Dimensión (espacio vectorial)

En matemáticas , la dimensión de un espacio vectorial V es la cardinalidad (es decir, el número de vectores) de una base de V sobre su cuerpo base . ^{[ 1 ] [ 2 ]} A veces se la llama dimensión de Hamel (en honor a Georg Hamel ) o dimensión algebraica para distinguirla de otros tipos de dimensión .

Para cada espacio vectorial existe una base, ^{[ a ]} ​​y todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad; ^{[ b ]} como resultado, la dimensión de un espacio vectorial está definida de forma única.${\displaystyle V}$Se dice quede dimensión finita si la dimensión de${\displaystyle V}$es finito yde dimensión infinita si su dimensión esinfinita.

La dimensión del espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre el campo${\displaystyle F}$se puede escribir como${\displaystyle \dim _{F}(V)}$o como${\displaystyle [V:F],}$leer "dimensión de${\displaystyle V}$encima${\displaystyle F}$". Cuando${\displaystyle F}$puede inferirse del contexto, la dimensión generalmente se escribe como${\displaystyle \dim(V)}$en cambio.

El espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$tiene $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$ como base estándar y, por lo tanto,${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$En términos más generales,${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$y, de forma aún más general,${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$para cualquier campo${\displaystyle F.}$

Los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$son un espacio vectorial real y complejo. Su dimensión depende del campo base, como${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$y${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1}$. Por ejemplo, 1 como base y los números complejos como escalares (elementos del campo para el espacio vectorial ) forman un espacio vectorial unidimensional, mientras que${\textstyle \{1,i\}}$Como base, y como escalares, los números reales forman un espacio vectorial bidimensional.

El único espacio vectorial con dimensión${\displaystyle 0}$es${\displaystyle \{0\},}$el espacio vectorial que consta únicamente de su elemento cero.

Si${\displaystyle W}$es un subespacio lineal de${\displaystyle V}$, entonces${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

Para demostrar que dos espacios vectoriales de dimensión finita son iguales, se puede utilizar el siguiente criterio: si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial de dimensión finita y${\displaystyle W}$es un subespacio lineal de${\displaystyle V}$con${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$entonces${\displaystyle W=V.}$

El espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$tiene la base estándar${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$dónde${\displaystyle e_{i}}$es el${\displaystyle i}$-ésima columna de la matriz identidad correspondiente . Por lo tanto,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$tiene dimensión${\displaystyle n.}$

Dos espacios vectoriales de dimensión finita cualesquiera sobre${\displaystyle F}$con la misma dimensión son isomorfos . Cualquier aplicación biyectiva entre sus bases puede extenderse de forma única a una aplicación lineal biyectiva entre los espacios vectoriales. Si${\displaystyle B}$es algún conjunto, un espacio vectorial con dimensión${\displaystyle |B|}$encima${\displaystyle F}$se puede construir de la siguiente manera: tome el conjunto${\displaystyle F(B)}$de todas las funciones${\displaystyle f:B\to F}$de tal manera que${\displaystyle f(b)=0}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle b}$en${\displaystyle B.}$Estas funciones se pueden sumar y multiplicar con elementos de${\displaystyle F}$para obtener lo deseado${\displaystyle F}$-espacio vectorial.

Un resultado importante sobre las dimensiones viene dado por el teorema de rango-nulidad para aplicaciones lineales .

Si${\displaystyle F/K}$es una extensión de campo , entonces${\displaystyle F}$es en particular un espacio vectorial sobre${\displaystyle K.}$Además, cada${\displaystyle F}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$también es un${\displaystyle K}$-espacio vectorial. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula $${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$ En particular, todo espacio vectorial complejo de dimensión${\displaystyle n}$es un espacio vectorial real de dimensión${\displaystyle 2n.}$

Algunas fórmulas relacionan la dimensión de un espacio vectorial con la cardinalidad del campo base y la cardinalidad del espacio mismo. Si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle F}$y si la dimensión de${\displaystyle V}$se denota por${\displaystyle \dim V,}$entonces:

Si está oscuro${\displaystyle V}$entonces es finito${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

Si está oscuro${\displaystyle V}$entonces es infinito${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

Un espacio vectorial puede considerarse un caso particular de un matroide , y en este último existe una noción bien definida de dimensión. Tanto la longitud de un módulo como el rango de un grupo abeliano poseen varias propiedades similares a la dimensión de los espacios vectoriales.

La dimensión de Krull de un anillo conmutativo , que recibe su nombre de Wolfgang Krull (1899-1971 ) , se define como el número máximo de inclusiones estrictas en una cadena creciente de ideales primos en el anillo.

• Dimensión fractal : número de dimensiones espaciales de valor real. 
• Dimensión de Krull – En matemáticas, dimensión de un anillo 
• Rango del matroide : tamaño máximo de un conjunto independiente del matroide. 
• Rango (álgebra lineal) – Dimensión del espacio columna de una matriz 
• Dimensión topológica : definición topológicamente invariante de la dimensión de un espacio. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección , también llamada dimensión de cobertura de Lebesgue. 

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado (3.ª  ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.

• Conferencia de Álgebra Lineal del MIT sobre Independencia, Base y Dimensión impartida por Gilbert Strang en MIT OpenCourseWare.