formalismo de tétradas

El formalismo de la tétrada es un enfoque de la relatividad general que generaliza la elección de la base para el fibrado tangente de una base de coordenadas a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro ^{[ a ]} ​​campos vectoriales linealmente independientes llamados tétrada o vielbein . ^{[ 1 ]} Es un caso especial de la idea más general de un formalismo de vielbein , que se establece en la geometría (pseudo) riemanniana . Este artículo, tal como está escrito actualmente, menciona frecuentemente la relatividad general; sin embargo, casi todo lo que dice es igualmente aplicable a las variedades (pseudo) riemannianas en general, e incluso a las variedades de espín . La mayoría de las afirmaciones se mantienen sustituyendo arbitrariamente${\displaystyle n}$para${\displaystyle n=4}$En alemán, " vier " se traduce como "cuatro", " viel " como "muchos" y " bein " como "pierna".

La idea general consiste en escribir el tensor métrico como el producto de dos vielbeins , uno a la izquierda y otro a la derecha. El efecto de los vielbeins es cambiar el sistema de coordenadas utilizado en la variedad tangente a uno más simple o más adecuado para los cálculos. Con frecuencia, el sistema de coordenadas de los vielbeins es ortonormal, ya que suele ser el más fácil de usar. La mayoría de los tensores se vuelven simples o incluso triviales en este sistema de coordenadas; por lo tanto, la complejidad de la mayoría de las expresiones se revela como un artefacto de la elección de coordenadas, más que como una propiedad innata o un efecto físico . Es decir, como formalismo, no altera las predicciones; es más bien una técnica de cálculo.

La ventaja del formalismo de tétradas sobre el enfoque estándar basado en coordenadas para la relatividad general radica en la capacidad de elegir la base de tétradas para reflejar aspectos físicos importantes del espaciotiempo. La notación de índice abstracto denota tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija. En comparación con una notación completamente independiente de coordenadas , que suele ser conceptualmente más clara, permite una manera sencilla y computacionalmente explícita de denotar contracciones.

La importancia del formalismo tetrádico se manifiesta en la formulación de Einstein-Cartan de la relatividad general. El formalismo tetrádico de la teoría es más fundamental que su formulación métrica, ya que no es posible convertir entre las formulaciones tetrádica y métrica de las acciones fermiónicas, a pesar de que esto sí es posible para las acciones bosónicas . Esto se debe a que los espinores de Weyl se pueden definir de forma muy natural en una variedad riemanniana ^{[ 2 ]} y su configuración natural conduce a la conexión de espín . Estos espinores toman forma en el sistema de coordenadas de vielbein, y no en el sistema de coordenadas de la variedad.

El formalismo tetrádico privilegiado también aparece en la deconstrucción dimensional de las teorías de gravedad de Kaluza-Klein de dimensiones superiores ^{[ 3 ] [ 4 ]} y teorías de gravedad masiva , en las que la(s) dimensión(es) extra es/son reemplazada(s) por una serie de N sitios de red tales que la métrica de dimensión superior es reemplazada por un conjunto de métricas interactuantes que dependen solo de los componentes 4D. ^{[ 5 ]} Los vielbeins aparecen comúnmente en otros entornos generales en física y matemáticas. Los vielbeins pueden entenderse como formas de soldadura .

La formulación de tétradas es un caso especial de una formulación más general, conocida como la formulación vielbein o n -bein, con n = 4. Vielbein se escribe con "l", no con "r": en alemán, "viel" significa "muchos", que no debe confundirse con "vier", que significa "cuatro".

En el formalismo de vielbein, ^{[ 6 ]} una cubierta abierta de la variedad espaciotemporal${\displaystyle M}$y se elige una base local para cada uno de esos conjuntos abiertos: un conjunto de${\displaystyle n}$campos vectoriales independientes

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _ {\mu }}$

para${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$que juntos abarcan el${\displaystyle n}$fibrado tangente de dimensión en cada punto del conjunto. De manera dual, un vielbein (o tétrada en 4 dimensiones) determina (y es determinado por) un co-vielbein dual (co-tétrada) — un conjunto de${\displaystyle n}$1-formas independientes .

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

de tal manera que

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _ {b}^{a},}$

dónde${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$es la delta de Kronecker . Un vielbein se especifica generalmente por sus coeficientes.${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$con respecto a una base de coordenadas, a pesar de la elección de un conjunto de coordenadas (locales)${\displaystyle x^{\mu }}$siendo innecesario para la especificación de una tétrada. Cada covector es una forma de soldadura .

Desde el punto de vista de la geometría diferencial de haces de fibras , los n campos vectoriales${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$definir una sección del paquete de marcos, es decir, una paralelización de${\displaystyle U\subset M}$lo cual es equivalente a un isomorfismo${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$Dado que no toda variedad es paralelizable, un vielbein generalmente solo puede elegirse localmente ( es decir, solo en una carta de coordenadas) .${\displaystyle U}$y no todos${\displaystyle M}$.)

Todos los tensores de la teoría pueden expresarse en la base vectorial y covectorial, expresándolos como combinaciones lineales de miembros del (co)vielbein. Por ejemplo, el tensor métrico espaciotemporal puede transformarse de una base de coordenadas a la base de tétradas .

Las bases de tétradas más comunes en la relatividad general incluyen tétradas ortonormales y tétradas nulas. Las tétradas nulas están compuestas por cuatro vectores nulos , por lo que se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con la radiación, y son la base del formalismo de Newman-Penrose y del formalismo GHP .

El formalismo estándar de la geometría diferencial (y la relatividad general) consiste en utilizar la tétrada de coordenadas en el formalismo de la tétrada. La tétrada de coordenadas es el conjunto canónico de vectores asociado con la carta de coordenadas . La tétrada de coordenadas se denota comúnmente${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$mientras que la cotétrada dual se denota${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$Estos vectores tangentes se definen generalmente como operadores de derivada direccional : dado un gráfico${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots,\varphi ^{n})}}$que mapea un subconjunto de la variedad en un espacio de coordenadas${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y cualquier campo escalar${\displaystyle f}$Los vectores de coordenadas son tales que:

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

La definición de la cotétrada utiliza el abuso habitual de notación.${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$para definir covectores (1-formas) en${\displaystyle M}$La participación de la tétrada de coordenadas no suele explicitarse en el formalismo estándar. En el formalismo de la tétrada, en lugar de escribir ecuaciones tensoriales completas (incluidos los elementos de la tétrada y los productos tensoriales),${\displaystyle \otimes }$como se indicó anteriormente) solo se mencionan los componentes de los tensores. Por ejemplo, la métrica se escribe como "${\displaystyle g_{ab}}$Cuando no se especifica la tétrada, se trata de especificar el tipo de tensor mediante la notación de índice abstracto . Esta notación permite especificar fácilmente la contracción entre tensores repitiendo índices, como en la convención de suma de Einstein.

Cambiar de tétrada es una operación rutinaria en el formalismo estándar, ya que interviene en toda transformación de coordenadas (es decir, al cambiar de una base de tétrada de coordenadas a otra). Es necesario alternar entre múltiples cartas de coordenadas porque, salvo en casos triviales, una sola carta de coordenadas no puede cubrir toda la variedad. Cambiar a y entre tétradas generales es muy similar e igualmente necesario (excepto para variedades paralelizable ). Cualquier tensor puede expresarse localmente en términos de esta tétrada de coordenadas o de una (co)tétrada general.

Por ejemplo, el tensor métrico${\displaystyle \mathbf {g} }$se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{dónde}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _ {\mu },\partial _ {\nu }).}$

(Aquí utilizamos la convención de suma de Einstein ). Asimismo, la métrica puede expresarse con respecto a una (co)tétrada arbitraria como

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{donde}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Aquí, utilizamos la elección del alfabeto ( latino y griego ) para las variables de índice para distinguir la base aplicable.

Podemos trasladar de una cotétrada general a una cotétrada de coordenadas expandiendo el covector.${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$. Luego obtenemos

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

de lo cual se deduce que${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$Asimismo, se está expandiendo.${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$Con respecto a la tétrada general, obtenemos

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

lo cual demuestra que${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$.

Dado un vector (o covector) en la variedad tangente (o cotangente), la aplicación exponencial describe la geodésica correspondiente de ese vector tangente.${\displaystyle X\in TM}$, el transporte paralelo de un diferencial corresponde a

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Lo anterior se puede verificar fácilmente simplemente tomando${\displaystyle X}$ser una matriz.

Para el caso especial de un álgebra de Lie , el${\displaystyle X}$puede tomarse como un elemento del álgebra, la exponencial es la aplicación exponencial de un grupo de Lie , y los elementos del grupo corresponden a las geodésicas del vector tangente. Eligiendo una base${\displaystyle e_{i}}$para el álgebra de Lie y la escritura${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$para algunas funciones${\displaystyle X^{i},}$Los conmutadores se pueden escribir explícitamente. Uno calcula fácilmente que

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

para${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$las constantes de estructura del álgebra de Lie. La serie se puede escribir de forma más compacta como

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

con la serie infinita

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Aquí,${\displaystyle M}$es una matriz cuyos elementos de matriz son${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$La matriz${\displaystyle W}$es entonces el vielbein; expresa el diferencial${\displaystyle dX^{j}}$en términos de las "coordenadas planas" (ortonormales, además)${\displaystyle e_{i}}$.

Dado algún mapa${\displaystyle N\to G}$de algún colector${\displaystyle N}$a algún grupo de mentiras${\displaystyle G}$, el tensor métrico en la variedad${\displaystyle N}$se convierte en el retroceso del tensor métrico${\displaystyle B_{mn}}$en el grupo Lie${\displaystyle G}$:

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

El tensor métrico${\displaystyle B_{mn}}$En el grupo de Lie se encuentra la métrica de Cartan, también conocida como la forma de Killing . Nótese que, como matriz, la segunda W es la transpuesta. Para${\displaystyle N}$una variedad (pseudo) riemanniana , la métrica es una métrica (pseudo)riemanniana . Lo anterior se generaliza al caso de espacios simétricos . ^{[ 7 ]} Estos vielbeins se utilizan para realizar cálculos en modelos sigma , de los cuales las teorías de supergravedad son un caso especial. ^{[ 8 ]}

• De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relatividad en variedades curvas (primera edición publicada en 1990  ), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (primera  edición publicada en 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3

• Relatividad general con tétradas