Armónicos esféricos vectoriales

En matemáticas , los armónicos esféricos vectoriales ( VSH ) son una extensión de los armónicos esféricos escalares para su uso con campos vectoriales . Los componentes de los VSH son funciones de valor complejo expresadas en los vectores base de coordenadas esféricas .

Definición

Se han utilizado varias convenciones para definir el VSH. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Seguimos la de Barrera et al. . Dado un armónico esférico escalar $Y ℓm (θ, φ)$ , definimos tres VSH:

$\mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},$
$\mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},$
$\mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},$

con ${\hat {\mathbf {r} }}$ siendo el vector unitario a lo largo de la dirección radial en coordenadas esféricas y $\mathbf {r}$ el vector a lo largo de la dirección radial con la misma norma que el radio, es decir, $\mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}$ Los factores radiales se incluyen para garantizar que las dimensiones de los VSH sean las mismas que las de los armónicos esféricos ordinarios y que los VSH no dependan de la coordenada esférica radial.

El interés de estos nuevos campos vectoriales radica en separar la dependencia radial de la angular al utilizar coordenadas esféricas, de modo que un campo vectorial admita una expansión multipolar.

$\mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).$

Las etiquetas en los componentes reflejan eso. $E_{\ell m}^{r}$ es la componente radial del campo vectorial, mientras que $E_{\ell m}^{(1)}$ y $E_{\ell m}^{(2)}$ son componentes transversales (con respecto al vector de radio) $\mathbf {r}$ ).

En física

En física, los armónicos esféricos vectoriales $\mathbf {Y} _{j,\ell ,s}^{m_{j}}$ se definen como espín ${\textstyle s=1}$ funciones propias de los operadores de momento angular ${\textstyle J^{2},J_{z},L^{2}}$ , y ${\textstyle S^{2}}$ , dónde ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ es el momento angular total. ^{[ 6 ]} Se escriben como $\mathbf {Y} _{j,\ell ,1}^{m_{j}}(\mathbf {k} )=\sum _{m_{\ell }\,=\,-\ell }^{+\ell }~\sum _{m_{s}\,=\,-1}^{+1}\langle j~m_{j}|\ell ~1~m_{\ell }~m_{s}\rangle Y_{\ell }^{m_{\ell }}(\mathbf {k} )\,{\hat {\mathbf {e} }}_{m_{s}},$ que son combinaciones lineales de los armónicos esféricos escalares $Y_{\ell }^{m_{\ell }}$ con la base del momento angular vectorial ${\hat {\mathbf {e} }}_{\pm 1}=\mp {\frac {{\hat {\mathbf {x} }}\pm i{\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {2}}},\quad {\hat {\mathbf {e} }}_{0}={\hat {\mathbf {z} }}.$ utilizando los coeficientes de Clebsch-Gordan $\langle j~m_{j}|\ell ~1~m_{\ell }~m_{s}\rangle$ .

Debido a que los bosones vectoriales como el fotón tienen espín uno, los armónicos esféricos vectoriales se utilizan comúnmente en física para describir interacciones vectoriales y pseudovectoriales , como las transiciones electromagnéticas, en sistemas atómicos y nucleares. Son una forma especial ( ${\textstyle s=1}$ ) caso de los armónicos esféricos de espín .

Para derivar estas relaciones, se parte del desarrollo en serie de ondas planas con polarización vectorial.

Propiedades principales

Simetría

Al igual que los armónicos esféricos escalares, los VSH satisfacen

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}$

lo que reduce aproximadamente a la mitad el número de funciones independientes. El asterisco indica conjugación compleja .

Ortogonalidad

Los VSH son ortogonales de la forma tridimensional habitual en cada punto. $\mathbf {r}$ :

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}$

También son ortogonales en el espacio de Hilbert :

${\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}$

Un resultado adicional en un solo punto $\mathbf {r}$ (no reportado en Barrera et al, 1985) es, para todos $\ell ,m,\ell ',m'$ ,

${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}$

Momentos multipolares vectoriales

Las relaciones de ortogonalidad permiten calcular los momentos multipolares esféricos de un campo vectorial como

${\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}$

El gradiente de un campo escalar

Dada la expansión multipolar de un campo escalar

$\phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),$

podemos expresar su gradiente en términos de la VSH como

$\nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).$

Divergencia

Para cualquier campo multipolar tenemos

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}$

Por superposición obtenemos la divergencia de cualquier campo vectorial:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.$

Vemos que el componente en $Φ ℓm$ es siempre solenoidal .

Rizo

Para cualquier campo multipolar tenemos

${\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}$

Por superposición obtenemos el rotacional de cualquier campo vectorial:

$\nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).$

Laplaciano

La acción del operador de Laplace $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ Se separa de la siguiente manera:

$\Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},$ dónde $\mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}$ y

${\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2\ell (\ell +1)}{r^{2}}}\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}$

También tenga en cuenta que esta acción se vuelve simétrica , es decir, los coeficientes fuera de la diagonal son iguales a ${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$ , para VSH correctamente normalizado .

Ejemplos

\mathbf {\Psi } _{1m}

\mathbf {\Psi } _{2m}

\mathbf {\Psi } _{3m}

\mathbf {\Phi } _{1m}

\mathbf {\Phi } _{2m}

\mathbf {\Phi } _{3m}

Visualizaciones de las partes reales de

\ell =1,2,3

VSH. Haga clic para ampliar.

Primeros armónicos esféricos vectoriales

$\ell =0$ . ${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}$
$\ell =1$ . ${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}$
$\ell =2$ . ${\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}$

Las expresiones para valores negativos de $m$ se obtienen aplicando las relaciones de simetría.

Aplicaciones

Electrodinámica

Los VSH son especialmente útiles en el estudio de campos de radiación multipolares . Por ejemplo, un multipolo magnético se debe a una corriente oscilante con frecuencia angular. $\omega$ y amplitud compleja

${\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},$

y los campos eléctricos y magnéticos correspondientes se pueden escribir como

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}$

Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss se satisface automáticamente.

$\nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,$

mientras que la ley de Faraday se desacopla como

$\nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}$

La ley de Gauss para el campo magnético implica

$\nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,$

y la ecuación de Ampère-Maxwell da

$\nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.$

De esta forma, las ecuaciones diferenciales parciales se han transformado en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Definición alternativa

Parte angular de los armónicos esféricos vectoriales magnéticos y eléctricos. Las flechas rojas y verdes indican la dirección del campo. También se presentan las funciones escalares generadoras, aunque solo se muestran los tres primeros órdenes (dipolos, cuadrupolos y octupolos).

En muchas aplicaciones, los armónicos esféricos vectoriales se definen como el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

En este caso, los armónicos esféricos vectoriales se generan mediante funciones escalares, que son soluciones de la ecuación escalar de Helmholtz con el vector de onda. $\mathbf {k}$ . ${\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}$ aquí $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ son los polinomios de Legendre asociados y $z_{n}({k}r)$ son cualquiera de las funciones de Bessel esféricas .

Los armónicos esféricos vectoriales se definen como:

armónicos longitudinales: $\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}$
armónicos magnéticos: $\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)$
armónicos eléctricos: $\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}$

Aquí utilizamos la parte angular de valor real de los armónicos, donde $m\geq 0$ , pero las funciones complejas pueden introducirse de la misma manera.

Introduzcamos la notación $\rho =kr$ En forma de componentes, los armónicos esféricos vectoriales se escriben como: ${\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$ No hay parte radial para los armónicos magnéticos. Para los armónicos eléctricos, la parte radial disminuye más rápido que la angular, y para grandes $\rho$ puede despreciarse. También podemos ver que para los armónicos eléctricos y magnéticos las partes angulares son las mismas salvo permutación de los vectores unitarios polares y azimutales, por lo que para grandes $\rho$ Los vectores armónicos eléctricos y magnéticos tienen el mismo valor y son perpendiculares entre sí.

Armónicos longitudinales: ${\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}$

Ortogonalidad

Las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz obedecen las siguientes relaciones de ortogonalidad: ^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}$

Todas las demás integrales sobre los ángulos entre funciones diferentes o funciones con índices diferentes son iguales a cero.

Rotación e inversión

Ilustración de la transformación de armónicos esféricos vectoriales bajo rotaciones. Se puede observar que se transforman de la misma manera que las funciones escalares correspondientes.

Bajo rotación, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí de la misma manera que las funciones esféricas escalares correspondientes , que son generadoras para un tipo específico de armónicos vectoriales. Por ejemplo, si las funciones generadoras son los armónicos esféricos usuales , entonces los armónicos vectoriales también se transformarán a través de las matrices D de Wigner ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ].} ${\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),$ El comportamiento bajo rotaciones es el mismo para armónicos eléctricos, magnéticos y longitudinales.

Bajo inversión, los armónicos esféricos eléctricos y longitudinales se comportan de la misma manera que las funciones esféricas escalares, es decir ${\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),$ y los magnéticos tienen la paridad opuesta: ${\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),$

dinámica de fluidos

En el cálculo de la ley de Stokes para la resistencia que un fluido viscoso ejerce sobre una pequeña partícula esférica, la distribución de velocidad obedece a las ecuaciones de Navier-Stokes despreciando la inercia, es decir,

${\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}$

con las condiciones de contorno

$\mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}$

donde U es la velocidad relativa de la partícula con respecto al fluido lejos de la partícula. En coordenadas esféricas, esta velocidad en el infinito se puede escribir como

$\mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).$

La última expresión sugiere una expansión en armónicos esféricos para la velocidad del líquido y la presión.

${\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}$

La sustitución en las ecuaciones de Navier-Stokes produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes.

Relaciones integrales

Aquí se utilizan las siguientes definiciones:

${\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}$

$\mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)$

$\mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)$ En caso de que en lugar de $z_{n}$ son funciones de Bessel esféricas , con la ayuda de la expansión en ondas planas se pueden obtener las siguientes relaciones integrales: ^{[ 12 ]}

$\mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}$

$\mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}$

En caso de que, cuando $z_{n}$ son funciones esféricas de Hankel, se deben usar fórmulas diferentes. ^{[ 13 ]}^{[ 12 ]} Para armónicos esféricos vectoriales se obtienen las siguientes relaciones:

$\mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)$

$\mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)$ dónde ${\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$ , índice $(3)$ significa que se utilizan funciones de Hankel esféricas.

Véase también

Referencias

↑ Barrera, RG; Estevez, GA; Giraldo, J (1985-10-01). "Armónicos esféricos vectoriales y su aplicación a la magnetostática". European Journal of Physics . 6 (4). IOP Publishing: 287– 294. Bibcode : 1985EJPh....6..287B . CiteSeerX 10.1.1.718.2001 . doi : 10.1088/0143-0807/6/4/014 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250894245 .
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Enlaces externos

Armónicos esféricos vectoriales en Mathworld de Eric Weisstein

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