a la línea que abarca). Luego, una sección de${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$sobre un subconjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$se define como una función regular${\displaystyle f}$en${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$que es homogéneo de grado${\displaystyle j}$, lo que significa que

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

como funciones regulares en (${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$. Para todos los números enteros${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$, existe un isomorfismo${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$de paquetes de líneas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$.

En particular, todo polinomio homogéneo en${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$de grado${\displaystyle j}$encima${\displaystyle R}$puede considerarse una sección global de${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$encima${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$Nótese que todo subesquema cerrado del espacio proyectivo puede definirse como el conjunto cero de alguna colección de polinomios homogéneos, y por lo tanto como el conjunto cero de algunas secciones de los fibrados de líneas.${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$. ^{[ 14 ]} Esto contrasta con el caso más simple del espacio afín, donde un subesquema cerrado es simplemente el conjunto cero de alguna colección de funciones regulares. Las funciones regulares en el espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$encima${\displaystyle R}$son simplemente las "constantes" (el anillo${\displaystyle R}$), y por lo tanto es esencial trabajar con los paquetes de líneas${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$.

Serre dio una descripción algebraica de todos los haces coherentes en el espacio proyectivo, más sutil que la que ocurre en el espacio afín. Es decir, sea${\displaystyle R}$Sea un anillo noetheriano (por ejemplo, un cuerpo) y consideremos el anillo polinomial.${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$como un anillo graduado con cada uno${\displaystyle x_{i}}$teniendo grado 1. Entonces cada graduado generado finitamente${\displaystyle S}$-módulo${\displaystyle M}$tiene un haz coherente asociado${\displaystyle {\tilde {M}}}$en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$encima${\displaystyle R}$. Cada haz coherente en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$surge de esta manera a partir de un graduado generado finitamente${\displaystyle S}$-módulo${\displaystyle M}$. (Por ejemplo, el paquete de líneas${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$es el haz asociado a la${\displaystyle S}$-módulo${\displaystyle S}$con su calificación rebajada por${\displaystyle j}$.) Pero el${\displaystyle S}$-módulo${\displaystyle M}$que produce un haz coherente dado en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$no es único; solo es único hasta que cambie${\displaystyle M}$por módulos graduados que son distintos de cero solo en un número finito de grados. Más precisamente, la categoría abeliana de haces coherentes en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$es el cociente de la categoría de graduados generados finitamente${\displaystyle S}$-módulos por la subcategoría de Serre de módulos que son distintos de cero solo en un número finito de grados. ^{[ 15 ]}

El fibrado tangente del espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$sobre un campo${\displaystyle k}$se puede describir en términos del haz de líneas${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$. Es decir, existe una secuencia exacta corta, la secuencia de Euler :

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

De ello se deduce que el haz canónico${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$(el dual del fibrado de líneas determinante del fibrado tangente) es isomorfo a${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$Este es un cálculo fundamental para la geometría algebraica. Por ejemplo, el hecho de que el fibrado canónico sea un múltiplo negativo del fibrado lineal amplio.${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$significa que el espacio proyectivo es una variedad de Fano . Sobre los números complejos, esto significa que el espacio proyectivo tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci positiva .

Una técnica útil para construir haces vectoriales de rango 2 es la construcción de Serre ^{[ 16 ] [ 17 ] pág. 3} que establece una correspondencia entre haces vectoriales de rango 2.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$en una variedad proyectiva suave${\displaystyle X}$y subvariedades de codimensión 2${\displaystyle Y}$utilizando un determinado${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$-grupo calculado en${\displaystyle X}$Esto viene dado por una condición cohomológica en el fibrado de líneas.${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$(vea abajo).

La correspondencia en una dirección se da de la siguiente manera: para una sección${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$podemos asociar el locus evanescente${\displaystyle V(s)\subseteq X}$. Si${\displaystyle V(s)}$es una subvariedad de codimensión 2, entonces

1. Es una intersección completa local, lo que significa que si tomamos un diagrama afín${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$entonces${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$puede representarse como una función${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$, dónde${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$y${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. El paquete de líneas${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$es isomorfo al fibrado canónico${\displaystyle \omega _{V(s)}}$en${\displaystyle V(s)}$

En la otra dirección, ^{[ 18 ]} para una subvariedad de codimensión 2${\displaystyle Y\subseteq X}$y un paquete de líneas${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$de tal manera que

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

existe un isomorfismo canónico

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$,

que es funtorial con respecto a la inclusión de la codimensión${\displaystyle 2}$subvariedades. Además, cualquier isomorfismo dado a la izquierda corresponde a un haz localmente libre en el medio de la extensión a la derecha. Es decir, para${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$que es un isomorfismo, hay un haz localmente libre correspondiente${\displaystyle {\mathcal {E}}}$de rango 2 que encaja en una secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

Este fibrado vectorial puede estudiarse posteriormente utilizando invariantes cohomológicos para determinar si es estable o no. Esto constituye la base para el estudio de los módulos de fibrados vectoriales estables en muchos casos específicos, como en variedades abelianas polarizadas principalmente ^{[ 17 ]} y superficies K3 ^{[ 19 ]} .

Un haz vectorial${\displaystyle E}$en una variedad suave${\displaystyle X}$sobre un campo tiene clases Chern en el anillo Chow de${\displaystyle X}$,${\displaystyle c_{i}(E)}$en${\displaystyle CH^{i}(X)}$para${\displaystyle i\geq 0}$. ^{[ 20 ]} Estas satisfacen las mismas propiedades formales que las clases de Chern en topología. Por ejemplo, para cualquier secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de haces vectoriales en${\displaystyle X}$, las clases de Chern de${\displaystyle B}$son dados por

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

De ello se deduce que las clases de Chern de un fibrado vectorial${\displaystyle E}$depende únicamente de la clase de${\displaystyle E}$en el grupo Grothendieck${\displaystyle K_{0}(X)}$. Por definición, para un esquema${\displaystyle X}$,${\displaystyle K_{0}(X)}$es el cociente del grupo abeliano libre en el conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales en${\displaystyle X}$por la relación que${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$para cualquier secuencia corta exacta como la anterior. Aunque${\displaystyle K_{0}(X)}$En general, es difícil de calcular, pero la teoría K algebraica proporciona muchas herramientas para estudiarla, incluyendo una secuencia de grupos relacionados.${\displaystyle K_{i}(X)}$para números enteros${\displaystyle i>0}$.

Una variante es el grupo${\displaystyle G_{0}(X)}$(o${\displaystyle K_{0}'(X)}$), el grupo de Grothendieck de haces coherentes en${\displaystyle X}$. (En términos topológicos, la teoría G tiene las propiedades formales de una teoría de homología de Borel-Moore para esquemas, mientras que la teoría K es la teoría de cohomología correspondiente .) El homomorfismo natural${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$es un isomorfismo si${\displaystyle X}$es un esquema noetheriano separado regular , que utiliza que cada haz coherente tiene una resolución finita por haces vectoriales en ese caso. ^{[ 21 ]} Por ejemplo, eso da una definición de las clases de Chern de un haz coherente en una variedad lisa sobre un cuerpo.

En términos más generales, un esquema noetheriano${\displaystyle X}$Se dice que tiene la propiedad de resolución si cada haz coherente en${\displaystyle X}$tiene una sobreyección de algún fibrado vectorial en${\displaystyle X}$. Por ejemplo, todo esquema cuasiproyectivo sobre un anillo noetheriano tiene la propiedad de resolución.

Cuando se utilizan indistintamente haces vectoriales y haces localmente libres de rango constante finito, se debe tener cuidado de distinguir entre homomorfismos de haces y homomorfismos de haces. Específicamente, dados haces vectoriales${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$, por definición, un homomorfismo de fibrados${\displaystyle \varphi :E\to F}$es un morfismo de esquema sobre${\displaystyle X}$(es decir,${\displaystyle p=q\circ \varphi }$) de tal manera que, para cada punto geométrico${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$,${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$es un mapa lineal de rango independiente de${\displaystyle x}$. Por lo tanto, induce el homomorfismo de haces${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$de rango constante entre los correspondientes localmente libres${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos (haces de secciones duales). Pero puede haber un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-homomorfismo de módulos que no surge de esta manera; es decir, aquellos que no tienen rango constante.

En particular, un subpaquete${\displaystyle E\subseteq F}$es un subhaz (es decir,${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es un subhaz de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$). Pero lo contrario puede fallar; por ejemplo, para un divisor de Cartier efectivo${\displaystyle D}$en${\displaystyle X}$,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$es un subhaz pero normalmente no es un subhaz (ya que cualquier haz de líneas tiene solo dos subhaces).

Los haces cuasi-coherentes en cualquier esquema fijo forman una categoría abeliana. Gabber demostró que, de hecho, los haces cuasi-coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana particularmente bien comportada, una categoría de Grothendieck . ^{[ 22 ]} Un esquema cuasi-compacto cuasi-separado${\displaystyle X}$(como una variedad algebraica sobre un cuerpo) está determinada salvo isomorfismo por la categoría abeliana de haces cuasi-coherentes en${\displaystyle X}$, por Rosenberg, generalizando un resultado de Gabriel . ^{[ 23 ]}

La herramienta técnica fundamental en geometría algebraica es la teoría de cohomología de haces coherentes. Aunque se introdujo recién en la década de 1950, muchas técnicas anteriores de geometría algebraica se clarifican gracias al lenguaje de la cohomología de haces aplicada a haces coherentes. En términos generales, la cohomología de haces coherentes puede considerarse una herramienta para generar funciones con propiedades específicas; secciones de fibrados de líneas o de haces más generales pueden verse como funciones generalizadas. En geometría analítica compleja, la cohomología de haces coherentes también desempeña un papel fundamental.

Entre los resultados centrales de la cohomología de haces coherentes se encuentran resultados sobre la dimensionalidad finita de la cohomología, resultados sobre la desaparición de la cohomología en varios casos, teoremas de dualidad como la dualidad de Serre , relaciones entre la topología y la geometría algebraica como la teoría de Hodge y fórmulas para las características de Euler de haces coherentes como el teorema de Riemann-Roch .

• Grupo Picard
• Divisor (geometría algebraica)
• haz reflexivo
• Plan de cuotas
• gavilla retorcida
• Fibrado vectorial esencialmente finito
• Conjunto de partes principales
• Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg
• haz pseudocoherente
• Haz cuasi-coherente en una pila algebraica

• Antieau, Benjamin (2016), "Un teorema de reconstrucción para categorías abelianas de gavillas retorcidas", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2016 (712): 175– 188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515/crelle-2013-0119 , MR 3466552 
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