ecuación integral de Volterra

En matemáticas , las ecuaciones integrales de Volterra son un tipo especial de ecuaciones integrales , que reciben su nombre de Vito Volterra . ^{[ 1 ]} Se dividen en dos grupos denominados primer tipo y segundo tipo.

Una ecuación de Volterra lineal de primer tipo es

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

dónde${\displaystyle f(t)}$es una función dada y${\displaystyle x(t)}$debe determinarse. Una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo es

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.}$

En la teoría de operadores y en la teoría de Fredholm , los operadores correspondientes se denominan operadores de Volterra . Un método útil para resolver dichas ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .

Una ecuación integral de Volterra lineal es una ecuación de convolución si

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(ts)x(s)\,ds.}$

La función${\displaystyle K}$En la integral, el núcleo se denomina núcleo . Dichas ecuaciones pueden analizarse y resolverse mediante técnicas de transformada de Laplace .

Para un núcleo débilmente singular de la forma${\displaystyle K(t,s)=(t^{2}-s^{2})^{-\alpha }}$con${\displaystyle 0<\alpha <1}$, la ecuación integral de Volterra de primer tipo se puede transformar convenientemente en una ecuación integral de Abel clásica.

Las ecuaciones integrales de Volterra fueron introducidas por Vito Volterra y posteriormente estudiadas por Traian Lalescu en su tesis de 1908, Sur les équations de Volterra , escrita bajo la dirección de Émile Picard . En 1911, Lalescu escribió el primer libro sobre ecuaciones integrales.

Las ecuaciones integrales de Volterra encuentran aplicación en demografía como la ecuación integral de Lotka , ^{[ 2 ]} el estudio de materiales viscoelásticos , en ciencias actuariales a través de la ecuación de renovación , ^{[ 3 ]} y en mecánica de fluidos para describir el comportamiento del flujo cerca de límites de tamaño finito. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Una ecuación de Volterra lineal de primer tipo siempre se puede reducir a una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo, suponiendo que${\displaystyle K(t,t)\neq 0}$Al derivar la ecuación de Volterra de primer tipo, obtenemos:$${\displaystyle {df \over {dt}}=\int _{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)}$$Dividiendo a través de por${\displaystyle K(t,t)}$rendimientos:$${\displaystyle x(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds}$$Definición${\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}}$y${\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}$completa la transformación de la ecuación de primer tipo en una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo.

Un método estándar para calcular la solución numérica de una ecuación lineal de Volterra de segundo tipo es la regla trapezoidal , que para subintervalos igualmente espaciados${\displaystyle \Delta x}$está dado por:$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]}$$Suponiendo un espaciado igual para los subintervalos, el componente integral de la ecuación de Volterra se puede aproximar mediante:$${\displaystyle \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]}$$Definición${\displaystyle x_{i}=x(s_{i})}$,${\displaystyle f_{i}=f(t_{i})}$, y${\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j})}$Tenemos el sistema de ecuaciones lineales :$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}}$$Esto es equivalente a la ecuación matricial :$${\displaystyle x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f}$$Para núcleos con un comportamiento predecible, la regla trapezoidal suele funcionar bien.

Un área donde aparecen las ecuaciones integrales de Volterra es en la teoría de la ruina , el estudio del riesgo de insolvencia en la ciencia actuarial. El objetivo es cuantificar la probabilidad de ruina.${\displaystyle \psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]}$, dónde${\displaystyle u}$es el excedente inicial y${\displaystyle \tau (u)}$es el tiempo de la ruina. En el modelo clásico de la teoría de la ruina, la posición de efectivo neta${\displaystyle X_{t}}$es una función del superávit inicial, ingresos por primas obtenidos a tasa${\displaystyle c}$y reclamaciones salientes${\displaystyle \xi }$:$${\displaystyle X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i},\quad t\geq 0}$$dónde${\displaystyle N_{t}}$es un proceso de Poisson para el número de reclamaciones con intensidad${\displaystyle \lambda }$. En estas circunstancias, la probabilidad de ruina puede representarse mediante una ecuación integral de Volterra de la forma ^{[ 6 ]} :$${\displaystyle \psi (u)={\lambda \over {c}}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (u-x)S(x)dx}$$dónde${\displaystyle S(\cdot )}$es la función de supervivencia de la distribución de reclamaciones.

Decimos que el proceso${\displaystyle X_{t}}$es solución a una ecuación estocástica de Volterra ^{[ 7 ]} si ${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}K(t-s)b(x_{s})ds+\int _{0}^{t}K(t-s)\sigma (X_{s})dW_{s}}$

donde asumimos${\displaystyle X_{t}}$Adaptable a la filtración de un espacio de probabilidad con las condiciones habituales. Un modelo que utiliza este marco es, por ejemplo, el modelo de Bergomi rugoso.

• ecuación integral de Fredholm
• ecuación integral
• Ecuación integro-diferencial

• Traian Lalescu, Introducción a la teoría de las ecuaciones integrales. Avec une préface de É. Picard , París : A. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 págs.
• "Ecuación de Volterra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de primer tipo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de segundo tipo" . MathWorld .
• Ecuaciones integrales: Soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). «Sección 19.2. Ecuaciones de Volterra» . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

• IntEQ: un paquete de Python para la resolución numérica de ecuaciones integrales de Volterra.