Integral de volumen

En matemáticas (en particular, en cálculo multivariable ), una integral de volumen (∭) es una integral sobre un dominio tridimensional ; es decir, es un caso especial de integrales múltiples . Las integrales de volumen son especialmente importantes en física para numerosas aplicaciones, por ejemplo, para calcular densidades de flujo o para calcular la masa a partir de una función de densidad correspondiente.

A menudo, la integral de volumen se representa en términos de un elemento de volumen diferencial.${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$. $${\displaystyle \iiint _ {D}f(x,y,z)\,dV.}$$ También puede significar una integral triple dentro de una región.${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$de una función${\displaystyle f(x,y,z),}$y se suele escribir como: $${\displaystyle \iiint _ {D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$ Una integral de volumen en coordenadas cilíndricas es $${\displaystyle \iiint _ {D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$ y una integral de volumen en coordenadas esféricas (utilizando la convención ISO para ángulos con${\displaystyle \varphi }$como el acimut y${\displaystyle \theta }$medido desde el eje polar (ver más sobre convenciones )) tiene la forma $${\displaystyle \iiint _ {D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$ La integral triple se puede transformar de coordenadas cartesianas a cualquier sistema de coordenadas arbitrario utilizando la matriz jacobiana y el determinante . Supongamos que tenemos una transformación de coordenadas de${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)}$Podemos representar la integral de la siguiente manera. $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw}$$ Donde definimos el determinante jacobiano. $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}}$$

Integrando la ecuación${\displaystyle f(x,y,z)=1}$Sobre un cubo unitario se obtiene el siguiente resultado: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

Así pues, el volumen del cubo unitario es 1, como era de esperar. Sin embargo, esto es bastante trivial, y una integral de volumen es mucho más potente. Por ejemplo, si tenemos una función de densidad escalar en el cubo unitario, la integral de volumen nos dará la masa total del cubo. Por ejemplo, para la función de densidad: $${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$ La masa total del cubo es: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

• Teorema de la divergencia
• Integral de superficie
• Elemento de volumen
• Elemento de línea
• Integral de línea

• "Integral múltiple" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Integral de volumen" . MundoMatemático .