Fórmula de Voronoi

En matemáticas, una fórmula de Voronoi es una igualdad que involucra coeficientes de Fourier de formas automorfas , con los coeficientes modificados por caracteres aditivos en ambos lados. Puede considerarse como una fórmula de suma de Poisson para grupos no abelianos . La fórmula de Voronoi (de suma) para GL(2) ha sido durante mucho tiempo una herramienta estándar para estudiar las propiedades analíticas de las formas automorfas y sus funciones L. Se han obtenido numerosos resultados a partir de la fórmula de Voronoi en  GL(2). El concepto recibe su nombre de Georgy Voronoy .

Para Voronoy y sus contemporáneos, la fórmula parecía hecha a medida para evaluar ciertas sumas finitas. Esto parecía significativo porque varias cuestiones importantes en teoría de números involucran sumas finitas de cantidades aritméticas. En este sentido, mencionemos dos ejemplos clásicos: el problema del divisor de Dirichlet y el problema del círculo de Gauss . El primero estima el tamaño de d ( n ), el número de divisores positivos de un entero n . Dirichlet demostró 

${\displaystyle D(X)=\sum _{n=1}^{X}d(n)-X\log X-(2\gamma -1)X=O(X^{1/2})}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler ≈  0,57721566. El problema del círculo de Gauss se refiere al tamaño promedio de

${\displaystyle r_{2}(n)=\#\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=n\},}$

para lo cual Gauss dio la estimación

${\displaystyle \Delta (X)=\sum _{n=1}^{X}r_{2}(n)-\pi X=O(X^{1/2}).}$

Cada problema tiene una interpretación geométrica, donde D ( X ) cuenta los puntos de la red en la región${\displaystyle \{x,y>0,xy\leq X\}}$, y${\displaystyle \Delta (X)}$puntos de la red en el disco${\displaystyle \{x^{2}+y^{2}\leq X\}}$Como veremos, estos dos límites están relacionados y se derivan de consideraciones bastante elementales. En la serie de artículos, Voronoy desarrolló métodos geométricos y analíticos para mejorar tanto el límite de Dirichlet como el de Gauss. Lo más importante, en retrospectiva, fue que generalizó la fórmula al permitir sumas ponderadas, a costa de introducir operaciones integrales más generales sobre f que la transformada de Fourier .

Sea ƒ una forma cúspide de Maass para el grupo modular PSL (2, Z ) y a ( n ) sus coeficientes de Fourier. Sean a , c enteros tales que ( a , c ) = 1. Sea ω una función de prueba bien comportada. La fórmula de Voronoi para ƒ establece

${\displaystyle \sum _{n}a(n)e(an/c)\omega (n)=\sum _{n}a(n)e(-{\bar {a}}n/c)\Omega (n),}$

dónde${\displaystyle {\bar {a}}}$es el inverso multiplicativo de a módulo c y Ω es una cierta transformada integral de Hankel de ω . (véase Good (1984) )  

• Good, Anton (1984), "Formas cúspides y funciones propias del laplaciano", Mathematische Annalen , 255 (4): 523– 548, doi : 10.1007/bf01451932
• Miller, SD, & Schmid, W. (2006). Distribuciones automórficas, funciones L y suma de Voronoi para GL(3). Annals of mathematics, 423–488.
• Voronoï, G. (1904). Sur una función trascendental y sus aplicaciones à la sommation de quelques series. En Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (Vol. 21, págs.  207-267).