Identidades del cálculo vectorial

Para una función${\displaystyle f(x,y,z)}$En variables de coordenadas cartesianas tridimensionales , el gradiente es el campo vectorial: $${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$$ donde i , j , k son los vectores unitarios estándar para los ejes x , y , z . De forma más general, para una función de n variables${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, también llamado campo escalar , el gradiente es el campo vectorial : $${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$son vectores unitarios mutuamente ortogonales.

Como su nombre indica, la pendiente es proporcional al cambio más rápido (positivo) de la función y apunta en esa dirección.

Para un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$, también llamado campo tensorial de orden 1, el gradiente o derivada total es la matriz jacobiana n × n : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

Para un campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$de cualquier orden k , el gradiente${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$es un campo tensorial de orden k + 1.

Para un campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$de orden k > 0, el campo tensorial${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$de orden k + 1 se define por la relación recursiva $${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {C} }$es un vector constante arbitrario.

En coordenadas cartesianas, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$es la función escalar: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}$$

Como su nombre lo indica, la divergencia es una medida (local) del grado en que divergen los vectores en el campo.

La divergencia de un campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$de orden distinto de cero k se escribe como${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$, una contracción de un campo tensorial de orden k − 1. Específicamente, la divergencia de un vector es un escalar. La divergencia de un campo tensorial de orden superior se puede encontrar descomponiendo el campo tensorial en una suma de productos externos y utilizando la identidad, $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$ dónde${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$es la derivada direccional en la dirección de${\displaystyle \mathbf {A} }$multiplicado por su magnitud. Específicamente, para el producto exterior de dos vectores, ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

Para un campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$de orden k > 1, el campo tensorial${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$de orden k − 1 se define por la relación recursiva $${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {C} }$es un vector constante arbitrario.

En coordenadas cartesianas, para${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$El rotacional es el campo vectorial: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$ donde i , j y k son los vectores unitarios para los ejes x , y y z , respectivamente.

Como su nombre indica, el rizo es una medida de cuánto tienden los vectores cercanos a seguir una dirección circular.

En la notación de Einstein , el campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$tiene rizo dado por: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon }$= ±1 o 0 es el símbolo de paridad de Levi-Civita .

Para un campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$de orden k > 1, el campo tensorial${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$de orden k se define por la relación recursiva $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {C} }$es un vector constante arbitrario.

Un campo tensorial de orden mayor que uno puede descomponerse en una suma de productos externos , y entonces se puede utilizar la siguiente identidad: $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$ Específicamente, para el producto exterior de dos vectores, ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

En coordenadas cartesianas , el laplaciano de una función${\displaystyle f(x,y,z)}$es $${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano es una medida de cuánto cambia una función en una pequeña esfera centrada en el punto.

Cuando el laplaciano es igual a 0, la función se denomina función armónica . Es decir, $${\displaystyle \Delta f=0.}$$

Para un campo tensorial ,${\displaystyle \mathbf {T} }$, el laplaciano generalmente se escribe como: $${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$ y es un campo tensorial del mismo orden.

Para un campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$de orden k > 0, el campo tensorial${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$de orden k se define por la relación recursiva $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {C} }$es un vector constante arbitrario.

En la notación de subíndices de Feynman , $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$ donde la notación ∇ _{B significa} ^que el gradiente subíndice opera solo sobre el factor B. ^{[ 4 ] [ 5 ]} [ ^{6 ]}

Más general pero similar es la notación de puntos superpuestos de Hestenes en álgebra geométrica . ^{[ 7 ] [ 8 ]} La identidad anterior se expresa entonces como: $${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$ donde los puntos superiores definen el alcance de la derivada vectorial. El vector con puntos, en este caso B , se diferencia, mientras que el vector A (sin puntos) se mantiene constante.

La utilidad de la notación de subíndices de Feynman radica en su uso en la derivación de identidades de derivadas vectoriales y tensoriales, como en el siguiente ejemplo que utiliza la identidad algebraica C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$$

Un método alternativo consiste en utilizar las componentes cartesianas del operador del de la siguiente manera (con suma implícita sobre el índice i ): 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$$

Otro método para derivar identidades de derivadas vectoriales y tensoriales consiste en reemplazar todas las apariciones de un vector en una identidad algebraica por el operador del, siempre que ninguna variable aparezca tanto dentro como fuera del ámbito de un operador, o dentro del ámbito de un operador en un término y fuera del ámbito de otro operador en el mismo término (es decir, los operadores deben estar anidados). La validez de esta regla se deriva de la validez del método de Feynman, ya que siempre se puede sustituir un subíndice del y luego eliminar inmediatamente el subíndice bajo la condición de la regla. Por ejemplo, de la identidad A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ C podemos derivar A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C pero no ∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ C , ni de A ⋅( B × A ) = 0 podemos derivar A ⋅(∇× A ) = 0. Por otro lado, un subíndice del opera en todas las ocurrencias del subíndice en el término, de modo que A ⋅(∇ _A × A ) = ∇ _A ⋅( A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0. Además, de A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C podemos derivar ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ ² C , pero de ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) no podemos derivar (∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ ² ( ψφ ).

Un subíndice c en una cantidad indica que se considera temporalmente una constante. Dado que una constante no es una variable, cuando se utiliza la regla de sustitución (véase el párrafo anterior), a diferencia de una variable, puede entrar o salir del ámbito de un operador del, como en el siguiente ejemplo: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Otra forma de indicar que una cantidad es constante es adjuntarla como subíndice al ámbito de un operador del, como sigue: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)_{\mathbf {A} }=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

En el resto de este artículo, se utilizará la notación de subíndices de Feynman cuando corresponda.

Tenemos las siguientes generalizaciones de la regla del producto en el cálculo de una variable .

Dejar${\displaystyle f(x)}$sea ​​una función de una variable de escalares a escalares,${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$una curva parametrizada ,${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$una función de vectores a escalares, y${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$un campo vectorial. Tenemos los siguientes casos especiales de la regla de la cadena multivariable .

Para una transformación vectorial${\displaystyle \mathbf {u} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$tenemos:

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {u} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {u} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {u} )\right)}$$

Aquí tomamos la traza del producto escalar de dos tensores de segundo orden, que corresponde al producto de sus matrices.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$denota la matriz jacobiana del campo vectorial${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$.

Alternativamente, utilizando la notación de subíndices de Feynman,

$${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$$

Véanse estas notas. ^{[ 11 ]}

Como caso especial, cuando A = B ,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$$

La generalización de la fórmula del producto escalar a variedades riemannianas es una propiedad definitoria de una conexión riemanniana , que diferencia un campo vectorial para dar una 1-forma con valores vectoriales .

Tenga en cuenta que la matriz${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$es antisimétrico.

La divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial A continuamente dos veces diferenciable es siempre cero: $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

Este es un caso especial de la desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadena de De Rham .

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia de su gradiente: $${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$ El resultado es una magnitud escalar.

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar, y la divergencia de una cantidad escalar no está definida. Por lo tanto, $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar continuamente dos veces diferenciable.${\displaystyle \varphi }$(es decir, clase de diferenciabilidad)${\displaystyle C^{2}}$) es siempre el vector cero : $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

Se puede demostrar fácilmente expresando${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$en un sistema de coordenadas cartesianas con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtas). Este resultado es un caso especial de la anulación del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadenas de De Rham .

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

Aquí ∇ ² es el laplaciano vectorial que opera sobre el campo vectorial A.

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar, y el rotacional de una magnitud escalar no está definido. Por lo tanto, $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

La figura de la derecha es una regla mnemotécnica para algunas de estas identidades. Las abreviaturas utilizadas son:

• D: divergencia,
• C: rizo,
• G: gradiente,
• L: Laplaciano,
• CC: rizo de rizo.

Cada flecha está etiquetada con el resultado de una identidad, específicamente, el resultado de aplicar el operador en el extremo de la flecha al operador en su extremo. El círculo azul en el centro indica que existe el rizo de rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (punteados) indican que no existen DD ni GG.

Abajo, el símbolo rizado ∂ significa " límite de " una superficie o sólido.

Integrales de curva-superficie

En los siguientes teoremas integrales de curva-superficie, S denota una superficie abierta 2d con un límite 1d correspondiente C = ∂ S (una curva cerrada ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( Teorema de Stokes )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} }$^{[ 16 ]}
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }$^{[ 17 ]}

La integración alrededor de una curva cerrada en sentido horario es el negativo de la misma integral de línea en sentido antihorario (análogo a intercambiar los límites en una integral definida ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-}$${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}$