Elemento de volumen

En matemáticas , un elemento de volumen proporciona un medio para integrar una función con respecto al volumen en varios sistemas de coordenadas, como coordenadas esféricas y cilíndricas . Por lo tanto, un elemento de volumen es una expresión de la forma $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_ {1},u_ {2},u_ {3})\,\mathrm {d} u_ {1}\,\mathrm {d} u_ {2}\,\mathrm {d} u_ {3}}$$ donde el${\displaystyle u_{i}}$son las coordenadas, de modo que el volumen de cualquier conjunto${\displaystyle B}$puede calcularse mediante $${\displaystyle \operatorname {Volumen} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ Por ejemplo, en coordenadas esféricas${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$, y entonces${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$.

La noción de elemento de volumen no se limita a tres dimensiones: en dos dimensiones se conoce a menudo como elemento de área , y en este contexto es útil para realizar integrales de superficie . Bajo cambios de coordenadas, el elemento de volumen cambia por el valor absoluto del determinante jacobiano de la transformación de coordenadas (por la fórmula de cambio de variables ). Este hecho permite definir los elementos de volumen como una especie de medida en una variedad . En una variedad orientable diferenciable , un elemento de volumen surge típicamente de una forma de volumen : una forma diferencial de grado máximo . En una variedad no orientable, el elemento de volumen es típicamente el valor absoluto de una forma de volumen (definida localmente): define una 1-densidad .

En el espacio euclidiano , el elemento de volumen viene dado por el producto de los diferenciales de las coordenadas cartesianas.$${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$$ En diferentes sistemas de coordenadas de la forma${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$,${\ Displaystyle y = y (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$,${\ Displaystyle z = z (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$, el elemento de volumen cambia por el jacobiano (determinante) del cambio de coordenadas: $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$ Por ejemplo, en coordenadas esféricas (convención matemática) $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$$ El determinante jacobiano es $${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$ de modo que $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}$$ Esto puede considerarse un caso especial del hecho de que las formas diferenciales se transforman mediante un retroceso.${\displaystyle F^{*}}$como $${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

Consideremos el subespacio lineal del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ que está generado por una colección de vectores linealmente independientes.$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$ Para hallar el elemento de volumen del subespacio, es útil conocer el hecho, a partir del álgebra lineal , de que el volumen del paralelepípedo generado por el${\displaystyle X_{i}}$es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gram de la${\displaystyle X_{i}}$: $${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

A cualquier punto p en el subespacio se le pueden asignar coordenadas.${\ Displaystyle (u_ {1}, u_ {2}, \ puntos, u_ {k})}$de tal manera que $${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$ En un punto p , si formamos un pequeño paralelepípedo con lados${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$, entonces el volumen de ese paralelepípedo es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gram. $${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$ Esto define, por lo tanto, la forma del volumen en el subespacio lineal.

En una variedad riemanniana orientada de dimensión n , el elemento de volumen es una forma de volumen igual al dual de Hodge de la función constante unitaria,${\displaystyle f(x)=1}$: $${\displaystyle \omega =\estrella 1.}$$ De forma equivalente, el elemento de volumen es precisamente el tensor de Levi-Civita.${\displaystyle \epsilon }$. ^{[ 1 ]} En coordenadas, $${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$ dónde${\displaystyle \det g}$es el determinante del tensor métrico g escrito en el sistema de coordenadas.

• Sistema de coordenadas cilíndricas §  Elementos de línea y volumen
• Sistema de coordenadas esféricas §  Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
• Integral de volumen
• Integral de superficie
• Integral de línea
• Elemento de línea

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs.  xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8