Fórmulas de Vieta

En matemáticas , las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces . Reciben su nombre de François Viète (1540-1603), más conocido por la forma latinizada de su nombre, "Franciscus Vieta".

Cualquier polinomio general de grado n$${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}}$$ (con coeficientes que son números reales o complejos y a ₀ ≠ 0 ) tiene n raíces complejas (no necesariamente distintas) r ₁ , r ₂ , ..., r _n por el teorema fundamental del álgebra . Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes del polinomio con sumas con signo de productos de las raíces r ₁ , r ₂ , ..., r _n de la siguiente manera:

dónde${\displaystyle E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$es el ⁠${\displaystyle k}$polinomio simétrico elemental n.º en${\displaystyle n}$indeterminadas ; es decir, $${\displaystyle E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)}$$ es la suma de todos los productos de ⁠${\displaystyle k}$⁠ ⁠${\displaystyle r_{i}}$con diferentes índices.

En particular, $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}+r_{2}\cdots +r_{n},\\E_{n}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}r_{2}\cdots r_{n},\end{aligned}}}$$ y la expresión anterior de grado 2 en el ⁠${\displaystyle r_{i}}$⁠ es igual a ⁠${\displaystyle E_{2}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$⁠ .

Como se indicó anteriormente, las fórmulas de Vieta siguen siendo válidas cuando los coeficientes del polinomio pertenecen a un dominio de integridad y las raíces pertenecen a un cuerpo algebraicamente cerrado . Para una mayor generalización, es útil separar la afirmación en dos partes:

• Cada polinomio$${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$$de grado n sobre un dominio integral R se factoriza de forma única, salvo el orden de los factores, como$${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$donde el ⁠${\displaystyle r_{i}}$⁠ pertenecen a un cuerpo algebraicamente cerrado que contienea R.
• Si un polinomio de grado n se factoriza sobre un anillo conmutativo como$${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$entonces uno tiene$${\displaystyle a_{i}=(-1)^{i}a_{0}E_{i}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$$para​${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, donde​${\displaystyle E_{i}^{(n)}}$es el​${\displaystyle i}$⁠ polinomio simétrico elemental , es decir, la suma de todos los productos de ⁠${\displaystyle i}$del​​${\displaystyle r_{k}}$con diferentes índices.

Las fórmulas de Vieta son útiles sobre un dominio de integridad, porque proporcionan relaciones entre las raíces sin necesidad de calcularlas. Sobre un anillo que no es un dominio de integridad, se requiere cierta precaución. Por ejemplo, en el anillo de los enteros módulo 8, el polinomio cuadrático${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$tiene cuatro raíces (1, 3, 5 y 7) y dos factorizaciones diferentes:$${\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x-7)=(x-3)(x-5)}$$Como${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$, no se pueden aplicar las fórmulas de Vieta con las raíces 1 y 3 .

Fórmulas de Vieta aplicadas a polinomios cuadráticos y cúbicos :

Las raíces${\displaystyle r_{1},r_{2}}$del polinomio cuadrático${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$satisfacer $${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

La primera de estas ecuaciones se puede utilizar para hallar el mínimo (o máximo) de P ; véase la ecuación cuadrática §  Fórmulas de Vieta .

Las raíces${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$del polinomio cúbico${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$satisfacer $${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

Las fórmulas de Vieta se pueden demostrar considerando la igualdad. $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$ (lo cual es cierto ya que${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$son todas las raíces de este polinomio), expandiendo los productos en el lado derecho e igualando los coeficientes de cada potencia de${\displaystyle x}$entre los dos miembros de la ecuación.

Formalmente, si uno se expande${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$y reagrupar los términos por su grado en ⁠${\displaystyle x}$⁠ , uno obtiene

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}x^{k}\left(\sum _{\stackrel {(\forall i)\;b_{i}\in \{0,1\}}{b_{1}+\cdots +b_{n}=n-k}}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}\right),}$

donde la suma interna es exactamente la${\displaystyle k}$⁠ª función simétrica elemental

Como ejemplo, consideremos la ecuación cuadrática. $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

Comparando potencias idénticas de${\displaystyle x}$, encontramos${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$,${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$y${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$, con los que podemos identificar, por ejemplo${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$y${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$, que son las fórmulas de Vieta para${\displaystyle n=2}$.

Las fórmulas reciben su nombre del matemático francés del siglo XVI François Viète , quien las derivó para el caso de raíces positivas. Sin embargo, los métodos de Viète y los del matemático islámico del siglo XII Sharaf al-Din al-Tusi eran muy similares. ^{[ 1 ]} Es plausible que los avances algebraicos realizados por otros matemáticos islámicos como Omar Khayyam , al-Tusi y al-Kashi influyeran en los algebristas del siglo XVI, siendo Viète el más destacado entre ellos. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton , citado por Funkhouser, ^{[ 4 ]} el principio general (no restringido a raíces reales positivas) fue comprendido por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard :

...[Girard fue] la primera persona que comprendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero en descubrir las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.

• Contenido (álgebra)
• La regla de los signos de Descartes
• Las identidades de Newton
• Teorema de Gauss-Lucas
• Propiedades de las raíces de polinomios
• Teorema de la raíz racional
• Polinomio simétrico y polinomio simétrico elemental

• "Teorema de Viète" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Una breve reseña de la historia de las funciones simétricas de las raíces de las ecuaciones", American Mathematical Monthly , 37 (7), Mathematical Association of America: 357–365 , doi : 10.2307/2299273 , JSTOR 2299273 
• Vinberg, EB (2003), Un curso de álgebra , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4
• Djukić, Dušan; et  al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggest for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 , Springer, Nueva York, NY, ISBN 0-387-24299-6