Pareja Wilf-Zeilberger

En matemáticas , específicamente en combinatoria , un par de Wilf-Zeilberger , o par WZ , es un par de funciones que se pueden usar para certificar ciertas identidades combinatorias . Los pares WZ reciben su nombre de Herbert S. Wilf y Doron Zeilberger , y son fundamentales para la evaluación de muchas sumas que involucran coeficientes binomiales , factoriales y, en general, cualquier serie hipergeométrica . El equivalente WZ de una función se puede usar para encontrar una suma equivalente y mucho más simple. Aunque encontrar pares WZ manualmente es poco práctico en la mayoría de los casos, el algoritmo de Gosper proporciona un método para encontrar el equivalente WZ de una función y se puede implementar en un programa de manipulación simbólica .

Dos funciones F y G forman un par WZ si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k),}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.}$

De la definición se deduce que

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

porque la función G telescopios :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k),}$

eso es

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)={\text{const}}.}$

La constante no depende de n . Su valor se puede encontrar sustituyendo n = n ₀ por un n ₀ particular .

Si F y G forman un par WZ, entonces satisfacen la relación

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1),}$

dónde${\displaystyle R(n,k)}$es una función racional de n y k y se denomina certificado de prueba WZ .

Se puede utilizar un par Wilf-Zeilberger para verificar la identidad.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}={2n \choose n}.}$

Divide la identidad por su lado derecho:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}}=1.}$

Utilice el certificado de prueba

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}}$

para verificar que el lado izquierdo no depende de n , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}},\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

Ahora F y G forman un par de Wilf-Zeilberger.

Para demostrar que la constante en el lado derecho de la identidad es 1, sustituya n = 0, por ejemplo.

• Marko Petkovsek ; Herbert Wilf y Doron Zeilberger (1996). A=B . AK Peters. ISBN 1-56881-063-6.
• Tefera, Akalu (2010), "¿Qué es... un par de Wilf-Zeilberger?" (PDF) , AMS Notices , 57 ( 4): 508–509.

• Método de Almkvist-Zeilberger , un análogo del método WZ para evaluar integrales definidas .
• Lista de identidades matemáticas

• El algoritmo de Gosper proporciona un método para generar pares WZ cuando existen.
• Generatingfunctionology proporciona detalles sobre el método WZ de certificación de identidad.