La conjetura de Vojta

En matemáticas , la conjetura de Vojta es una conjetura introducida por Paul Vojta ( 1987 ) sobre las alturas de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos numéricos . La conjetura surgió de una analogía entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna (teoría de la distribución de valores) en análisis complejo . Implica muchas otras conjeturas en aproximación diofántica , ecuaciones diofánticas , geometría aritmética y lógica matemática . 

Dejar${\displaystyle F}$sea ​​un campo numérico, sea${\displaystyle X/F}$Sea una variedad algebraica no singular, sea${\displaystyle D}$ser un divisor efectivo en${\displaystyle X}$con, en el peor de los casos, cruces normales, deje${\displaystyle H}$ser un divisor amplio en${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle K_{X}}$ser un divisor canónico en${\displaystyle X}$. Seleccione las funciones de altura de Weil${\displaystyle h_{H}}$y${\displaystyle h_{K_{X}}}$y, para cada valor absoluto${\displaystyle v}$en${\displaystyle F}$, una función de altura local${\displaystyle \lambda _ {D,v}}$Fijar un conjunto finito de valores absolutos${\displaystyle S}$de${\displaystyle F}$y dejar${\displaystyle \epsilon >0}$Entonces hay una constante${\displaystyle C}$y un conjunto abierto de Zariski no vacío${\displaystyle U\subsetequ X}$, dependiendo de todas las opciones anteriores, de tal manera que

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad {\hbox{para todo }}P\in U(F).}$

Ejemplos :

1. Dejar${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$. Entonces${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$, así dice la conjetura de Vojta${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$a pesar de${\displaystyle P\in U(F)}$.
2. Dejar${\displaystyle X}$sea ​​una variedad con fibrado canónico trivial, por ejemplo, una variedad abeliana , una superficie K3 o una variedad de Calabi-Yau . La conjetura de Vojta predice que si${\displaystyle D}$es un divisor de cruces normales amplio y efectivo, entonces el${\displaystyle S}$-puntos integrales en la variedad afín${\displaystyle X\setminus D}$no son densos de Zariski. Para las variedades abelianas, esto fue conjeturado por Lang y demostrado por Faltings (1991) .
3. Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad de tipo general , es decir,${\displaystyle K_{X}}$es amplio en algún subconjunto abierto de Zariski no vacío de${\displaystyle X}$. Luego tomando${\displaystyle S=\emptyset }$La conjetura de Vojta predice que${\displaystyle X(F)}$no es Zariski denso en${\displaystyle X}$. Esta última afirmación para variedades de tipo general es la conjetura de Bombieri-Lang .

Hay generalizaciones en las que${\displaystyle P}$se permite variar${\displaystyle X({\overline {F}})}$y hay un término adicional en el límite superior que depende del discriminante de la extensión del campo.${\displaystyle F(P)/F}$.

Existen generalizaciones en las que las alturas locales no arquimedianas${\displaystyle \lambda _ {D,v}}$se reemplazan por alturas locales truncadas, que son alturas locales en las que se ignoran las multiplicidades. Estas versiones de la conjetura de Vojta proporcionan análogos naturales de dimensiones superiores de la conjetura ABC .

• Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1239. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. SEÑOR 0883451 . Zbl 0609.14011 .  
• Faltings, Gerd (1991). " Aproximación diofántica en variedades abelianas". Annals of Mathematics . 123 (3): 549– 576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319. MR 1109353 .