Obstáculo de finitud de Wall

En topología geométrica , un campo dentro de las matemáticas, la obstrucción para que un espacio finitamente dominado X sea homotópicamente equivalente a un complejo CW finito es su obstrucción de finitud de pared w(X) , que es un elemento en la teoría algebraica K de orden cero reducida.${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$del anillo del grupo integral${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _ {1}(X)]}$Recibe su nombre del matemático CTC Wall .

Gracias al trabajo de John Milnor ^{[ 1 ]} sobre espacios finitamente dominados, no se pierde generalidad al considerar que X es un complejo CW. Una dominación finita de X es un complejo CW finito K junto con mapas${\displaystyle r:K\to X}$y${\displaystyle i\colon X\to K}$de tal manera que${\displaystyle r\circ i\simeq 1_{X}}$. Mediante una construcción debida a Milnor es posible extender r a una equivalencia homotópica.${\displaystyle {\bar {r}}\colon {\bar {K}}\to X}$dónde${\displaystyle {\bar {K}}}$es un complejo CW obtenido a partir de K mediante la unión de células para eliminar los grupos homotópicos relativos${\displaystyle \pi _{n}(r)}$.

El espacio${\displaystyle {\bar {K}}}$será finito si todos los grupos de homotopía relativa son finitamente generados. Wall demostró que esto ocurrirá si y solo si su obstrucción de finitud desaparece. Más precisamente, utilizando la teoría del espacio de recubrimiento y el teorema de Hurewicz se puede identificar${\displaystyle \pi _{n}(r)}$con${\displaystyle H_{n}({\widetilde {X}},{\widetilde {K}})}$Wall luego demostró que el complejo de la cadena celular${\displaystyle C_{*}({\widetilde {X}})}$¿La homotopía de cadena es equivalente a un complejo de cadena?${\displaystyle A_{*}}$de tipo finito de proyectivo${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _ {1}(X)]}$-módulos, y que${\displaystyle H_{n}({\widetilde {X}},{\widetilde {K}})\cong H_{n}(A_{*})}$Se generará de forma finita si y solo si estos módulos son establemente libres . Los módulos establemente libres desaparecen en la teoría K reducida. Esto motiva la definición.

${\displaystyle w(X)=\sum _{i}(-1)^{i}[A_{i}]\in {\widetilde {K}}_{0}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$.

• Teoría K algebraica
• torsión de Whitehead

• Varadarajan, Kalathoor (1989), La obstrucción de finitud de CTC Wall , Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, Nueva York: John Wiley & Sons Inc., ISBN 978-0-471-62306-9, SR 0989589 .
• Ferry, Steve; Ranicki, Andrew (2001), "Un estudio de la obstrucción de finitud de Wall", Surveys on Surgery Theory, vol. 2 , Annals of Mathematics Studies, vol.  149, Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. 63–79 , arXiv : math/0008070 , Bibcode : 2000math......8070F , MR 1818772  .
• Rosenberg, Jonathan (2005), " Teoría K y topología geométrica", en Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (eds.), Manual de la teoría K (PDF) , Berlín: Springer, pp. 577–610 , doi : 10.1007/978-3-540-27855-9_12 , ISBN  978-3-540-23019-9, MR 2181830