Vibración de la cuerda

Una vibración en una cuerda es una onda . Una perturbación inicial (como pulsarla o golpearla) hace que una cuerda vibrante produzca un sonido con frecuencia constante , es decir, tono constante . La naturaleza de este proceso de selección de frecuencia ocurre para una cuerda tensada con una longitud finita, lo que significa que solo ciertas frecuencias pueden sobrevivir en esta cuerda. Si la longitud, la tensión y la densidad lineal (por ejemplo, el grosor o la elección del material) de la cuerda se especifican correctamente, el sonido producido es un tono musical . Las cuerdas vibrantes son la base de instrumentos de cuerda como guitarras , violonchelos y pianos . Para una cuerda homogénea, el movimiento viene dado por la ecuación de onda .

La velocidad de propagación de una onda en una cuerda (${\displaystyle v}$) es proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de tensión de la cuerda (${\displaystyle T}$) e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal (${\displaystyle \mu }$) de la cadena:

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}.}$

Esta relación fue descubierta por Vincenzo Galilei a finales del siglo XVI.

Derivación

Fuente: ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \Delta x}$sea ​​la longitud de un trozo de cuerda,${\displaystyle m}$su masa y${\displaystyle \mu }$su densidad lineal . Si los ángulos${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Si son pequeñas, entonces las componentes horizontales de tensión en ambos lados pueden aproximarse mediante una constante.${\displaystyle T}$, para lo cual la fuerza horizontal neta es cero. En consecuencia, utilizando la aproximación de ángulo pequeño , las tensiones horizontales que actúan en ambos lados del segmento de cuerda vienen dadas por

${\displaystyle T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.}$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

Según la segunda ley de Newton para la componente vertical, la masa (que es el producto de su densidad lineal y longitud) de esta pieza multiplicada por su aceleración,${\displaystyle a}$será igual a la fuerza neta sobre la pieza:

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Dividiendo esta expresión por${\displaystyle T}$y sustituyendo la primera y la segunda ecuación se obtiene (podemos elegir la primera o la segunda ecuación para${\displaystyle T}$, así que convenientemente elegimos cada uno con el ángulo correspondiente.${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \alpha }$)

${\displaystyle -{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )={\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Según la aproximación de ángulo pequeño, las tangentes de los ángulos en los extremos del trozo de cuerda son iguales a las pendientes en los extremos, con un signo menos adicional debido a la definición de${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$. Utilizando este hecho y reordenándolo se obtiene

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

En el límite que${\displaystyle \Delta x}$a medida que se acerca a cero, el lado izquierdo es la definición de la segunda derivada de${\displaystyle y}$,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Esta ecuación se conoce como la ecuación de onda , y el coeficiente del término de la segunda derivada temporal es igual a${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}}$; de este modo

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

Dónde${\displaystyle v}$es la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Sin embargo, esta derivación solo es válida para vibraciones de pequeña amplitud; para aquellas de gran amplitud,${\displaystyle \Delta x}$no es una buena aproximación para la longitud de la pieza de cuerda, el componente horizontal de tensión no es necesariamente constante. Las tensiones horizontales no se aproximan bien mediante${\displaystyle T}$.

Una vez conocida la velocidad de propagación, se puede calcular la frecuencia del sonido producido por la cuerda. La velocidad de propagación de una onda es igual a su longitud de onda.${\displaystyle \lambda }$dividido por el período${\displaystyle \tau }$o multiplicado por la frecuencia${\displaystyle f}$:

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

Si la longitud de la cuerda es${\displaystyle L}$, el armónico fundamental es el producido por la vibración cuyos nodos son los dos extremos de la cuerda, por lo que${\displaystyle L}$es la mitad de la longitud de onda del armónico fundamental. Por lo tanto, se obtienen las leyes de Mersenne :

${\displaystyle f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

dónde${\displaystyle T}$es la tensión (en Newtons),${\displaystyle \mu }$es la densidad lineal (es decir, la masa por unidad de longitud), y${\displaystyle L}$es la longitud de la parte vibrante de la cuerda. Por lo tanto:

• Cuanto más corta sea la cuerda, mayor será la frecuencia fundamental.
• Cuanto mayor sea la tensión, mayor será la frecuencia fundamental.
• Cuanto más fina sea la cuerda, mayor será la frecuencia fundamental.

Además, si tomamos el n-ésimo armónico como si tuviera una longitud de onda dada por${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$, entonces obtenemos fácilmente una expresión para la frecuencia del enésimo armónico:

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

Y para una cuerda sometida a una tensión T con densidad lineal${\displaystyle \mu }$, entonces

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

Se pueden observar las formas de onda en una cuerda vibrante si la frecuencia es suficientemente baja y la cuerda se sostiene frente a una pantalla CRT, como la de un televisor o una computadora ( no la de un osciloscopio analógico). Este efecto se denomina efecto estroboscópico , y la velocidad a la que la cuerda parece vibrar es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de actualización de la pantalla. Lo mismo puede ocurrir con una lámpara fluorescente , a una velocidad que es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de la corriente alterna . (Si la frecuencia de actualización de la pantalla es igual a la frecuencia de la cuerda o un múltiplo entero de ella, la cuerda aparecerá inmóvil pero deformada). A la luz del día y con otras fuentes de luz no oscilantes, este efecto no se produce y la cuerda aparece inmóvil pero más gruesa, y más clara o borrosa, debido a la persistencia de la visión .

Se puede obtener un efecto similar, pero más controlable, utilizando un estroboscopio . Este dispositivo permite igualar la frecuencia del flash de xenón con la frecuencia de vibración de la cuerda. En una habitación oscura, esto muestra claramente la forma de onda. De lo contrario, se puede usar la flexión de la cuerda o, quizás más fácilmente, ajustando los clavijeros, para obtener la misma frecuencia, o un múltiplo, de la frecuencia de la corriente alterna y lograr el mismo efecto. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, la sexta cuerda (la de tono más grave) presionada en el tercer traste produce un sol a 97,999  Hz. Un ligero ajuste puede modificarlo a 100  Hz, exactamente una octava por encima de la frecuencia de la corriente alterna en Europa y la mayoría de los países de África y Asia, 50  Hz. En la mayoría de los países de América, donde la frecuencia de la corriente alterna es de 60  Hz, modificar el la sostenido en la quinta cuerda, primer traste, de 116,54  Hz a 120  Hz produce un efecto similar.

• Instrumentos de cuerda pulsada
• acústica musical
• Vibraciones de un tambor circular
• El experimento de Melde
• Tercer puente (resonancia armónica basada en divisiones de cuerdas iguales)
• resonancia de cuerdas
• cambio de fase de reflexión
• espacio de Hilbert

• Molteno, TCA; NB Tufillaro (septiembre de 2004). "Una investigación experimental sobre la dinámica de una cuerda". American Journal of Physics . 72 (9): 1157– 1169. Bibcode : 2004AmJPh..72.1157M . doi : 10.1119/1.1764557 .
• Tufillaro, NB (1989). "Vibraciones de cuerdas no lineales y caóticas". American Journal of Physics . 57 (5): 408. Bibcode : 1989AmJPh..57..408T . doi : 10.1119/1.16011 .

Específico

• " La cuerda vibrante " de Alain Goriely y Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project .