inestabilidad de Saffman-Taylor

Una demostración de la inestabilidad de Saffman-Taylor se produce cuando una sustancia viscosa, como el pegamento PVA , se coloca sobre una superficie plana (arriba), se coloca otra superficie paralela encima y el pegamento se extiende (medio), y luego se levantan las superficies. El aire, un fluido menos viscoso, intenta invadir el espacio donde se encuentra el pegamento. La interfaz entre el pegamento y el aire se vuelve inestable, lo que da lugar a la formación de patrones ramificados o en forma de dedos (abajo).

La inestabilidad de Saffman-Taylor , también conocida como digitación viscosa , es la formación de patrones en una interfaz morfológicamente inestable entre dos fluidos en un medio poroso o en una celda de Hele-Shaw , descrita matemáticamente por Philip Saffman y G.I. Taylor en un artículo de 1958. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta situación se encuentra con mayor frecuencia durante los procesos de drenaje a través de medios como los suelos. ^{[ 3 ]} Ocurre cuando se inyecta un fluido menos viscoso, desplazando a uno más viscoso; en la situación inversa, cuando el más viscoso desplaza al otro, la interfaz es estable y no se observa inestabilidad. En la configuración rectangular, el sistema evoluciona hasta que se forma un solo dedo (el dedo de Saffman-Taylor), mientras que en la configuración radial el patrón crece formando dedos por división sucesiva de las puntas. ^{[ 4 ]}

La mayor parte de la investigación experimental sobre la formación de dedos viscosos se ha realizado en celdas de Hele-Shaw, que consisten en dos láminas de vidrio paralelas y muy próximas entre sí que contienen un fluido viscoso. Las dos configuraciones más comunes son la configuración de canal, en la que el fluido menos viscoso se inyecta en un extremo del canal, y la configuración radial, en la que el fluido menos viscoso se inyecta en el centro de la celda. Las inestabilidades análogas a la formación de dedos viscosos también pueden autogenerarse en sistemas biológicos. ^{[ 5 ]}

El caso más simple de inestabilidad surge en una interfaz plana dentro de un medio poroso o celda de Hele-Shaw, y fue tratado por Saffman y Taylor ^{[ 1 ]} pero también anteriormente por otros autores. ^{[ 6 ]} Un fluido de viscosidad${\displaystyle \mu _{1}}$es impulsado en el${\displaystyle x}$-dirección hacia otro fluido de viscosidad${\displaystyle \mu _{2}}$a cierta velocidad${\displaystyle V}$. Denotando la permeabilidad del medio poroso como una constante, isotrópica,${\displaystyle \Pi }$La ley de Darcy proporciona los campos de presión no perturbados en los dos fluidos.${\displaystyle i=1,\,2}$ser$${\displaystyle p_{i}^{(0)}=p_{\text{int}}-{\frac {V\mu _{i}}{\Pi }}x,}$$dónde${\displaystyle p_{\text{int}}}$es la presión en la interfaz planar, trabajando en un marco donde esta interfaz viene dada instantáneamente por${\displaystyle x=0}$. Perturbando esta interfaz para${\displaystyle x=\eta _{0}\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}}$(descomponiéndose en modos normales en el${\displaystyle xy}$avión y tomando${\displaystyle \left|\eta _{0}\right|\ll 1}$), los campos de presión se convierten$${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{(0)}+{\tilde {p}}_{i}\left(x\right)\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}.}$$Como consecuencia de la incompresibilidad del flujo y la ley de Darcy, los campos de presión deben ser armónicos , lo que, junto con el requisito de que la perturbación decaiga como${\displaystyle x\to \pm \infty }$, correcciones${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}={\tilde {p}}_{1}e^{kx}}$y${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\tilde {p}}_{2}e^{-kx}}$, con las constantes${\displaystyle {\tilde {p}}}$a determinar por la continuidad de la presión. Al linealizar , la condición de contorno cinemática en la interfaz (que la velocidad del fluido en la${\displaystyle x}$La dirección debe coincidir con la velocidad de la interfaz del fluido), junto con la ley de Darcy, da como resultado:$${\displaystyle -{\frac {\Pi }{\mu _{i}}}\left.{\frac {\partial {\tilde {p}}_{i}}{\partial x}}\right|_{x=0}=\sigma \eta _{0},}$$y por lo tanto que${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}=-{\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{1}}{\Pi k}}}$y${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{2}}{\Pi k}}}$. La coincidencia de los campos de presión en la interfaz da como resultado$${\displaystyle -V\mu _{1}-{\frac {\sigma \mu _{1}}{k}}=-V\mu _{2}+{\frac {\sigma \mu _{2}}{k}},}$$y entonces${\displaystyle \sigma =kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)/\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)}$, lo que conduce al crecimiento de la perturbación cuando${\displaystyle \mu _{2}>\mu _{1}}$- es decir, cuando el fluido inyectado es menos viscoso que el fluido ambiente. Hay problemas con este caso básico: concretamente, que el modo más inestable tiene un número de onda infinito.${\displaystyle k}$y crece a una velocidad infinitamente rápida, lo cual puede rectificarse mediante la introducción de tensión superficial ^{[ 7 ]} (que proporciona una condición de salto en las presiones a través de la interfaz del fluido a través de la ecuación de Young-Laplace ), lo cual tiene el efecto de modificar la tasa de crecimiento a

$${\displaystyle \sigma ={\frac {kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)-\gamma H_{f}k^{3}}{\mu _{1}+\mu _{2}}},}$$

con tensión superficial${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle H_{f}}$la curvatura media . Esto suprime las perturbaciones de longitud de onda pequeña (número de onda alto), y esperaríamos ver inestabilidades con número de onda${\displaystyle k}$cercano al valor de${\displaystyle k}$lo que resulta en el valor máximo de${\displaystyle \sigma }$; en este caso, con la tensión superficial, existe un único valor máximo.

La inestabilidad de Saffman-Taylor se observa generalmente en un contexto axisimétrico en contraposición al caso planar simple derivado anteriormente. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Los mecanismos de la inestabilidad permanecen iguales en este caso, y la selección del número de onda más inestable en este caso corresponde a un número dado de dedos (un número entero ).

• inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
• Ley de Darcy
• inestabilidad de Darrieus-Landau