Modelo de votante

En la teoría matemática de la probabilidad , el modelo de votante es un sistema de partículas interactuantes introducido por Richard A. Holley y Thomas M. Liggett en 1975. ^[1]

Se puede imaginar que hay un "votante" en cada punto de un grafo conectado, donde las conexiones indican que hay algún tipo de interacción entre un par de votantes (nodos). Las opiniones de cualquier votante sobre algún tema cambian en momentos aleatorios bajo la influencia de las opiniones de sus vecinos. La opinión de un votante en un momento dado puede tomar uno de dos valores, etiquetados como 0 y 1. En momentos aleatorios, se selecciona un individuo al azar y la opinión de ese votante cambia de acuerdo con una regla estocástica. En concreto, se elige a uno de los vecinos del votante elegido de acuerdo con un conjunto dado de probabilidades y la opinión de ese vecino se transfiere al votante elegido.

Una interpretación alternativa es la que se plantea en términos de conflicto espacial. Supongamos que dos naciones controlan las áreas (conjuntos de nodos) etiquetados como 0 o 1. Un cambio de 0 a 1 en una ubicación determinada indica una invasión de ese sitio por parte de la otra nación.

Obsérvese que solo se produce un cambio cada vez. Los problemas que involucran al modelo de votante a menudo se reformularán en términos del sistema dual ^{[ aclaración necesaria ] de} cadenas de Markov fusionadas ^{[ aclaración necesaria ]} . Con frecuencia, estos problemas se reducirán a otros que involucran cadenas de Markov independientes.

Un modelo de votante es un proceso de Markov (de tiempo continuo) con espacio de estados y función de tasas de transición , donde es una red entera de dimensión d, y se supone que •,• es no negativo, uniformemente acotado y continuo como una función de en la topología del producto en . Cada componente se denomina configuración. Para dejar en claro que representa el valor de un sitio x en la configuración ; mientras que significa el valor de un sitio x en la configuración en el momento . $estilo de visualización {\eta _{t}}$${\displaystyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$${\displaystyle c(x,\eta)}$$Estilo de visualización Z^{d}}$${\estilo de visualización c()}$${\estilo de visualización )}$${\estilo de visualización \eta}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \eta \en S}$${\displaystyle \eta(x)}$${\displaystyle \eta (.)}$$estilo de visualización {\eta_{t}(x)}$${\displaystyle \eta (.)}$${\estilo de visualización t}$

La dinámica del proceso se especifica mediante la recopilación de tasas de transición . Para los modelos de votantes, la tasa a la que se produce un cambio de 0 a 1 o viceversa se da mediante una función de sitio . Tiene las siguientes propiedades: ${\estilo de visualización \estilo de script x}$${\displaystyle c(x,\eta)}$${\estilo de visualización x}$

1. ${\displaystyle c(x,\eta )=0}$para cada si o si${\displaystyle x\en Z^{d}}$${\displaystyle \eta \equiv 0}$${\displaystyle \eta \equiv 1}$
2. ${\displaystyle c(x,\eta )=c(x,\zeta )}$para cada si para todos${\displaystyle x\en Z^{d}}$${\displaystyle \eta (y)+\zeta (y)=1}$${\displaystyle y\in Z^{d}}$
3. ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$Si y${\displaystyle \eta \leq \zeta }$${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$
4. ${\displaystyle c(x,\eta)}$es invariante ante cambios en${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

La propiedad (1) dice que y son puntos fijos para la evolución. (2) indica que la evolución no cambia al intercambiar los roles de 0 y 1. En la propiedad (3), significa , e implica si , e implica si . ${\displaystyle \eta \equiv 0}$${\displaystyle \eta \equiv 1}$${\displaystyle \eta \leq \zeta }$${\displaystyle \para todo x,\eta (x)\leq \zeta (x)}$${\displaystyle \eta \leq \zeta }$${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$${\displaystyle c(x,\eta )\geq c(x,\zeta )}$${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=1}$

El interés en es el comportamiento limitante de los modelos. Dado que las tasas de cambio de un sitio dependen de sus vecinos, es obvio que cuando todos los sitios toman el mismo valor, todo el sistema deja de cambiar para siempre. Por lo tanto, un modelo de votante tiene dos distribuciones estacionarias extremas triviales, las masas puntuales y en o respectivamente, que representan el consenso. La cuestión principal a discutir es si hay o no otras, que representarían entonces la coexistencia de diferentes opiniones en equilibrio. Se dice que hay coexistencia si hay una distribución estacionaria que se concentra en configuraciones con infinitos 0 y 1. Por otro lado, si para todas y cada una de las configuraciones iniciales, entonces ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{0}}$${\displaystyle \scriptstyle \delta _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 0}$${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 1}$${\displaystyle \scriptstyle x,y\en Z^{d}}$

${\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}P[\eta_{t}(x)\neq \eta_{t}(y)]=0}$

Se dice que se produce agrupamiento .

Es importante distinguir la agrupación con el concepto de clúster . Los clústeres se definen como los componentes conectados de o . ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$

Esta sección estará dedicada a uno de los modelos básicos de votante, el Modelo de Votante Lineal.

Si •,• son las probabilidades de transición para una caminata aleatoria irreducible en , entonces: ${\estilo de visualización \estilo de script p()}$${\estilo de visualización \estilo de script)}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

${\displaystyle p(x,y)\geq 0\quad {\text{y}}\sum _{y}p(x,y)=1}$

Luego, en el modelo de votante lineal, las tasas de transición son funciones lineales de : ${\estilo de visualización \estilo de script \eta}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\sum _{y}p(x,y)\eta (y)\quad {\text{para todos}}\quad \eta (x)=0\\\sum _{y}p(x,y)(1-\eta (y))\quad {\text{para todos}}\quad \eta (x)=1\\\end{array}}\right.}$

O si indica que se produce un cambio en , entonces las tasas de transición son simplemente: ${\displaystyle \scriptstyle \eta_{x}}$${\estilo de visualización \estilo de script x}$

${\displaystyle \eta \rightarrow \eta _{x}\quad {\text{a tasa}}\sum _{y:\eta (y)\neq \eta (x)}p(x,y).}$

Un proceso de fusión de paseos aleatorios se define de la siguiente manera. Aquí denota el conjunto de sitios ocupados por estos paseos aleatorios en el tiempo . Para definir , considere varios paseos aleatorios (de tiempo continuo) en con tiempos de retención exponenciales unitarios y probabilidades de transición •,• , y tómelos como independientes hasta que dos de ellos se encuentren. En ese momento, los dos que se encuentran se fusionan en una partícula, que continúa moviéndose como un paseo aleatorio con probabilidades de transición •,• . ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}\subconjunto Z^{d}}$$Estilo de visualización Estilo de script A_{t}}$${\estilo de visualización \estilo de script t}$$Estilo de visualización Estilo de script A_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\estilo de visualización \estilo de script p()}$${\estilo de visualización \estilo de script)}$${\estilo de visualización \estilo de script p()}$${\estilo de visualización \estilo de script)}$

El concepto de dualidad es esencial para analizar el comportamiento de los modelos de votantes. Los modelos de votantes lineales satisfacen una forma muy útil de dualidad, conocida como dualidad coalescente , que es:

${\displaystyle P^{\eta }(\eta _{t}\equiv 1\quad {\text{on }}A)=P^{A}(\eta (A_{t})\equiv 1),}$

donde es la configuración inicial de y es el estado inicial de los paseos aleatorios coalescentes . ${\displaystyle \scriptstyle \eta \in \{0,1\}^{Z^{d}}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$${\displaystyle \scriptstyle A=\{x\in Z^{d},\eta (x)=1\}\subset Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$

Sean las probabilidades de transición para una caminata aleatoria irreducible en y , entonces la relación de dualidad para tales modelos de votantes lineales dice que${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)=p(0,x-y)}$${\displaystyle \scriptstyle \forall \eta \in S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]}$

donde y son (tiempo continuo) paseos aleatorios en con , , y es la posición tomada por el paseo aleatorio en el tiempo . y forma un paseo aleatorio coalescente descrito al final de la sección 2.1 . es un paseo aleatorio simetrizado. Si es recurrente y , y llegará eventualmente con probabilidad 1, y por lo tanto ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle X_{0}=x}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{0}=y}$${\displaystyle \scriptstyle \eta (X_{t})}$${\displaystyle \scriptstyle t}$${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]\leq P[X_{t}\neq Y_{t}]\rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\to 0}$

Por lo tanto, el proceso se agrupa.

Por otra parte, cuando , el sistema coexiste. Esto se debe a que para , es transitorio, por lo que existe una probabilidad positiva de que los paseos aleatorios nunca se produzcan, y por lo tanto para${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$${\displaystyle \scriptstyle x\neq y}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=C\lim _{t\rightarrow \infty }P[X_{t}\neq Y_{t}]>0}$

para alguna constante correspondiente a la distribución inicial. ${\displaystyle C}$

Si se trata de un paseo aleatorio simetrizado, entonces existen los siguientes teoremas: ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}(t)=X(t)-Y(t)}$

Teorema 2.1

El modelo de votante lineal se agrupa si es recurrente y coexiste si es transitorio. En particular, ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$

1. el proceso se agrupa si y , o si y ;${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|p(0,x)\leq \infty }$${\displaystyle \scriptstyle d=2}$${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|^{2}p(0,x)\leq \infty }$
2. El proceso coexiste si .${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$

Observaciones : Para contrastar esto con el comportamiento de los modelos de votantes umbral que se analizarán en la siguiente sección, observe que el hecho de que el modelo de votantes lineal se agrupe o coexista depende casi exclusivamente de la dimensión del conjunto de sitios, más que del tamaño del rango de interacción.

Teorema 2.2 Supongamos que cualquier traducción es espacialmente ergódica y tiene una medida de probabilidad invariante en el espacio de estados , entonces ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$${\displaystyle \scriptstyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

1. Si es recurrente, entonces ;${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$
2. Si es transitorio, entonces .${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \mu _{\rho }}$

donde es la distribución de ; significa convergencia débil, es una medida invariante extremal no trivial y . ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)}$${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$${\displaystyle \scriptstyle \Rightarrow }$${\displaystyle \scriptstyle \mu _{\rho }}$${\displaystyle \scriptstyle \rho =\mu (\{\eta :\eta (x)=1\})}$

Uno de los casos especiales interesantes del modelo de votante lineal, conocido como modelo de votante lineal básico , es que para el espacio de estados : ${\displaystyle \scriptstyle \{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle p(x,y)={\begin{cases}1/2d&{\text{if }}|x-y|=1{\text{ and }}\eta (x)\neq \eta (y)\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

De modo que

${\displaystyle \eta _{t}(x)\to 1-\eta _{t}(x)\quad {\text{at rate}}\quad (2d)^{-1}|\{y:|y-x|=1,\eta _{t}(y)\neq \eta _{t}(x)\}|}$

En este caso, el proceso se agrupa si , mientras que coexiste si . Esta dicotomía está estrechamente relacionada con el hecho de que el recorrido aleatorio simple es recurrente si y transitorio si .${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$

Para el caso especial con , y para cada . Del teorema 2.2 , , por lo tanto, en este caso se produce agrupamiento. El objetivo de esta sección es dar una descripción más precisa de este agrupamiento. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle S=Z^{1}}$${\displaystyle \scriptstyle p(x,x+1)=p(x,x-1)={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}}$

Como se mencionó anteriormente, los grupos de un se definen como los componentes conectados de o . El tamaño medio del grupo para se define como: ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta }$

${\displaystyle C(\eta )=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{{\text{number of clusters in}}[-n,n]}}}$

siempre que exista el límite.

Proposición 2.3

Supongamos que el modelo de votante tiene una distribución inicial y es una medida de probabilidad invariante a la traducción, entonces ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$${\displaystyle \scriptstyle \mu }$

${\displaystyle P\left(C(\eta )={\frac {1}{P[\eta _{t}(0)\neq \eta _{t}(1)]}}\right)=1.}$

Defina las funciones del tiempo de ocupación del modelo lineal básico de votante como:

${\displaystyle T_{t}^{x}=\int _{0}^{t}\eta _{s}^{\rho }(x)\mathrm {d} s.}$

Teorema 2.4

Supongamos que para todo sitio x y tiempo t, , entonces como , casi con seguridad si${\displaystyle \scriptstyle P(\eta _{t}(x)=1)=\rho }$${\displaystyle \scriptstyle t\rightarrow \infty }$${\displaystyle \scriptstyle T_{t}^{x}/t\rightarrow \rho }$ ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 2}$

prueba

Por la desigualdad de Chebyshev y el lema de Borel-Cantelli , tenemos la siguiente ecuación:

${\displaystyle P\left({\frac {\rho }{r}}\leq \lim \inf _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \lim \sup _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \rho r\right)=1;\quad \forall r>1}$

El teorema se deduce cuando se deja . ${\displaystyle \scriptstyle r\searrow 1}$

Esta sección se concentra en un tipo de modelo de votante no lineal, conocido como el modelo de votante umbral . Para definirlo, sea un vecindario de que se obtiene al intersecar con cualquier conjunto compacto, convexo y simétrico en ; en otras palabras, se supone que es un conjunto finito que es simétrico con respecto a todas las reflexiones e irreducible (es decir, el grupo que genera es ). Siempre se puede suponer que contiene todos los vectores unitarios . Para un entero positivo , el modelo de votante umbral con vecindario y umbral es el que tiene función de tasa: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle 0\in Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle R^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle (1,0,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)}$${\displaystyle \scriptstyle T}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle T}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if}}\quad |\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)\neq \eta (x)\}|\geq T\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

En pocas palabras, la tasa de transición del sitio es 1 si la cantidad de sitios que no toman el mismo valor es mayor o igual al umbral T. De lo contrario, el sitio permanece en el estado actual y no cambiará. ${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle x}$

Por ejemplo, si , y , entonces la configuración es un estado absorbente o una trampa para el proceso. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle \scriptstyle T=2}$${\displaystyle \scriptstyle \dots 1\quad 1\quad 0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 0\quad 0\dots }$

Si un modelo de votante de umbral no se fija, se debe esperar que el proceso coexista para un umbral pequeño y se agrupe para un umbral grande, donde grande y pequeño se interpretan como relativos al tamaño del vecindario. La intuición es que tener un umbral pequeño facilita que se produzcan cambios, por lo que es probable que haya muchos 0 y 1 en todo momento. A continuación se presentan tres resultados principales: ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$

1. Si es así , entonces el proceso se fija en el sentido de que cada sitio cambia sólo con una frecuencia finita.${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$
2. Si y , entonces el proceso se agrupa.${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$
3. Si con suficientemente pequeño( ) y suficientemente grande, entonces el proceso coexiste.${\displaystyle \scriptstyle T=\theta |{\mathcal {N}}|}$${\displaystyle \scriptstyle \theta }$${\displaystyle \scriptstyle \theta <{\frac {1}{4}}}$${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$

Aquí hay dos teoremas correspondientes a las propiedades (1) y (2).

Teorema 3.1

Si , entonces el proceso se fija. ${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$

Teorema 3.2

El modelo de votante umbral en una dimensión ( ) con , clústeres. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-T,\dots ,T\},T\geq 1}$

prueba

La idea de la prueba es construir dos secuencias de tiempos aleatorios , para con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \scriptstyle U_{n}}$${\displaystyle \scriptstyle V_{n}}$${\displaystyle \scriptstyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle \scriptstyle 0=V_{0}<U_{1}<V_{1}<U_{2}<V_{2}<\dots }$,
2. ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{k+1}-V_{k},k\geq 0\}}$son iidwith ,${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (U_{k+1}-V_{k})<\infty }$
3. ${\displaystyle \scriptstyle \{V_{k}-U_{k},k\geq 1\}}$son iidwith ,${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (V_{k}-U_{k})=\infty }$
4. Las variables aleatorias en (b) y (c) son independientes entre sí,
5. el evento A= es constante en , y el evento A es válido para cada .${\displaystyle \scriptstyle \{\eta _{t}(.)}$${\displaystyle \scriptstyle \{-T,\dots ,T\}\}}$${\displaystyle \scriptstyle t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}]}$

Una vez hecha esta construcción, se desprenderá de la teoría de la renovación que

${\displaystyle P(A)\geq P(t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}])\to 1\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$

Por lo tanto, , de modo que el proceso se agrupa. ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{t\rightarrow \infty }P(\eta _{t}(1)\neq \eta _{t}(0))=0}$

Observaciones: (a) Los modelos de umbral en dimensiones superiores no necesariamente se agrupan si . Por ejemplo, tomemos y . Si es constante en franjas infinitas verticales alternas, es decir, para todos los : ${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle d=2,T=2}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta }$${\displaystyle \scriptstyle i,j}$

${\displaystyle \eta (4i,j)=\eta (4i+1,j)=1,\quad \eta (4i+2,j)=\eta (4i+3,j)=0}$

entonces nunca ocurre ninguna transición y el proceso se fija.

(b) Bajo el supuesto del Teorema 3.2 , el proceso no se fija. Para ver esto, considere la configuración inicial , en la que infinitos ceros son seguidos por infinitos unos. Entonces, solo el cero y el uno en el límite pueden cambiar, de modo que la configuración siempre se verá igual excepto que el límite se moverá como un simple paseo aleatorio simétrico. El hecho de que este paseo aleatorio sea recurrente implica que cada sitio cambia infinitamente a menudo. ${\displaystyle \scriptstyle \dots 000111\dots }$

La propiedad 3 indica que el modelo de votante umbral es bastante diferente del modelo de votante lineal, en el sentido de que la coexistencia se produce incluso en una dimensión, siempre que el vecindario no sea demasiado pequeño. El modelo umbral tiene una tendencia hacia la "minoría local", que no está presente en el caso lineal.

La mayoría de las pruebas de coexistencia para los modelos de votantes umbral se basan en comparaciones con un modelo híbrido conocido como proceso de contacto umbral con parámetro . Este es el proceso con tasas de cambio: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda >0}$${\displaystyle \scriptstyle [0,1]^{Z^{d}}}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\lambda \quad {\text{if}}\quad \eta (x)=0\quad {\text{and}}|\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)=1\}|\geq T;\\1\quad {\text{if}}\quad \eta (x)=1;\\0\quad {\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Proposición 3.3

Para cualquier y , si el proceso de contacto umbral con tiene una medida invariante no trivial, entonces el modelo de votante umbral coexiste. ${\displaystyle \scriptstyle d,{\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle T}$${\displaystyle \scriptstyle \lambda =1}$

El caso que reviste especial interés porque es el único en el que se sabe exactamente qué modelos coexisten y cuáles se agrupan. ${\displaystyle \scriptstyle T=1}$

En particular, existe interés en un tipo de modelo de Umbral T=1 que viene dado por: ${\displaystyle \scriptstyle c(x,\eta )}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if exists one}}\quad y\quad {\text{with}}\quad |x-y|\leq N\quad {\text{and}}\quad \eta (x)\neq \eta (y)\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \scriptstyle N}$puede interpretarse como el radio del vecindario ; determina el tamaño del vecindario (es decir, si , entonces ; mientras que para , el correspondiente ). ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle N}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{1}=\{-2,-1,0,1,2\}}$${\displaystyle \scriptstyle N_{1}=2}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$${\displaystyle \scriptstyle N_{2}=1}$

Según el teorema 3.2 , el modelo con y se agrupa. El siguiente teorema indica que para todas las demás opciones de y , el modelo coexiste. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle \scriptstyle d}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$

Teorema 3.4

Supongamos que , pero . Entonces el modelo de umbral con parámetro coexiste. ${\displaystyle \scriptstyle N\geq 1}$${\displaystyle \scriptstyle (N,d)\neq (1,1)}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle N}$

La prueba de este teorema se da en un artículo llamado "Coexistencia en modelos de votantes umbral" de Thomas M. Liggett.