La función de Volterra

En matemáticas , la función de Volterra , que recibe su nombre de Vito Volterra , es una función de valores reales V definida en la recta real R con la siguiente curiosa combinación de propiedades:

• V es diferenciable en todas partes.
• La derivada V ′ está acotada en todas partes.
• La derivada no es integrable en el sentido de Riemann .

La función se define haciendo uso del conjunto de Smith-Volterra-Cantor y un número infinito o "copias" de secciones de la función definida por

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin(1/x),&x\neq 0\\0,&x=0.\end{cases}}}$

La construcción de V comienza determinando el mayor valor de x en el intervalo [0, 1/8] para el cual f ′ ( x ) = 0. Una vez determinado este valor (por ejemplo, x _{0 ), se extiende la función hacia la derecha con un valor constante de} f ( x ₀ ) hasta el punto 1/8 inclusive. Hecho esto, se puede crear una imagen especular de la función comenzando en el punto 1/4 y extendiéndose hacia abajo hasta 0. Esta función se definirá como 0 fuera del intervalo [0, 1/4]. Luego trasladamos esta función al intervalo [3/8, 5/8] de manera que la función resultante, que llamamos f ₁ , sea distinta de cero solo en el intervalo medio del complemento del conjunto de Smith-Volterra-Cantor.

Para construir f ₂ , se considera f ′ en el intervalo más pequeño [0,1/32], se trunca en el último lugar donde la derivada es cero, se extiende y se refleja de la misma manera que antes, y se suman dos copias trasladadas de la función resultante a f ₁ para producir la función f ₂ . La función de Volterra se obtiene repitiendo este procedimiento para cada intervalo eliminado en la construcción del conjunto de Smith-Volterra-Cantor; en otras palabras, la función V es el límite de la secuencia de funciones f ₁ , f ₂ , ...

La función de Volterra es diferenciable en todas partes, al igual que f (como se definió anteriormente). Se puede demostrar que f ′ ( x ) = 2 x sin(1/ x ) - cos(1/ x ) para x ≠ 0, lo que significa que en cualquier entorno de cero, hay puntos donde f ′ toma los valores 1 y − 1. Por lo tanto, hay puntos donde V ′ toma los valores 1 y − 1 en cada entorno de cada uno de los extremos de los intervalos eliminados en la construcción del conjunto de Smith-Volterra-Cantor S . De hecho, V ′ es discontinua en cada punto de S , aunque V misma es diferenciable en cada punto de S , con derivada 0. Sin embargo, V ′ es continua en cada intervalo eliminado en la construcción de S , por lo que el conjunto de discontinuidades de V ′ es igual a S .

Dado que el conjunto de Smith-Volterra-Cantor S tiene medida de Lebesgue positiva , esto significa que V ′ es discontinua en un conjunto de medida positiva. Según el criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann , V ′ no es integrable de Riemann. Si se repitiera la construcción de la función de Volterra con el conjunto de Cantor ordinario de medida cero C en lugar del conjunto de Cantor "grueso" (de medida positiva) S , se obtendría una función con muchas propiedades similares, pero la derivada sería entonces discontinua en el conjunto de medida cero C en lugar del conjunto de medida positiva S , y por lo tanto la función resultante tendría una derivada integrable de Riemann.

• Teorema fundamental del cálculo

• Desafiando el Teorema Fundamental del Cálculo: la función de Volterra. Archivado el 23/11/2020 en Wayback Machine , charla de David Marius Bressoud.
• Ejemplo de Volterra de una derivada no integrable. Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine ( PPT ), charla de David Marius Bressoud.