Proyección vectorial

La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ donde θ es el ángulo entre a y b .

Una proyección escalar puede utilizarse como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.

La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b . Es decir, se define como $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$ dónde${\displaystyle a_{1}}$es la proyección escalar correspondiente, tal como se definió anteriormente, y${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$es el vector unitario con la misma dirección que b : $${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

Por definición, el rechazo vectorial de a sobre b es: $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Por eso, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

Por la propiedad antes mencionada del producto escalar, la definición de la proyección escalar se convierte en: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}}$$

En dos dimensiones, esto se convierte en $${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$ lo cual es equivalente a cualquiera de los dos $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$ o ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

En dos dimensiones, el rechazo escalar es equivalente a la proyección de un sobre${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$, que es${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$girado 90° hacia la izquierda. Por lo tanto, $${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Este tipo de producto escalar se denomina "producto escalar perpendicular".

Por definición, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Por eso, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

Al utilizar el rechazo escalar mediante el producto escalar perpendicular, se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

La proyección escalar a sobre b es un escalar que tiene signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados. Coincide con la longitud ‖c‖ de  la proyección vectorial si el  ángulo es menor que 90°. Más exactamente:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ si 0° ≤ θ ≤ 90° ,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ si 90° < θ ≤ 180° .

La proyección vectorial de a sobre b es un vector a ₁ que es nulo o paralelo a b . Más exactamente:

• a ₁ = 0 si θ = 90° ,
• a ₁ y b tienen la misma dirección si 0° ≤ θ < 90° ,
• a ₁ y b tienen direcciones opuestas si 90° < θ ≤ 180° .

El rechazo vectorial de a sobre b es un vector a ₂ que es nulo u ortogonal a b . Más exactamente:

• a ₂ = 0 si θ = 0° o θ = 180° ,
• a ₂ es ortogonal a b si 0 < θ < 180° ,

En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interno en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y rechazo. Para un espacio tridimensional con producto interno , las nociones de proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector de otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y rechazo de un vector de un plano. ^{[ 4 ]} La proyección de un vector sobre un plano es su proyección ortogonal sobre ese plano. El rechazo de un vector de un plano es su proyección ortogonal sobre una línea recta que es ortogonal a ese plano. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, el segundo es ortogonal.

Para un vector y un plano dados, la suma de la proyección y el rechazo es igual al vector original. De manera similar, para espacios con producto interno de más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y rechazo de un vector pueden generalizarse a las nociones de proyección sobre un hiperplano y rechazo de un hiperplano . En álgebra geométrica , pueden generalizarse aún más a las nociones de proyección y rechazo de un multivector general sobre/desde cualquier k -hoja invertible.