álgebra de operadores de vértice

Un álgebra de vértices es una colección de datos que satisfacen ciertos axiomas.

Un álgebra de operadores de vértice es un álgebra de vértice equipada con un elemento conforme.${\displaystyle \omega \in V}$, de tal manera que el operador de vértice${\displaystyle Y(\omega ,z)}$es el peso dos campo Virasoro${\displaystyle L(z)}$:

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

y satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$, dónde${\displaystyle c}$es una constante llamada carga central o rango de${\displaystyle V}$. En particular, los coeficientes de este operador de vértice dotan de${\displaystyle V}$con una acción del álgebra de Virasoro con carga central${\displaystyle c}$.
• ${\displaystyle L_{0}}$actúa de forma semisimple en${\displaystyle V}$con valores propios enteros que están acotados inferiormente.
• Bajo la clasificación proporcionada por los valores propios de${\displaystyle L_{0}}$, la multiplicación en${\displaystyle V}$es homogéneo en el sentido de que si${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son homogéneos, entonces${\displaystyle u_{n}v}$es homogéneo de grado${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$.
• La identidad${\displaystyle 1}$tiene grado 0 y el elemento conforme${\displaystyle \omega }$tiene grado 2.
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$.

Un homomorfismo de álgebras de vértices es una aplicación de los espacios vectoriales subyacentes que respeta la estructura adicional de identidad, traslación y multiplicación. Los homomorfismos de álgebras de operadores de vértices tienen formas "débiles" y "fuertes", según respeten o no los vectores conformes.

En la teoría del álgebra de vértices, debido a la asociatividad, podemos abusar de la notación para escribir, para${\displaystyle A,B,C\in V,}$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$ Esta es la expansión del producto del operador . De forma equivalente, $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$ Dado que la parte ordenada normalmente es regular en${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$, esto se puede escribir de forma más acorde con las convenciones físicas como $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$ donde la relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$denota equivalencia salvo términos regulares.

Un ejemplo básico de álgebra de vértices no conmutativa es el bosón libre de rango 1, también llamado álgebra de operadores de vértice de Heisenberg. Se "genera" mediante un único vector b , en el sentido de que al aplicar los coeficientes del campo b ( z )  := Y ( b , z ) al vector 1 , obtenemos un conjunto generador. El espacio vectorial subyacente es el anillo de polinomios de infinitas variables.${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$donde para positivo${\displaystyle n}$,${\displaystyle b_{-n}}$actúa obviamente por multiplicación, y${\displaystyle b_{n}}$actúa como${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$. La acción de b ₀ es la multiplicación por cero, produciendo la representación de Fock de "momento cero" V ₀ del álgebra de Lie de Heisenberg (generada por b _n para enteros n , con relaciones de conmutación [ b _n , b _m ]= n δ _n,–m ), inducida por la representación trivial de la subálgebra abarcada por b _n , n ≥ 0.

El espacio de Fock V ₀ puede convertirse en un álgebra de vértices mediante la siguiente definición del mapa operador de estado sobre una base${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$con cada${\displaystyle j_{i}<0}$,

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

dónde${\displaystyle$ :{\mathcal {O}}:} denota el ordenamiento normal de un operador${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Los operadores de vértice también pueden escribirse como un funcional de una función multivariable f de la siguiente manera:

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

si entendemos que cada término en la expansión de f está ordenado normalmente.

El bosón libre de rango n se obtiene tomando un producto tensorial n -ésimo del bosón libre de rango 1. Para cualquier vector b en un espacio n -dimensional, se tiene un campo b ( z ) cuyos coeficientes son elementos del álgebra de Heisenberg de rango n , cuyas relaciones de conmutación tienen un término de producto interno adicional: [ b _n , c _m ]= n (b,c) δ _n,–m .

El álgebra de operadores de vértice de Heisenberg tiene una familia uniparamétrica de vectores conformes con parámetro${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$vectores conformes${\displaystyle \omega _{\lambda }}$dado por

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

con cargo central${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$. ^{[ 4 ]}

Cuando${\displaystyle \lambda =0}$, existe la siguiente fórmula para el carácter Virasoro :

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

Esta es la función generadora para particiones , y también se escribe como q ^1/24 veces el peso −1/2 forma modular 1/η (el recíproco de la función eta de Dedekind ). El bosón libre de rango n tiene entonces una familia de n parámetros de vectores de Virasoro, y cuando esos parámetros son cero, el carácter es q ^{n /24} veces el peso − n /2 forma modular η ^{− n} .

Las álgebras de operadores de vértice de Virasoro son importantes por dos razones: Primero, el elemento conforme en un álgebra de operadores de vértice induce canónicamente un homomorfismo a partir de un álgebra de operadores de vértice de Virasoro, por lo que desempeñan un papel universal en la teoría. Segundo, están íntimamente conectadas con la teoría de representaciones unitarias del álgebra de Virasoro, y estas desempeñan un papel fundamental en la teoría de campos conformes . En particular, los modelos mínimos unitarios de Virasoro son cocientes simples de estas álgebras de vértice, y sus productos tensoriales proporcionan una forma de construir combinatoriamente álgebras de operadores de vértice más complejas.

El álgebra de operadores de vértice de Virasoro se define como una representación inducida del álgebra de Virasoro : si elegimos una carga central c , existe un módulo unidimensional único para la subálgebra C [z]∂ _z + K para la cual K actúa por c Id, y C [z]∂ _z actúa trivialmente, y el módulo inducido correspondiente está generado por polinomios en L _–n = –z ^−n–1 ∂ _z cuando n varía sobre enteros mayores que 1. El módulo entonces tiene función de partición

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

Este espacio tiene una estructura de álgebra de operadores de vértice, donde los operadores de vértice se definen por:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

y${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$El hecho de que el campo de Virasoro L(z) sea local respecto a sí mismo se puede deducir de la fórmula de su autoconmutador:

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

donde c es la carga central .

Dado un homomorfismo de álgebra de vértices de un álgebra de vértices de Virasoro con carga central c a cualquier otra álgebra de vértices, el operador de vértice asociado a la imagen de ω satisface automáticamente las relaciones de Virasoro; es decir, la imagen de ω es un vector conforme. Recíprocamente, cualquier vector conforme en un álgebra de vértices induce un homomorfismo de álgebra de vértices distinguido a partir de algún álgebra de operadores de vértice de Virasoro.

Las álgebras de operadores de vértice de Virasoro son simples, excepto cuando c tiene la forma 1–6( p – q ) ² / pq para enteros coprimos p , q estrictamente mayores que 1 – esto se deduce de la fórmula del determinante de Kac. En estos casos excepcionales, se tiene un único ideal maximal, y el cociente correspondiente se llama modelo mínimo. Cuando p = q +1, las álgebras de vértice son representaciones unitarias de Virasoro, y sus módulos se conocen como representaciones de series discretas. Juegan un papel importante en la teoría de campos conformes en parte porque son inusualmente manejables, y para p pequeño , corresponden a sistemas de mecánica estadística bien conocidos en criticidad, por ejemplo, el modelo de Ising , el modelo de Ising tricrítico , el modelo de Potts de tres estados , etc. Gracias al trabajo de Weiqang Wang ^{[ 5 ]} sobre reglas de fusión , tenemos una descripción completa de las categorías tensoriales de modelos mínimos unitarios. Por ejemplo, cuando c = 1/2 (Ising), hay tres módulos irreducibles con peso L ₀ más bajo 0, 1/2 y 1/16, y su anillo de fusión es Z [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y ).

Al reemplazar el álgebra de Lie de Heisenberg por un álgebra de Lie de Kac-Moody afín no retorcida (es decir, la extensión central universal del álgebra de bucles sobre un álgebra de Lie simple de dimensión finita ), se puede construir la representación del vacío de forma muy similar a como se construye el álgebra de vértices de bosones libres. Esta álgebra surge como el álgebra de corrientes del modelo de Wess-Zumino-Witten , que produce la anomalía que se interpreta como la extensión central.

Concretamente, retrayendo la extensión central

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

junto con la inclusión${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$produce una extensión dividida, y el módulo de vacío se induce a partir de la representación unidimensional de esta última sobre la cual un elemento base central actúa mediante alguna constante elegida llamada "nivel". Dado que los elementos centrales pueden identificarse con productos internos invariantes en el álgebra de Lie de tipo finito${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Normalmente, se normaliza el nivel de modo que la forma de Killing tenga un nivel que sea el doble del número de Coxeter dual . De forma equivalente, el nivel uno da el producto interno para el cual la raíz más larga tiene norma 2. Esto coincide con la convención del álgebra de bucles , donde los niveles se discretizan mediante la tercera cohomología de grupos de Lie compactos simplemente conexos .

Al elegir una base J ^a del álgebra de Lie de tipo finito, se puede formar una base del álgebra de Lie afín usando J ^a _n = J ^a t ⁿ junto con un elemento central K . Mediante reconstrucción, podemos describir los operadores de vértice mediante productos ordenados normales de derivadas de los campos

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

Cuando el nivel no es crítico, es decir, el producto interno no es menos la mitad de la forma de Killing, la representación del vacío tiene un elemento conforme, dado por la construcción de Sugawara . ^{[ b ]} Para cualquier elección de bases duales J ^a , J _a con respecto al producto interno de nivel 1, el elemento conforme es

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

y produce un álgebra de operadores de vértice cuya carga central es${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$. En el nivel crítico, la estructura conforme se destruye, ya que el denominador es cero, pero se pueden producir operadores L _n para n ≥ –1 tomando un límite cuando k se acerca a la criticidad.

Dada una álgebra de vértices V con multiplicación Y , un V -módulo es un espacio vectorial M equipado con una acción Y ^M : V ⊗ M → M (( z )), que satisface las siguientes condiciones:

(Identidad) Y ^M (1,z) = Id _M

(Asociatividad o identidad de Jacobi) Para cualesquiera u , v ∈ V , w ∈ M , existe un elemento

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

de tal manera que Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w y Y ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w son las expansiones correspondientes de${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$en M (( z ))(( x )) y M (( x ))(( z – x )). De forma equivalente, se cumple la siguiente " identidad de Jacobi ":

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

Los módulos de un álgebra de vértices forman una categoría abeliana . Cuando se trabaja con álgebras de operadores de vértices, a la definición anterior a veces se le da el nombre de débil.${\displaystyle V}$-módulo , y los V -módulos genuinos deben respetar la estructura conforme dada por el vector conforme.${\displaystyle \omega }$. Más precisamente, se les exige que satisfagan la condición adicional de que L ₀ actúa semisimplemente con autoespacios y autovalores de dimensión finita acotados inferiormente en cada clase lateral de Z . El trabajo de Huang, Lepowsky, Miyamoto y Zhang ha demostrado en varios niveles de generalidad que los módulos de un álgebra de operadores de vértice admiten una operación de producto tensorial de fusión y forman una categoría tensorial trenzada .

Cuando la categoría de V -módulos es semisimple con un número finito de objetos irreducibles, el álgebra de operadores de vértice _V se denomina racional. Se sabe que las álgebras de operadores de vértice racionales que satisfacen una hipótesis de finitud adicional (conocida como la condición de cofinitud C2 de Zhu ) se comportan particularmente bien y se denominan regulares . Por ejemplo, el teorema de invariancia modular de Zhu de 1996 afirma que los caracteres de los módulos de un VOA regular forman una representación vectorial de${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$. En particular, si un VOA es holomorfo , es decir, su categoría de representación es equivalente a la de los espacios vectoriales, entonces su función de partición es${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$-invariante salvo una constante. Huang demostró que la categoría de módulos de un VOA regular es una categoría tensorial modular y sus reglas de fusión satisfacen la fórmula de Verlinde .

Los módulos del álgebra de Heisenberg pueden construirse como espacios de Fock.${\displaystyle \pi _{\lambda }}$para${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$que son representaciones inducidas del álgebra de Lie de Heisenberg , dadas por un vector de vacío${\displaystyle v_{\lambda }}$satisfactorio${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$para${\displaystyle n>0}$,${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$y siendo libremente influenciados por los modos negativos.${\displaystyle b_{-n}}$para${\displaystyle n>0}$El espacio se puede escribir como${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$. Todo irreductible,${\displaystyle \mathbb {Z} }$-El módulo de álgebra de Heisenberg graduado con gradación acotada inferiormente tiene esta forma.

Estos se utilizan para construir álgebras de vértices reticulares, que como espacios vectoriales son sumas directas de módulos de Heisenberg, cuando la imagen de${\displaystyle Y}$se extiende adecuadamente a los elementos del módulo.

La categoría de módulos no es semisimple, ya que se puede inducir una representación del álgebra de Lie abeliana donde b ₀ actúa mediante un bloque de Jordan no trivial . Para el bosón libre de rango n , se tiene un módulo irreducible V _λ para cada vector λ en el espacio complejo n -dimensional. Cada vector b ∈ C ⁿ produce el operador b ₀ , y el espacio de Fock V _λ se distingue por la propiedad de que cada uno de estos b ₀ actúa como una multiplicación escalar por el producto interno ( b , λ).

A diferencia de los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo retorcido asociado a un automorfismo. Para un automorfismo σ de orden N , la acción tiene la forma V ⊗ M → M (( z ^1/N )), con la siguiente condición de monodromía : si u ∈ V satisface σ u = exp(2π ik / N ) u , entonces u _n = 0 a menos que n satisfaga n + k / N ∈ Z (existe cierta discrepancia sobre los signos entre los especialistas). Geométricamente, los módulos retorcidos pueden asociarse a puntos de ramificación en una curva algebraica con una cubierta de Galois ramificada . En la literatura de la teoría de campos conformes, los módulos retorcidos se denominan sectores retorcidos y están íntimamente conectados con la teoría de cuerdas en orbifolds .

La construcción del álgebra de vértices reticular fue la motivación original para definir las álgebras de vértices. Se construye tomando una suma de módulos irreducibles para el álgebra de Heisenberg correspondiente a los vectores reticulares, y definiendo una operación de multiplicación especificando operadores de entrelazamiento entre ellos. Es decir, si Λ es un retículo par (si el retículo no es par, la estructura obtenida es en cambio una superálgebra de vértices), el álgebra de vértices reticular V _Λ se descompone en módulos bosónicos libres como:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

Las álgebras de vértices reticulares se adjuntan canónicamente a recubrimientos dobles de retículos enteros pares , en lugar de a los retículos mismos. Si bien cada uno de estos retículos tiene un álgebra de vértices reticular única salvo isomorfismo, la construcción del álgebra de vértices no es funtorial, porque los automorfismos reticulares tienen una ambigüedad en el levantamiento. ^{[ 1 ]}

Las cubiertas dobles en cuestión están determinadas de forma única salvo isomorfismo por la siguiente regla: los elementos tienen la forma ±e _α para vectores reticulares α ∈ Λ (es decir, hay una aplicación a Λ que envía e _α a α que olvida los signos), y la multiplicación satisface las relaciones e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _α . Otra forma de describir esto es que dada una red uniforme Λ , existe un cociclo normalizado único (hasta el colímite) ε ( α , β ) con valores ±1 tales que (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , donde la condición de normalización es que ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 para todo α ∈ Λ . Este cociclo induce una extensión central de Λ por un grupo de orden 2, y obtenemos un anillo de grupo retorcido C _ε [Λ] con base e _α ( α ∈ Λ) , y regla de multiplicación e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β} – la condición del cociclo en ε asegura la asociatividad del anillo. ^{[ 6 ]}

El operador de vértice asociado al vector de menor peso v _λ en el espacio de Fock V _λ es

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

donde z ^λ es una notación abreviada para la aplicación lineal que transforma cualquier elemento del espacio α-Fock V _α en el monomio z ^{( λ , α )} . Los operadores de vértice para otros elementos del espacio Fock se determinan entonces mediante reconstrucción.

Como en el caso del bosón libre, se tiene la opción de elegir un vector conforme, dado por un elemento s del espacio vectorial Λ ⊗ C , pero la condición de que los espacios de Fock adicionales tengan autovalores enteros L _{0 restringe la elección de} s : para una base ortonormal x _i , el vector 1/2 x _i,1 ² + s ₂ debe satisfacer ( s , λ ) ∈ Z para todo λ ∈ Λ, es decir, s se encuentra en la red dual.

Si la red par Λ se genera mediante sus "vectores raíz" (aquellos que satisfacen (α, α)=2), y dos vectores raíz cualesquiera se unen mediante una cadena de vectores raíz con productos internos consecutivos distintos de cero, entonces el álgebra de operadores de vértice es el único cociente simple del módulo de vacío del álgebra afín de Kac-Moody del álgebra de Lie simple simplemente enlazada correspondiente en el nivel uno. Esto se conoce como la construcción de Frenkel-Kac (o Frenkel - Kac - Segal ), y se basa en la construcción previa de Sergio Fubini y Gabriele Veneziano del operador de vértice taquiónico en el modelo de resonancia dual . Entre otras características, los modos cero de los operadores de vértice correspondientes a los vectores raíz proporcionan una construcción del álgebra de Lie simple subyacente, relacionada con una presentación originalmente debida a Jacques Tits . En particular, se obtiene una construcción de todos los grupos de Lie de tipo ADE directamente a partir de sus redes raíz. Y esta se considera comúnmente la forma más sencilla de construir el grupo de 248 dimensiones E ₈ . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El álgebra de vértices monstruosa${\displaystyle V^{\natural }}$(también llamado el "módulo moonshine") es la clave de la prueba de Borcherds de las conjeturas del moonshine monstruoso . Fue construido por Frenkel, Lepowsky y Meurman en 1988. Es notable porque su carácter es el j-invariante sin término constante,${\displaystyle j(\tau )-744}$y su grupo de automorfismos es el grupo monstruo . Se construye mediante el orbifolding del álgebra de vértices reticulares construida a partir del retículo de Leech por el automorfismo de orden 2 inducido al reflejar el retículo de Leech en el origen. Es decir, se forma la suma directa del VOA del retículo de Leech con el módulo retorcido y se toman los puntos fijos bajo una involución inducida. Frenkel, Lepowsky y Meurman conjeturaron en 1988 que${\displaystyle V^{\natural }}$es el único álgebra de operador de vértice holomorfa con carga central 24 y función de partición${\displaystyle j(\tau )-744}$Esta conjetura aún está abierta.

Malikov, Schechtman y Vaintrob demostraron que, mediante un método de localización, se puede adjuntar canónicamente un sistema bcβγ (supercampo bosón-fermión) a una variedad compleja lisa. Este complejo de haces tiene un diferencial distinguido, y la cohomología global es una superálgebra de vértices. Ben-Zvi, Heluani y Szczesny demostraron que una métrica riemanniana en la variedad induce una estructura superconforme N = 1, que se promueve a una estructura N = 2 si la métrica es Kähler y Ricci-plana , y una estructura hiperkähler induce una estructura N = 4. Borisov y Libgober demostraron que se puede obtener el género elíptico de dos variables de una variedad compleja compacta a partir de la cohomología del complejo de De Rham quiral. Si la variedad es Calabi-Yau , entonces este género es una forma de Jacobi débil . ^{[ 8 ]}

Un álgebra de vértices puede surgir como un subsector de la teoría cuántica de campos de dimensiones superiores que se localiza en una subvariedad de dos dimensiones reales del espacio en el que se define la teoría de dimensiones superiores. Un ejemplo prototípico es la construcción de Beem, Leemos, Liendo, Peelaers, Rastelli y van Rees que asocia un álgebra de vértices a cualquier teoría de campos superconforme 4d N =2 . ^{[ 9 ]} Esta álgebra de vértices tiene la propiedad de que su carácter coincide con el índice de Schur de la teoría superconforme 4d. Cuando la teoría admite un límite de acoplamiento débil, el álgebra de vértices tiene una descripción explícita como una reducción BRST de un sistema bcβγ.