Función de Von Mangoldt

En matemáticas , la función de von Mangoldt es una función aritmética que recibe su nombre del matemático alemán Hans von Mangoldt . Es un ejemplo de una función aritmética importante que no es ni multiplicativa ni aditiva .

La función de von Mangoldt, denotada por${\displaystyle \Lambda (n)}$, se define como

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{si }}n=p^{k}{\text{ para algún primo }}p{\text{ y entero }}k\geq 1,\\0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$

Los valores de${\displaystyle \Lambda (n)}$para los primeros nueve enteros positivos son

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,\dots }$

que está relacionada con (secuencia A014963 en el OEIS ) .

La función de von Mangoldt satisface la identidad ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \log(n)=\sum _ {d\mid n}\Lambda (d).}$

La suma se toma sobre todos los enteros d que dividen a n . Esto se demuestra mediante el teorema fundamental de la aritmética , ya que los términos que no son potencias de números primos son iguales a 0. Por ejemplo, consideremos el caso n = 12 = 2² ^× 3. Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

Por inversión de Möbius , tenemos

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}$

dónde${\displaystyle \mu (d)}$es la función de Möbius . Luego, usando la regla del producto para el logaritmo, obtenemos ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ].}

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

A pesar de${\displaystyle x\geq 1}$, tenemos ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}$

Además, existen constantes positivas c ₁ y c ₂ tales que

${\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}$

a pesar de${\displaystyle x\geq 1}$, y

${\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}$

para todo x suficientemente grande .

La función de von Mangoldt juega un papel importante en la teoría de las series de Dirichlet , y en particular, en la función zeta de Riemann . Por ejemplo, se tiene

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}$

La derivada logarítmica es entonces ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Estos son casos especiales de una relación más general sobre series de Dirichlet. Si uno tiene

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

para una función completamente multiplicativa f ( n ) , y la serie converge para Re( s ) > σ ₀ , entonces

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para Re( s ) > σ ₀ .

La segunda función de Chebyshev${\displaystyle \psi (x)}$es la función sumatoria de la función de von Mangoldt: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

Fue introducido por Pafnuty Chebyshev, quien lo utilizó para demostrar que el verdadero orden de la función de conteo primo${\displaystyle \pi (x)}$es${\displaystyle x/\log x}$Von Mangoldt proporcionó una prueba rigurosa de una fórmula explícita para${\displaystyle \psi (x)}$implica una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann . Esta fue una parte importante de la primera demostración del teorema de los números primos .

La transformada de Mellin de la función de Chebyshev se puede encontrar aplicando la fórmula de Perron :

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

lo cual es válido para${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

Hardy y Littlewood examinaron la serie ^{[ 8 ]}

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

en el límite y → 0 ⁺ . Suponiendo la hipótesis de Riemann , demuestran que

${\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}$

En particular, esta función es oscilatoria con oscilaciones divergentes : existe un valor K > 0 tal que ambas desigualdades

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

se cumplen infinitamente a menudo en cualquier entorno de 0. El gráfico de la derecha indica que este comportamiento no es numéricamente obvio al principio: las oscilaciones no se ven claramente hasta que la serie se suma más allá de 100 millones de términos, y solo son fácilmente visibles cuando y < 10 ⁻⁵ .

La media de Riesz de la función de von Mangoldt viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}$

Aquí, λ y δ son números que caracterizan la media de Riesz. Se debe tomar c > 1. La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

Se puede demostrar que es una serie convergente para λ > 1 .

Existe una fórmula explícita para la función sumatoria de Mangoldt.${\displaystyle \psi (x)}$dado por ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}$

Si separamos los ceros triviales de la función zeta, que son los enteros pares negativos, obtenemos

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(La suma no es absolutamente convergente, por lo que tomamos los ceros en orden del valor absoluto de su parte imaginaria).

En la dirección opuesta, en 1911 E. Landau demostró que para cualquier t > 1 fijo ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}$

(Utilizamos la notación ρ = β + iγ para los ceros no triviales de la función zeta).

Por lo tanto, si usamos la notación de Riemann α = −i(ρ − 1/2) tenemos que la suma sobre ceros zeta no triviales expresada como

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}$

alcanza su máximo en números primos y potencias de números primos.

La transformada de Fourier de la función de von Mangoldt produce un espectro con picos en las ordenadas iguales a las partes imaginarias de los ceros de la función zeta de Riemann. Esto a veces se denomina dualidad.

Las funciones

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}$

dónde${\displaystyle \mu }$denota la función de Möbius y${\displaystyle k}$denota un entero positivo, generaliza la función de von Mangoldt. ^{[ 11 ]} La función${\displaystyle \Lambda _{1}}$es la función ordinaria de von Mangoldt${\displaystyle \Lambda }$.

• Función de conteo de números primos

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001  
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH (eds.). Introducción a la teoría de los números (6.ª  ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. SEÑOR 2445243 . Zbl 1159.11001 .  

• Tenebaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol.  46. Traducido por CB Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 . 

• Allan Gut, Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann (2005)
• SA Stepanov (2001) [1994], "Función de Mangoldt" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Heike, ¿Cómo graficar el espectro cero de la zeta de Riemann en Mathematica? (2012)