cálculo vectorial

Un campo escalar asigna de forma continua un valor escalar a cada punto del espacio. El escalar es un número matemático que representa una magnitud física . Ejemplos de campos escalares en aplicaciones incluyen la distribución de temperatura en el espacio, la distribución de presión en un fluido y los campos cuánticos de espín cero (conocidos como bosones escalares ), como el campo de Higgs . Estos campos son objeto de la teoría de campos escalares .

Un campo vectorial es una asignación continua de un vector a cada punto del espacio . ^{[ 3 ]} Un campo vectorial en el plano, por ejemplo, puede visualizarse como un conjunto de flechas con una magnitud y dirección determinadas, cada una unida a un punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento en el espacio, o la magnitud y la dirección de alguna fuerza , como la magnética o la gravitatoria , a medida que varía de un punto a otro. Esto puede utilizarse, por ejemplo, para calcular el trabajo realizado sobre una línea.

En tratamientos más avanzados, se distinguen además los campos pseudovectoriales y los campos pseudoescalares , que son idénticos a los campos vectoriales y escalares, salvo que cambian de signo al invertir su orientación: por ejemplo, el rotacional de un campo vectorial es un campo pseudovectorial, y si se refleja un campo vectorial, el rotacional apunta en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y desarrolla en el álgebra geométrica , como se describe a continuación.

El cálculo vectorial estudia varios operadores diferenciales definidos en campos escalares o vectoriales, que normalmente se expresan en términos del operador del (${\displaystyle \nabla }$), también conocido como "nabla". Los tres operadores vectoriales básicos son: ^{[ 4 ]}

También se utilizan comúnmente los dos operadores de Laplace:

Una magnitud denominada matriz jacobiana resulta útil para estudiar funciones cuando tanto el dominio como el rango de la función son multivariables, como por ejemplo en un cambio de variables durante la integración.

Los tres operadores vectoriales básicos tienen teoremas correspondientes que generalizan el teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores:

En dos dimensiones, los teoremas de divergencia y rotacional se reducen al teorema de Green:

Las aproximaciones lineales se utilizan para reemplazar funciones complejas con funciones lineales que son casi idénticas. Dada una función diferenciable f ( x , y ) con valores reales, se puede aproximar f ( x , y ) para ( x , y ) cerca de ( a , b ) mediante la fórmula

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de z = f ( x , y ) en ( a , b ) .

Para una función continuamente diferenciable de varias variables reales , un punto P (es decir, un conjunto de valores para las variables de entrada, que se considera un punto en R ⁿ ) es crítico si todas las derivadas parciales de la función son cero en P , o, equivalentemente, si su gradiente es cero. Los valores críticos son los valores de la función en los puntos críticos.

Si la función es suave , o al menos dos veces continuamente diferenciable, un punto crítico puede ser un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Los distintos casos se pueden distinguir considerando los valores propios de la matriz hessiana de segundas derivadas.

Según el teorema de Fermat , todos los máximos y mínimos locales de una función diferenciable se producen en puntos críticos. Por lo tanto, para hallar los máximos y mínimos locales, teóricamente basta con calcular los ceros del gradiente y los autovalores de la matriz hessiana en dichos ceros.

El cálculo vectorial se define inicialmente para el espacio euclidiano tridimensional ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$que posee una estructura adicional más allá de ser simplemente un espacio vectorial real tridimensional, a saber: una norma (que proporciona una noción de longitud) definida mediante un producto escalar (el producto escalar ), que a su vez proporciona una noción de ángulo, y una orientación , que proporciona una noción de quiralidad izquierda y derecha. Estas estructuras dan lugar a una forma de volumen y también al producto vectorial , que se utiliza ampliamente en el cálculo vectorial. ^{[ 5 ]}

El gradiente y la divergencia solo requieren el producto escalar, mientras que el rotacional y el producto vectorial también requieren que se tenga en cuenta la quiralidad del sistema de coordenadas .

El cálculo vectorial se puede definir en otros espacios vectoriales reales tridimensionales si tienen un producto interno (o más generalmente una forma simétrica no degenerada ) y una orientación; esto es menos información que un isomorfismo al espacio euclidiano, ya que no requiere un conjunto de coordenadas (un marco de referencia), lo que refleja el hecho de que el cálculo vectorial es invariante bajo rotaciones (el grupo ortogonal especial SO(3) ).

En términos más generales, el cálculo vectorial puede definirse en cualquier variedad riemanniana orientada tridimensional o, más generalmente, en una variedad pseudoriemanniana . Esta estructura simplemente significa que el espacio tangente en cada punto tiene un producto interno (o, más generalmente, una forma simétrica no degenerada) y una orientación, o, de forma más global, que existe un tensor métrico simétrico no degenerado y una orientación, y funciona porque el cálculo vectorial se define en términos de vectores tangentes en cada punto.

La mayoría de los resultados analíticos se comprenden fácilmente, de forma más general, utilizando las herramientas de la geometría diferencial , de la cual el cálculo vectorial constituye un subconjunto. El gradiente y la divergencia se generalizan inmediatamente a otras dimensiones, al igual que el teorema del gradiente, el teorema de la divergencia y el laplaciano (que da lugar al análisis armónico ), mientras que el rotacional y el producto vectorial no se generalizan tan directamente.

Desde un punto de vista general, los distintos campos del cálculo vectorial (tridimensional) se consideran uniformemente campos k -vectoriales: los campos escalares son campos 0-vectoriales, los campos vectoriales son campos 1-vectoriales, los campos pseudovectoriales son campos 2-vectoriales y los campos pseudoescalares son campos 3-vectoriales. En dimensiones superiores existen tipos adicionales de campos (escalares, vectoriales, pseudovectoriales o pseudoescalares correspondientes a 0 , 1 , n - 1 o n dimensiones, lo cual es exhaustivo en la dimensión 3), por lo que no se puede trabajar únicamente con (pseudo)escalares y (pseudo)vectores.

En cualquier dimensión, asumiendo una forma no degenerada, el gradiente de una función escalar es un campo vectorial, y la divergencia de un campo vectorial es una función escalar, pero solo en dimensión 3 o 7 ^{[ 6 ]} (y, trivialmente, en dimensión 0 o 1) el rotacional de un campo vectorial es un campo vectorial, y solo en 3 o 7 dimensiones se puede definir un producto vectorial (las generalizaciones en otras dimensionalidades requieren${\displaystyle n-1}$vectores para producir 1 vector, o son álgebras de Lie alternativas , que son productos bilineales antisimétricos más generales). La generalización de grad y div, y cómo se puede generalizar curl se detalla en Curl § Generalizaciones ; en resumen, el rotacional de un campo vectorial es un campo bivectorial , que puede interpretarse como el álgebra de Lie ortogonal especial de rotaciones infinitesimales; sin embargo, esto no puede identificarse con un campo vectorial porque las dimensiones difieren: hay 3 dimensiones de rotaciones en 3 dimensiones, pero 6 dimensiones de rotaciones en 4 dimensiones (y más generalmente${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$dimensiones de rotaciones en n dimensiones).

Existen dos generalizaciones alternativas importantes del cálculo vectorial. La primera, el álgebra geométrica , utiliza campos k -vectoriales en lugar de campos vectoriales (en 3 o menos dimensiones, todo campo k -vectorial puede identificarse con una función escalar o un campo vectorial, pero esto no es cierto en dimensiones superiores). Esto reemplaza el producto vectorial, que es específico de 3 dimensiones, tomando como entrada dos campos vectoriales y dando como resultado un campo vectorial, por el producto exterior , que existe en todas las dimensiones y toma como entrada dos campos vectoriales, dando como resultado un campo bivectorial (de 2 vectores). Este producto genera álgebras de Clifford como la estructura algebraica en espacios vectoriales (con una orientación y forma no degenerada). El álgebra geométrica se utiliza principalmente en generalizaciones de la física y otros campos aplicados a dimensiones superiores.

La segunda generalización utiliza formas diferenciales ( campos de k -covectores) en lugar de campos vectoriales o campos de k -vectores, y se usa ampliamente en matemáticas, particularmente en geometría diferencial , topología geométrica y análisis armónico , dando lugar en particular a la teoría de Hodge en variedades pseudoriemannianas orientadas. Desde este punto de vista, grad, curl y div corresponden a la derivada exterior de 0-formas, 1-formas y 2-formas, respectivamente, y los teoremas clave del cálculo vectorial son todos casos especiales de la forma general del teorema de Stokes . ^{[ 7 ]}

Desde el punto de vista de ambas generalizaciones, el cálculo vectorial identifica implícitamente objetos matemáticamente distintos, lo que hace que la presentación sea más sencilla pero la estructura matemática subyacente y las generalizaciones sean menos claras. Desde el punto de vista del álgebra geométrica, el cálculo vectorial identifica implícitamente los campos k -vectoriales con campos vectoriales o funciones escalares: 0-vectores y 3-vectores con escalares, 1-vectores y 2-vectores con vectores. Desde el punto de vista de las formas diferenciales, el cálculo vectorial identifica implícitamente las k -formas con campos escalares o campos vectoriales: 0-formas y 3-formas con campos escalares, 1-formas y 2-formas con campos vectoriales. Así, por ejemplo, el rotacional toma naturalmente como entrada un campo vectorial o 1-forma, pero naturalmente tiene como salida un campo 2-vectorial o 2-forma (de ahí el pseudocampo vectorial), que luego se interpreta como un campo vectorial, en lugar de tomar directamente un campo vectorial a un campo vectorial; Esto se refleja en que el rotacional de un campo vectorial en dimensiones superiores no tiene como resultado un campo vectorial.

Los campos escalares y vectoriales anteriores son casos específicos de campos tensoriales . En geometría diferencial, un campo vectorial se define como una aplicación de una variedad.${\textstyle M}$a su fibrado tangente , definido como la unión disjunta de todos los espacios tangentes (un espacio tangente para cada punto) de${\textstyle M}$,

${\textstyle V:M\to TM,\ TM\equiv \bigsqcup _{p\in M}T_{p}M}$

De manera similar, un campo covectorial es una aplicación de una variedad a su fibrado cotangente (definido de forma análoga a la expresión anterior pero reemplazando${\displaystyle T_{p}M}$con${\displaystyle T_{p}^{*}M}$). A${\displaystyle (p,q)}$un tensor se puede formar tomando un producto tensorial de un${\displaystyle (p,0)}$tensor y un${\displaystyle (0,q)}$tensor, que a su vez puede formarse tomando${\displaystyle p}$- y${\displaystyle q}$Productos tensoriales de orden de vectores y covectores, respectivamente. Por lo tanto, un${\displaystyle (p,q)}$un campo tensorial es un mapeo de una variedad a haces de${\displaystyle p}$- y${\displaystyle q}$Productos tensoriales de orden -ésimo de los espacios tangentes y espacios cotangentes (a los que pertenecen los vectores y covectores, respectivamente).

${\displaystyle T:M\to \bigsqcup _{x\in M}\bigotimes _{j=1}^{p}T_{p}M\bigotimes _{i=1}^{q}T_{p}^{*}M}$

Con esta generalización vemos que los campos escalares y vectoriales definidos anteriormente son simplemente${\displaystyle (0,0)}$y${\displaystyle (1,0)}$campos tensoriales.