Formato volumétrico

En matemáticas , una forma de volumen o forma de dimensión superior es una forma diferencial de grado igual a la dimensión de la variedad diferenciable . Por lo tanto, en una variedad $M$ de dimensión $n$ , una forma de volumen es una $n$ -forma. Es un elemento del espacio de secciones del haz de líneas. $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$ , denotado como $\Omega ^{n}(M)$ Una variedad admite una forma de volumen que no se anula en ningún punto si y solo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitas formas de volumen, ya que al multiplicar una forma de volumen por una función real que no se anula en ningún punto se obtiene otra forma de volumen. En variedades no orientables, se puede definir en su lugar la noción más débil de densidad .

Una forma de volumen proporciona un medio para definir la integral de una función en una variedad diferenciable. En otras palabras, una forma de volumen da lugar a una medida con respecto a la cual las funciones pueden integrarse mediante la integral de Lebesgue correspondiente . El valor absoluto de una forma de volumen es un elemento de volumen , también conocido como forma de volumen retorcida o pseudo-forma de volumen . Este elemento también define una medida, pero existe en cualquier variedad diferenciable, orientable o no.

Las variedades de Kähler , al ser variedades complejas , están orientadas naturalmente y, por lo tanto, poseen una forma de volumen. De manera más general, la $n$ La potencia exterior de la forma simpléctica en una variedad simpléctica es una forma de volumen. Muchas clases de variedades tienen formas de volumen canónicas: poseen una estructura adicional que permite elegir una forma de volumen preferida. Las variedades pseudoriemannianas orientadas tienen una forma de volumen canónica asociada.

Orientación

Lo que sigue tratará únicamente sobre la orientabilidad de las variedades diferenciables (es una noción más general definida en cualquier variedad topológica).

Una variedad es orientable si tiene un atlas de coordenadas cuyas funciones de transición tienen determinantes jacobianos positivos . Una selección de un atlas máximo de este tipo es una orientación en $M.$ Una forma de volumen $\omega$ en $M$ da lugar a una orientación de forma natural como el atlas de cartas de coordenadas en $M$ que envían $\omega$ a un múltiplo positivo de la forma de volumen euclidiana $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$

Un formulario de volumen también permite especificar una clase preferida de marcos en $M.$ Llamamos base de vectores tangentes $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ diestro si $\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$

El grupo se encarga de recopilar todos los marcos para diestros. $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ de aplicaciones lineales generales en $n$ dimensiones con determinante positivo. Forman un principal $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ subhaz del haz de marcos lineales de $M,$ y así la orientación asociada a una forma de volumen da una reducción canónica del fibrado de marcos de $M$ a un subpaquete con grupo de estructura $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ Es decir, que una forma de volumen da lugar a $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ -estructura en $M.$ Es claramente posible una mayor reducción al considerar marcos que tengan

Así, una forma de volumen da lugar a una $\mathrm {SL} (n)$ -estructura también. Por el contrario, dado un $\mathrm {SL} (n)$ -estructura, se puede recuperar una forma de volumen imponiendo ( 1 ) para los marcos lineales especiales y luego resolviendo para lo requerido $n$ -forma $\omega$ al exigir homogeneidad en sus argumentos.

Una variedad es orientable si y solo si tiene una forma de volumen que no se anula en ningún punto. De hecho, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ es una retracción de deformación ya que $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$ donde los números reales positivos están incrustados como matrices escalares. Por lo tanto, cada $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ -la estructura es reducible a una $\mathrm {SL} (n)$ -estructura y $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ -las estructuras coinciden con las orientaciones en $M.$ Más concretamente, la trivialidad del conjunto determinante $\Omega ^{n}(M)$ es equivalente a la orientabilidad, y un fibrado de líneas es trivial si y solo si tiene una sección que no se anula en ningún punto. Por lo tanto, la existencia de una forma de volumen es equivalente a la orientabilidad.

Relación con las medidas

Dada una forma de volumen $\omega$ en una variedad orientada, la densidad $|\omega |$ es una pseudoforma de volumen en la variedad no orientada que se obtiene al ignorar la orientación. Las densidades también pueden definirse de forma más general en variedades no orientables.

Cualquier pseudoforma de volumen $\omega$ (y por lo tanto también cualquier forma de volumen) define una medida en los conjuntos de Borel mediante $\mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .$

La diferencia radica en que, si bien una medida puede integrarse sobre un subconjunto (de Borel) , una forma de volumen solo puede integrarse sobre una celda orientada . En el cálculo de una variable , escribir ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ considera $dx$ como una forma de volumen, no simplemente una medida, y ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ indica "integrar sobre la célula" $[a,b]$ con la orientación opuesta, a veces denotada ${\overline {[a,b]}}$ ".

Además, las medidas generales no tienen por qué ser continuas o suaves: no tienen por qué estar definidas por una forma de volumen, o más formalmente, su derivada de Radon-Nikodym con respecto a una forma de volumen dada no tiene por qué ser absolutamente continua .

Divergencia

Dada una forma de volumen $\omega$ en $M,$ Se puede definir la divergencia de un campo vectorial. $X$ como la única función escalar, denotada por $\operatorname {div} X,$ satisfactorio $(\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),$ dónde $L_{X}$ denota la derivada de Lie a lo largo de $X$ y $X\mathbin {\!\rfloor } \omega$ denota el producto interior o la contracción izquierda de $\omega$ a lo largo de $X.$ Si $X$ es un campo vectorial con soporte compacto y $M$ es una variedad con frontera , entonces el teorema de Stokes implica $\int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,$ que es una generalización del teorema de la divergencia .

Los campos vectoriales solenoidales son aquellos con $\operatorname {div} X=0.$ De la definición de la derivada de Lie se deduce que la forma volumétrica se conserva bajo el flujo de un campo vectorial solenoidal. Por lo tanto, los campos vectoriales solenoidales son precisamente aquellos cuyos flujos conservan el volumen. Este hecho es bien conocido, por ejemplo, en mecánica de fluidos , donde la divergencia de un campo de velocidad mide la compresibilidad de un fluido, lo que a su vez representa el grado en que el volumen se conserva a lo largo de los flujos del fluido.

Casos especiales

Grupos mentirosos

Para cualquier grupo de Lie , se puede definir una forma de volumen natural mediante traslación. Es decir, si $\omega _{e}$ es un elemento de ${\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,$ entonces se puede definir una forma invariante por la izquierda mediante $\omega _ {g}=L_ {g^{-1}}^{*}\omega _ {e},$ dónde $L_{g}$ es una traslación izquierda. Como corolario, todo grupo de Lie es orientable. Esta forma de volumen es única salvo un escalar, y la medida correspondiente se conoce como medida de Haar .

Variedades simplécticas

Cualquier variedad simpléctica (o incluso cualquier variedad casi simpléctica ) tiene una forma de volumen natural. Si $M$ es un $2n$ Variedad dimensional con forma simpléctica $\omega ,$ entonces $\omega ^{n}$ no es cero en ningún lugar como consecuencia de la no degeneración de la forma simpléctica. Como corolario, cualquier variedad simpléctica es orientable (de hecho, orientada). Si la variedad es a la vez simpléctica y riemanniana, entonces las dos formas de volumen coinciden si la variedad es de Kähler .

forma de volumen riemanniana

Cualquier variedad pseudoriemanniana orientada (incluida la riemanniana ) tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales , se puede expresar como $\omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$ donde el $dx^{i}$ son 1-formas que forman una base orientada positivamente para el fibrado cotangente de la variedad. Aquí, $|g|$ es el valor absoluto del determinante de la representación matricial del tensor métrico en la variedad.

La forma de volumen se denota de diversas maneras por $\omega =\mathrm {vol} _ {n}=\varepsilon ={\star }(1).$

Aquí, el ${\star }$ es la estrella de Hodge , por lo tanto, la última forma, ${\star }(1),$ enfatiza que la forma de volumen es el dual de Hodge del mapa constante en la variedad, que es igual al tensor de Levi-Civita. $\varepsilon .$

Aunque la letra griega $\omega$ Se utiliza frecuentemente para denotar la forma del volumen, esta notación no es universal; el símbolo $\omega$ a menudo conlleva muchos otros significados en geometría diferencial (como una forma simpléctica ).

Invariantes de una forma de volumen

Las formas de volumen no son únicas; forman un torsor sobre funciones no nulas en la variedad, como sigue. Dada una función no nula $f$ en $M,$ y un formato de volumen $\omega ,$ $f\omega$ es un formulario de volumen en $M.$ Por el contrario, dadas dos formas de volumen $\omega ,\omega ',$ Su relación es una función no nula (positiva si definen la misma orientación, negativa si definen orientaciones opuestas).

En coordenadas, ambas son simplemente una función no nula multiplicada por la medida de Lebesgue , y su razón es la razón de las funciones, que es independiente de la elección de coordenadas. Intrínsecamente, es la derivada de Radon-Nikodym de $\omega '$ con respecto a $\omega .$ En una variedad orientada, la proporcionalidad de dos formas de volumen cualesquiera puede considerarse como una forma geométrica del teorema de Radon-Nikodym .

No hay estructura local

Una forma de volumen en una variedad no tiene estructura local en el sentido de que no es posible en conjuntos abiertos pequeños distinguir entre la forma de volumen dada y la forma de volumen en el espacio euclidiano ( Kobayashi 1972 ) . Es decir, para cada punto $p$ en $M,$ Hay un vecindario abierto $U$ de $p$ y un difeomorfismo $\varphi$ de $U$ en un escenario abierto en $\mathbb {R} ^{n}$ de tal manera que el volumen se forma en $U$ es el retroceso de $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$ a lo largo de $\varphi .$

Como corolario, si $M$ y $N$ son dos variedades, cada una con formas de volumen $\omega _{M},\omega _{N},$ entonces por cualquier punto $m\in M,n\in N,$ Hay barrios abiertos $U$ de $m$ y $V$ de $n$ y un mapa $f:U\to V$ de tal manera que el volumen se forma en $N$ restringido al vecindario $V$ vuelve a la forma de volumen en $M$ restringido al vecindario $U$ : $f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.$

En una dimensión, se puede demostrar así: dada una forma de volumen $\omega$ en $\mathbb {R} ,$ definir $f(x):=\int _{0}^{x}\omega .$ Luego, la medida estándar de Lebesgue $dx$ retrocede $\omega$ bajo $f$ : $\omega =f^{*}dx.$ Concretamente, $\omega =f'\,dx.$ En dimensiones superiores, dado cualquier punto $m\in M,$ tiene un vecindario localmente homeomorfo a $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},$ y se puede aplicar el mismo procedimiento.

Estructura global: volumen

Una forma de volumen en un colector conectado $M$ tiene un único invariante global, a saber, el volumen (total), denotado $\mu (M),$ que es invariante bajo mapas que preservan la forma de volumen; esto puede ser infinito, como para la medida de Lebesgue en $\mathbb {R} ^{n}.$ En una variedad disconexa, el volumen de cada componente conexa es el invariante.

En símbolos, si $f:M\to N$ es un difeomorfismo de variedades que retrae $\omega _{N}$ a $\omega _{M},$ entonces $\mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,$ y los colectores tienen el mismo volumen.

Las formas de volumen también pueden ser retraídas bajo mapas de recubrimiento , en cuyo caso multiplican el volumen por la cardinalidad de la fibra (formalmente, por la integración a lo largo de la fibra). En el caso de un recubrimiento de láminas infinito (como $\mathbb {R} \to S^{1}$ ), una forma de volumen en una variedad de volumen finito se transforma en una forma de volumen en una variedad de volumen infinito.

Véase también

Sistema de coordenadas cilíndricas § Elementos de línea y volumen
Medida (matemáticas) – Generalización de masa, longitud, área y volumen
La métrica de Poincaré proporciona una revisión de la forma de volumen en el plano complejo.
Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas

Referencias

Kobayashi, S. (1972), Grupos de transformación en geometría diferencial , Clásicos en matemáticas, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337 .
Spivak, Michael (1965), Cálculo en variedades , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.