La desigualdad de Von Neumann

En la teoría de operadores , la desigualdad de von Neumann , debida a John von Neumann , establece que, para una contracción fija T , el mapa del cálculo funcional polinomial es en sí mismo una contracción.

Para una contracción T que actúa sobre un espacio de Hilbert y un polinomio p , entonces la norma de p ( T ) está acotada por el supremo de | p ( z )| para z en el disco unitario ." ^{[ 1 ]}

La desigualdad se puede demostrar considerando la dilatación unitaria de T , para la cual la desigualdad es obvia.

Esta desigualdad es un caso específico de la conjetura de Matsaev. Es decir, que para cualquier polinomio P y contracción T en${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle ||P(T)||_{L^{p}\to L^{p}}\leq ||P(S)||_{\ell ^{p}\to \ell ^{p}}}$

donde S es el operador de desplazamiento a la derecha. La desigualdad de von Neumann demuestra que es cierta para${\displaystyle p=2}$y para${\displaystyle p=1}$y${\displaystyle p=\infty }$Es cierto mediante un cálculo sencillo. SW  Drury demostró en 2011 que la conjetura falla en el caso general. ^{[ 2 ]}

• La conjetura de Crouzeix