Álgebra de Virasoro

Una representación de peso máximo del álgebra de Virasoro es una representación generada por un estado primario.${\displaystyle v}$. Una representación de peso máximo está abarcada por el${\displaystyle L_{0}}$-autoestados${\displaystyle \{Lv\}_{L\in {\mathcal {L}}}}$. La dimensión conforme de${\displaystyle Lv}$es${\displaystyle h+|L|}$, dónde${\displaystyle |L|\in \mathbb {N} }$se llama el nivel de${\displaystyle Lv}$Cualquier estado cuyo nivel no sea cero se denomina estado descendiente de${\displaystyle v}$.

Para cualquier${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$, el módulo Verma${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$de carga central${\displaystyle c}$y dimensión conforme${\displaystyle h}$es la representación cuya base es${\displaystyle \{Lv\}_{L\in {\mathcal {L}}}}$, para${\displaystyle v}$un estado primario de dimensión${\displaystyle h}$El módulo Verma es la representación de mayor peso posible. El módulo Verma es indescomponible y para valores genéricos de${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$También es irreducible. Cuando es reducible, existen otras representaciones de peso máximo con estos valores de${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$, llamadas representaciones degeneradas , que son cocientes del módulo de Verma. En particular, la única representación irreducible de mayor peso con estos valores de${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$es el cociente del módulo de Verma por su submódulo máximo.

Un módulo de Verma es irreducible si y solo si no tiene vectores singulares.

Un vector singular o un vector nulo de una representación de peso máximo es un estado que es a la vez descendiente y primario.

Una condición suficiente para el módulo Verma${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$tener un vector singular es${\displaystyle h=h_{r,s}(c)}$para algunos${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$, dónde

${\displaystyle h_{r,s}(c)={\frac {1}{4}}{\Big (}(\beta r-\beta ^{-1}s)^{2}-(\beta -\beta ^{-1})^{2}{\Big )}\ ,\quad {\text{where}}\quad c=1-6(\beta -\beta ^{-1})^{2}\ .}$

Entonces el vector singular tiene nivel${\displaystyle rs}$y dimensión conforme

${\displaystyle h_{r,s}+rs=h_{r,-s}}$

Aquí están los valores de${\displaystyle h_{r,s}(c)}$para${\displaystyle rs\leq 4}$, junto con los vectores singulares correspondientes, escritos como${\displaystyle L_{r,s}v}$para${\displaystyle v}$el estado principal de${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}(c)}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|l|}\hline r,s&h_{r,s}&L_{r,s}\\\hline \hline 1,1&0&L_{-1}\\\hline 2,1&-{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}\beta ^{2}&L_{-1}^{2}-\beta ^{2}L_{-2}\\\hline 1,2&-{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}\beta ^{-2}&L_{-1}^{2}-\beta ^{-2}L_{-2}\\\hline 3,1&-1+2\beta ^{2}&L_{-1}^{3}-4\beta ^{2}L_{-1}L_{-2}+2\beta ^{2}(2\beta ^{2}+1)L_{-3}\\\hline 1,3&-1+2\beta ^{-2}&L_{-1}^{3}-4\beta ^{-2}L_{-1}L_{-2}+2\beta ^{-2}(2\beta ^{-2}+1)L_{-3}\\\hline 4,1&-{\frac {3}{2}}+{\frac {15}{4}}\beta ^{2}&{\begin{array}{r}L_{-1}^{4}-10\beta ^{2}L_{-1}^{2}L_{-2}+2\beta ^{2}\left(12\beta ^{2}+5\right)L_{-1}L_{-3}\\+9\beta ^{4}L_{-2}^{2}-6\beta ^{2}\left(6\beta ^{4}+4\beta ^{2}+1\right)L_{-4}\end{array}}\\\hline 2,2&{\frac {3}{4}}\left(\beta -\beta ^{-1}\right)^{2}&{\begin{array}{l}L_{-1}^{4}-2\left(\beta ^{2}+\beta ^{-2}\right)L_{-1}^{2}L_{-2}+\left(\beta ^{2}-\beta ^{-2}\right)^{2}L_{-2}^{2}\\+2\left(1+\left(\beta +\beta ^{-1}\right)^{2}\right)L_{-1}L_{-3}-2\left(\beta +\beta ^{-1}\right)^{2}L_{-4}\end{array}}\\\hline 1,4&-{\frac {3}{2}}+{\frac {15}{4}}\beta ^{-2}&{\begin{array}{r}L_{-1}^{4}-10\beta ^{-2}L_{-1}^{2}L_{-2}+2\beta ^{-2}\left(12\beta ^{-2}+5\right)L_{-1}L_{-3}\\+9\beta ^{-4}L_{-2}^{2}-6\beta ^{-2}\left(6\beta ^{-4}+4\beta ^{-2}+1\right)L_{-4}\end{array}}\\\hline \end{array}}}$

Vectores singulares para arbitrario${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$puede calcularse utilizando varios algoritmos, ^{[ 4 ] [ 5 ]} y se conocen sus expresiones explícitas. ^{[ 6 ]}

Si${\displaystyle \beta ^{2}\notin \mathbb {Q} }$, entonces${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$tiene un vector singular en el nivel${\displaystyle N}$si y solo si${\displaystyle h=h_{r,s}(c)}$con${\displaystyle N=rs}$. Si${\displaystyle \beta ^{2}\in \mathbb {Q} }$, también puede existir un vector singular en el nivel${\displaystyle N}$si${\displaystyle N=rs+r's'}$con${\displaystyle h=h_{r,s}(c)}$y${\displaystyle h+rs=h_{r',s'}(c)}$Este vector singular es ahora descendiente de otro vector singular en el nivel${\displaystyle rs}$.

Los números enteros${\displaystyle r,s}$que aparecen en${\displaystyle h_{r,s}(c)}$se denominan índices de Kac . Puede ser útil utilizar índices de Kac no enteros para parametrizar las dimensiones conformes de los módulos de Verma que no tienen vectores singulares, por ejemplo, en el modelo de clúster aleatorio crítico .

Para cualquier${\displaystyle c,h\in \mathbb {C} }$, la involución${\displaystyle L_{n}\mapsto L^{*}=L_{-n}}$define un automorfismo del álgebra de Virasoro y de su álgebra envolvente universal. Entonces, la forma de Shapovalov es la forma bilineal simétrica en el módulo de Verma.${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$de tal manera que${\displaystyle (Lv,L'v)=S_{L,L'}(c,h)}$donde los números${\displaystyle S_{L,L'}(c,h)}$se definen por ${\displaystyle L^{*}L'v{\underset {|L|=|L'|}{=}}S_{L,L'}(c,h)v}$y${\displaystyle S_{L,L'}(c,h){\underset {|L|\neq |L'|}{=}}0}$La forma inversa de Shapovalov es relevante para el cálculo de bloques conformes de Virasoro y puede determinarse en términos de vectores singulares. ^{[ 7 ]}

El determinante de la forma de Shapovalov en un nivel dado${\displaystyle N}$viene dada por la fórmula del determinante de Kac , ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \det \left(S_{L,L'}(c,h)\right)_{\begin{array}{l}L,L'\in {\mathcal {L}}\\|L|=|L'|=N\end{array}}=A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}{\big (}h-h_{r,s}(c){\big )}^{p(N-rs)},}$

dónde${\displaystyle p(N)}$es la función de partición y${\displaystyle A_{N}}$es una constante positiva que no depende de${\displaystyle h}$o${\displaystyle c}$.

Si${\displaystyle c,h\in \mathbb {R} }$, una representación de peso máximo con dimensión conforme${\displaystyle h}$tiene una forma hermitiana única tal que el adjunto hermitiano de${\displaystyle L_{n}}$es${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$y la norma del estado primario${\displaystyle v}$es uno. En la base${\displaystyle (Lv)_{L\in {\mathcal {L}}}}$, la forma hermitiana en el módulo Verma${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$tiene la misma matriz que la forma de Shapovalov${\displaystyle S_{L,L'}(c,h)}$, ahora interpretado como una matriz de Gram .

La representación se llama unitaria si esa forma hermitiana es definida positiva. Dado que cualquier vector singular tiene norma cero, todas las representaciones unitarias de peso máximo son irreducibles. Una representación irreducible de peso máximo es unitaria si y solo si

• cualquiera${\displaystyle c\geq 1}$con${\displaystyle h\geq 0}$,
• o${\displaystyle c\in \left\{1-{\frac {6}{m(m+1)}}\right\}_{m=2,3,4,\ldots }=\left\{0,{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {4}{5}},{\frac {6}{7}},{\frac {25}{28}},\ldots \right\}}$con${\displaystyle h\in \left\{h_{r,s}(c)={\frac {{\big (}(m+1)r-ms{\big )}^{2}-1}{4m(m+1)}}\right\}_{\begin{array}{l}r=1,2,...,m-1\\s=1,2,...,m\end{array}}}$

Daniel Friedan , Zongan Qiu y Stephen Shenker demostraron que estas condiciones son necesarias, ^{[ 9 ]} y Peter Goddard , Adrian Kent y David Olive utilizaron la construcción de clases laterales o construcción GKO (identificando representaciones unitarias del álgebra de Virasoro dentro de productos tensoriales de representaciones unitarias de álgebras de Kac-Moody afines ) para demostrar que son suficientes. ^{[ 10 ]}

El carácter de una representación${\displaystyle {\mathcal {R}}}$del álgebra de Virasoro es la función

${\displaystyle \chi _{\mathcal {R}}(q)=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}.}$

El carácter del módulo Verma${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$es

${\displaystyle \chi _{{\mathcal {V}}_{c,h}}(q)={\frac {q^{h-{\frac {c}{24}}}}{\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}}={\frac {q^{h-{\frac {c-1}{24}}}}{\eta (q)}}=q^{h-{\frac {c}{24}}}\left(1+q+2q^{2}+3q^{3}+5q^{4}+\cdots \right),}$

dónde${\displaystyle \eta }$es la función eta de Dedekind .

Para cualquier${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$y para${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$, el módulo Verma${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$es reducible debido a la existencia de un vector singular en el nivel${\displaystyle rs}$Este vector singular genera un submódulo, que es isomorfo al módulo de Verma.${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}$. El cociente de${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$por este submódulo es irreducible si${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$no tiene otros vectores singulares y su carácter es

${\displaystyle \chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=(1-q^{rs})\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}.}$

Dejar${\displaystyle c=c_{p,p'}}$con${\displaystyle 2\leq p<p'}$y${\displaystyle p,p'}$coprimo y${\displaystyle 1\leq r\leq p-1}$y${\displaystyle 1\leq s\leq p'-1}$. (Entonces${\displaystyle (r,s)}$está en la tabla Kac del modelo mínimo correspondiente ). El módulo Verma${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$tiene infinitos vectores singulares y, por lo tanto, es reducible con infinitos submódulos. Este módulo de Verma tiene un cociente irreducible por su submódulo no trivial más grande. (Los espectros de los modelos mínimos se construyen a partir de tales representaciones irreducibles). El carácter del cociente irreducible es

${\displaystyle {\begin{aligned}&\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/({\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}+{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)})}\\&=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r-ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r+ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}\right).\end{aligned}}}$

Esta expresión es una suma infinita porque los submódulos${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}$y${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}}$tienen una intersección no trivial, que a su vez es un submódulo complicado.

En dos dimensiones, el álgebra de transformaciones conformes locales se compone de dos copias del álgebra de Witt . Por consiguiente, el álgebra de simetría de la teoría de campos conformes bidimensional es el álgebra de Virasoro. Técnicamente, el método de arranque conforme para la teoría de campos conformes bidimensional se basa en bloques conformes de Virasoro , funciones especiales que incluyen y generalizan las características de las representaciones del álgebra de Virasoro.

Dado que el álgebra de Virasoro comprende los generadores del grupo conforme de la hoja de mundo , el tensor de estrés en la teoría de cuerdas obedece las relaciones de conmutación de (dos copias de) el álgebra de Virasoro. Esto se debe a que el grupo conforme se descompone en difeomorfismos separados de los conos de luz hacia adelante y hacia atrás. La invariancia de difeomorfismos de la hoja de mundo implica, además, que el tensor de estrés se anula. Esto se conoce como la restricción de Virasoro y, en la teoría cuántica , no se puede aplicar a todos los estados de la teoría, sino solo a los estados físicos (compárese con el formalismo de Gupta-Bleuler ).

Existen dos  extensiones supersimétricas N = 1 del álgebra de Virasoro, denominadas álgebra de Neveu-Schwarz y álgebra de Ramond . Su teoría es similar a la del álgebra de Virasoro, pero ahora involucra números de Grassmann . Existen otras extensiones de estas álgebras con mayor supersimetría, como el álgebra superconforme N = 2 .

Las álgebras W son álgebras asociativas que contienen el álgebra de Virasoro y que desempeñan un papel importante en la teoría de campos conformes bidimensional . Entre las álgebras W, el álgebra de Virasoro tiene la particularidad de ser un álgebra de Lie.

El álgebra de Virasoro es una subálgebra del álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie afín, como lo demuestra la construcción de Sugawara . En este sentido, las álgebras de Lie afines son extensiones del álgebra de Virasoro.

El álgebra de Virasoro es una extensión central del álgebra de Lie de campos vectoriales meromorfos con dos polos en una superficie de Riemann de género 0. En una superficie de Riemann compacta de género superior, el álgebra de Lie de campos vectoriales meromorfos con dos polos también tiene una extensión central, que es una generalización del álgebra de Virasoro. ^{[ 11 ]} Esto puede generalizarse aún más a supervariedades. ^{[ 12 ]}

El álgebra de Virasoro también tiene contrapartes algebraicas de vértices y algebraicas conformes , que básicamente provienen de organizar todos los elementos de la base en series generadoras y trabajar con objetos individuales.