Voigt effect

The Voigt effect is a magneto-optical phenomenon which rotates and elliptizes linearly polarised light sent into an optically active medium.^[1] The effect is named after the German scientist Woldemar Voigt who discovered it in vapors. Unlike many other magneto-optical effects such as the Kerr or Faraday effect which are linearly proportional to the magnetization (or to the applied magnetic field for a non magnetized material), the Voigt effect is proportional to the square of the magnetization (or square of the magnetic field) and can be seen experimentally at normal incidence. There are also other denominations for this effect, used interchangeably in the modern scientific literature: the Cotton–Mouton effect (in reference to French scientists Aimé Cotton and Henri Mouton who discovered the same effect in liquids a few years later) and magnetic-linear birefringence, with the latter reflecting the physical meaning of the effect.

For an electromagnetic incident wave linearly polarized ${\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ and an in-plane polarized sample ${\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)$ , the expression of the rotation in reflection geometry is $\delta \beta$ is: $\delta \beta _ {r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]$ and in the transmission geometry: $\delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}},$ where ${\textstyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$ is the difference of refraction indices depending on the Voigt parameter $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ (same as for the Kerr effect), $n_{0}$ the material refraction indices and $B_{1}$ the parameter responsible of the Voigt effect and so proportional to the $M^{2}$ or $(\mu _ {0}H)^{2}$ in the case of a paramagnetic material.

Detailed calculation and an illustration are given in sections below.

Theory

Framework and coordinate system for the derivation of Voigt effect. ${\vec {E}}_{i}$ , ${\vec {E}}_{r}$ and ${\vec {E}}_{t}$ are referring to the incident, reflected and transmitted electromagnetic field.

{\displaystyle {\vec {E}}_{i}} — Framework and coordinate system for the derivation of Voigt effect. ${\vec {E}}_{i}$ , ${\vec {E}}_{r}$ and ${\vec {E}}_{t}$ are referring to the incident, reflected and transmitted electromagnetic field.

As with the other magneto-optical effects, the theory is developed in a standard way with the use of an effective dielectric tensor from which one calculates systems eigenvalues and eigenvectors. As usual, from this tensor, magneto-optical phenomena are described mainly by the off-diagonal elements.

Here, one considers an incident polarisation propagating in the z direction: ${\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ the electric field and a homogenously in-plane magnetized sample ${\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)$ where $\phi$ is counted from the [100] crystallographic direction. The aim is to calculate ${\vec {E_{r}}}=(\cos \beta +\delta \beta ,\,\sin \beta +\delta \beta ,\,0)e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ where $\delta \beta$ is the rotation of polarization due to the coupling of the light with the magnetization. Let us notice that $\delta \beta$ is experimentally a small quantity of the order of mrad. ${\vec {m}}$ is the reduced magnetization vector defined by ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ , $M_{s}$ la magnetización en saturación. Hicimos hincapié en el hecho de que es porque el vector de propagación de la luz es perpendicular al plano de magnetización que es posible ver el efecto Voigt.

tensor dieléctrico

Siguiendo la notación de Hubert, ^{[ 2 ]} el tensor cúbico dieléctrico generalizado $\varepsilon _{r}$ adopta la siguiente forma: $(1)\qquad \varepsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}$ dónde $\varepsilon$ es la constante dieléctrica del material, $Q$ el parámetro de Voigt, $B_{1}$ y $B_{2}$ dos constantes cúbicas que describen el efecto magnetoóptico dependiendo de $m_{i}^{2}$ . $m_{i}$ es la reducción $m_{i}=M_{i}/M_{s}$ . El cálculo se realiza en la aproximación esférica con $B_{1}=B_{2}$ En la actualidad, no hay evidencia de que esta aproximación no sea válida, ya que la observación del efecto Voigt es rara porque es extremadamente pequeño en comparación con el efecto Kerr.

Valores propios y vectores propios

Para calcular los autovalores y autovectores, consideramos la ecuación de propagación derivada de las ecuaciones de Maxwell, con la convención ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ : $(2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\varepsilon {\vec {E}}$

Cuando la magnetización es perpendicular al vector de onda de propagación, al contrario del efecto Kerr, ${\vec {E}}$ Puede que sus tres componentes sean iguales a cero, lo que complica bastante los cálculos y hace que las ecuaciones de Fresnel dejen de ser válidas. Una forma de simplificar el problema consiste en utilizar el vector de desplazamiento del campo eléctrico. ${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}$ . Desde ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ y ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ tenemos ${\vec {D}}=(D_{x},D_{y},0)$ El tensor dieléctrico inverso puede parecer complicado de manejar, pero aquí el cálculo se realizó para el caso general. Se puede seguir fácilmente la demostración considerando $\phi =0$ .

Los autovalores y autovectores se obtienen resolviendo la ecuación de propagación en ${\vec {D}}$ lo que da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones: $(3)\quad {\begin{cases}(\varepsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\varepsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\varepsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{cases}}$ dónde $\varepsilon _{ij}^{-1}$ representa lo inverso $ij$ elemento del tensor dieléctrico $\varepsilon _{r}$ , y $n^{2}=\varepsilon$ . Después de un cálculo sencillo del determinante del sistema, hay que realizar un desarrollo de segundo orden en $Q$ y primer orden de $B_{1}$ Esto dio lugar a los dos autovalores correspondientes a los dos índices de refracción: $n_{\parallel }^{2}=\varepsilon +B_{1}$ $n_{\perp }^{2}=\varepsilon (1-Q^{2})$

Los vectores propios correspondientes para ${\vec {D}}$ y para ${\vec {E}}$ son:

$(4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\varepsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}$

Geometría de reflexión

Relación de continuidad

Conociendo los autovectores y autovalores dentro del material, hay que calcular ${\vec {E_{r}}}=(E_{rx},E_{ry},0)$ el vector electromagnético reflejado que se suele detectar en los experimentos. Utilizamos las ecuaciones de continuidad para ${\vec {E}}$ y ${\vec {H}}$ dónde ${\vec {H}}$ es la inducción definida a partir de las ecuaciones de Maxwell por ${\textstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$ Dentro del medio, el campo electromagnético se descompone en los autovectores derivados. ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ El sistema de ecuaciones a resolver es: $(5)\quad {\begin{cases}\alpha {\Big (}{\frac {D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{y\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{ry}=E_{0y}\\\\\alpha {\Big (}{\frac {D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{x\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{cases}}$

La solución de este sistema de ecuaciones es: $(6)\quad E_{rx}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\cos(\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}$ $(7)\quad E_{ry}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\sin(\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}$

Cálculo del ángulo de rotación

El ángulo de rotación $\delta \beta$ y el ángulo de elipticidad $\psi$ se definen a partir de la razón $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ con las dos fórmulas siguientes: $(8)\quad \tan 2\delta \beta ={\frac {2\operatorname {Re} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}}\qquad (9)\quad \sin(2\psi _{K})={\frac {2\operatorname {Im} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}},$ dónde $\operatorname {Re} (\chi )$ y $\operatorname {Im} (\chi )$ representan la parte real e imaginaria de $\chi$ Utilizando los dos componentes calculados previamente, se obtiene: $(10)\qquad \chi ={\frac {(B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2})}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}{\frac {\sin[2(\phi -\beta )]}{\cos(\beta )^{2}}}+\tan(\beta ).$ Esto da como resultado la rotación de Voigt: $(11)\qquad \delta \beta =\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]\sin[2(\phi -\beta )],$ que también puede reescribirse en el caso de $B_{1}$ , $n_{0}$ , y $Q$ real: $(12)\quad \delta \beta ={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )],$ dónde $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ es la diferencia de los índices de refracción. En consecuencia, se obtiene algo proporcional a $\Delta n$ y que depende de la polarización lineal incidente. Para un correcto $\phi -\beta$ No se observa rotación de Voigt. $\Delta n$ es proporcional al cuadrado de la magnetización ya que $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ y $Q\propto M_{s}$ .

Geometría de transmisión

El cálculo de la rotación del efecto Voigt en transmisión es, en principio, equivalente al del efecto Faraday. En la práctica, esta configuración no se suele utilizar para muestras ferromagnéticas , ya que la longitud de absorción es débil en este tipo de materiales. Sin embargo, el uso de la geometría de transmisión es más común para líquidos o cristales paramagnéticos, donde la luz puede viajar fácilmente en el interior del material.

El cálculo para un material paramagnético es exactamente el mismo que para uno ferromagnético, excepto que la magnetización se reemplaza por un campo. $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}(\cos \phi ,\,\sin \phi )$ ( $H_{0}$ en $\mathrm {A/m}$ o $\mathrm {G}$ ). Para mayor comodidad, el campo se añadirá al final del cálculo en los parámetros magnetoópticos.

Consideremos las ondas electromagnéticas transmitidas. ${\vec {E}}_{t}$ propagándose en un medio de longitud L. De la ecuación (5), se obtiene para $\alpha$ y $\beta$ : $\alpha ={\frac {2E_{0}n_{\parallel }\cos(\theta -\phi )}{1+n_{\parallel }}}$ $\beta ={\frac {2E_{0}n_{\perp }^{2}\sin(\theta -\phi )}{n_{\perp }+1}}$ En la posición $z = L$ , la expresión de ${\vec {E}}_{t}$ es: $(13)\quad {\vec {E}}_{t}=e^{-i\omega [t+{\frac {(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}}]}{\Big [}\alpha {\vec {E}}_{\parallel }e^{i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}+\beta {\vec {E}}_{\perp }e^{-i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}{\Big ]}$ dónde ${\vec {E}}_{\parallel }$ y ${\vec {E}}_{\perp }$ son los autovectores calculados previamente, y $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ es la diferencia para los dos índices de refracción. La rotación se calcula entonces a partir de la relación $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ , con desarrollo de primer orden en $B_{1}$ y de segundo orden en $Q$ Esto da como resultado: $(14)\quad \chi ={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})(B_{1}+n_{0}Q^{2})\sin[2(\beta -\phi )]}{4cn_{0}(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})\Delta n\sin[2(\beta -\phi )]}{c~(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}$

Nuevamente obtenemos algo proporcional a $\Delta n$ y $L$ , la longitud de propagación de la luz. Observemos que $\Delta n$ es proporcional a $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ De la misma manera con respecto a la geometría en reflexión para la magnetización. Para extraer la rotación de Voigt, consideramos $n_{0}=\eta +i~\kappa$ , $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ y $B_{1}$ real. Entonces tenemos que calcular la parte real de (14). La expresión resultante se inserta luego en (8). En la aproximación de no absorción, se obtiene para la rotación de Voigt en geometría de transmisión: $(15)\quad \delta \beta =(\mu _{0}H)^{2}{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}$

Ilustración del efecto Voigt en GaMnAs

Figura 1 : a) Ciclo de histéresis experimental en una muestra plana de (Ga,Mn)As. b) Ciclo de histéresis de Voigt obtenido al extraer la parte simétrica de (a). c) Ciclo de Kerr longitudinal obtenido al extraer la parte asimétrica de (a).

Figura 2 : a) Mecanismo de conmutación de una muestra de (Ga,Mn)As en el plano para un campo magnético aplicado a lo largo del eje [1-10] a 12 K. b) Señal de Voigt simulada a partir del mecanismo mostrado en a).

Como ilustración de la aplicación del efecto Voigt, damos un ejemplo en el semiconductor magnético (Ga,Mn)As donde se observó un gran efecto Voigt. ^{[ 3 ]} A bajas temperaturas (en general para $T<{\frac {T_{c}}{2}}$ ) para un material con una magnetización en el plano, (Ga,Mn)As exhibe una anisotropía biaxial con la magnetización alineada a lo largo de (o cerca de) las direcciones <100>.

En la figura 1 se muestra un ciclo de histéresis típico que contiene el efecto Voigt. Este ciclo se obtuvo enviando luz polarizada linealmente a lo largo de la dirección [110] con un ángulo de incidencia de aproximadamente 3° (para más detalles, véase ^{[ 4 ]} ), y midiendo la rotación debida a los efectos magnetoópticos del haz de luz reflejado . A diferencia del efecto Kerr longitudinal/polar común, el ciclo de histéresis es par con respecto a la magnetización, lo que es característico del efecto Voigt. Este ciclo se obtuvo con una incidencia de luz muy cercana a la normal, y también presenta una pequeña parte impar; es necesario realizar un tratamiento adecuado para extraer la parte simétrica de la histéresis correspondiente al efecto Voigt y la parte asimétrica correspondiente al efecto Kerr longitudinal.

En el caso de la histéresis que se presenta aquí, el campo se aplicó a lo largo de la dirección [1-10]. El mecanismo de conmutación es el siguiente:

Comenzamos con un campo negativo alto y la magnetización está cerca de la dirección [-1-10] en la posición 1.
El campo magnético está disminuyendo, lo que lleva a una rotación de magnetización coherente de 1 a 2.
En un campo positivo, la magnetización cambia bruscamente de 2 a 3 por nucleación y propagación de dominios magnéticos dando un primer campo coercitivo llamado aquí. $H_{1}$
La magnetización permanece cerca del estado 3 mientras gira coherentemente hacia el estado 4, más alejado de la dirección del campo aplicado.
Nuevamente, la magnetización cambia abruptamente de 4 a 5 por nucleación y propagación de dominios magnéticos. Este cambio se debe a que la posición de equilibrio final está más cerca del estado 5 con respecto al estado 4 (y por lo tanto su energía magnética es menor). Esto da otro campo coercitivo llamado $H_{2}$
Finalmente, la magnetización rota coherentemente del estado 5 al estado 6.

La simulación de este escenario se muestra en la figura 2, con $\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad} .$ Como se puede observar, la histéresis simulada es cualitativamente la misma con respecto a la experimental. Nótese que la amplitud en $H_{1}$ o $H_{2}$ son aproximadamente el doble de $P_{\text{Voigt}}$

Véase también

Referencias

↑ Zvezdin, Anatoly Konstantinovich (1997), Taylor & Francis Group (ed.), Magnetoóptica moderna y materiales magnetoópticos: Estudios en materia condensada , Taylor & Francis, Bibcode : 1997mmmm.book.....Z , ISBN 978-0-7503-03620.
↑ Hubert, Alex (1998), Springer (ed.), Magnetic domains , Springer, ISBN 978-3-540-85054-0
↑ Kimel (2005). "Observación de dicroísmo lineal magnético gigante en (Ga,Mn)As". Physical Review Letters . 94 (22) 227203. Bibcode : 2005PhRvL..94v7203K . doi : 10.1103/physrevlett.94.227203 . hdl : 2066/32798 . PMID 16090433 . S2CID 164047 . .
↑ Shihab (2015). "Estudio sistemático de la dependencia de la rigidez de espín en la aleación de fósforo en el semiconductor ferromagnético (Ga,Mn)As" (PDF) . Applied Physics Letters . 106 (14): 142408. Bibcode : 2015ApPhL.106n2408S . doi : 10.1063/1.4917423 .

Lecturas adicionales

Zhao, Zhong-Quan. Filtros de línea atómica de estado excitado. Archivado el 11 de julio de 2011 en Wayback Machine . Recuperado el 26 de marzo de 2006.

[1] Zvezdin, Anatoly Konstantinovich (1997), Taylor & Francis Group (ed.), Magnetoóptica moderna y materiales magnetoópticos: Estudios en materia condensada , Taylor & Francis, Bibcode : 1997mmmm.book.....Z , ISBN 978-0-7503-03620.

[2] Hubert, Alex (1998), Springer (ed.), Magnetic domains , Springer, ISBN 978-3-540-85054-0

[3] Kimel (2005). "Observación de dicroísmo lineal magnético gigante en (Ga,Mn)As". Physical Review Letters . 94 (22) 227203. Bibcode : 2005PhRvL..94v7203K . doi : 10.1103/physrevlett.94.227203 . hdl : 2066/32798 . PMID 16090433 . S2CID 164047 . .

[4] Shihab (2015). "Estudio sistemático de la dependencia de la rigidez de espín en la aleación de fósforo en el semiconductor ferromagnético (Ga,Mn)As" (PDF) . Applied Physics Letters . 106 (14): 142408. Bibcode : 2015ApPhL.106n2408S . doi : 10.1063/1.4917423 .

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