Producto Wallis

El producto de Wallis es la representación de producto infinito de π :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}}$

Fue publicado en 1656 por John Wallis . ^{[ 1 ]}

Wallis derivó este producto infinito mediante interpolación , aunque su método no se considera riguroso. Una derivación moderna puede encontrarse examinando${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx}$para valores pares e impares de${\displaystyle n}$y señalando que para grandes${\displaystyle n}$, aumentando${\displaystyle n}$ por 1 resulta en un cambio que se vuelve cada vez más pequeño a medida que${\displaystyle n}$aumenta. Sea ^{[ 2 ]}

${\displaystyle I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx.}$

(Esta es una forma de las integrales de Wallis .) Integrar por partes :

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sin ^{n-1}x\\\Rightarrow du&=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\dv&=\sin x\,dx\\\Rightarrow v&=-\cos x\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }(-\cos x)(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\[6pt]{}&=0+(n-1)\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\qquad n>1\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}x\,dx-(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\[6pt]{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {I(n)}{I(n-2)}}&={\frac {n-1}{n}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

Ahora, por conveniencia, realizamos dos sustituciones de variables para obtener:

${\displaystyle I(2n)={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)}$

${\displaystyle I(2n+1)={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)}$

Obtenemos valores para${\displaystyle I(0)}$y${\displaystyle I(1)}$para uso posterior.

${\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int _{0}^{\pi }dx=x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=\pi \\[6pt]I(1)&=\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\[6pt]\end{aligned}}}$

Ahora, calculamos para valores pares.${\displaystyle I(2n)}$aplicando repetidamente la relación de recurrencia resultante de la integración por partes. Finalmente, llegamos a${\displaystyle I(0)}$, que hemos calculado.

${\displaystyle I(2n)=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)}$

${\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}$

Repetir el proceso para valores impares.${\displaystyle I(2n+1)}$,

${\displaystyle I(2n+1)=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}$

${\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}$

Hacemos la siguiente observación, basándonos en el hecho de que${\displaystyle \sin {x}\leq 1}$

${\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi }$

${\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)}$

Dividiendo por${\displaystyle I(2n+1)}$:

${\displaystyle \Rightarrow 1\leq {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}}$, donde la igualdad proviene de nuestra relación de recurrencia.

Por el teorema de compresión ,

${\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }$

Si bien la demostración anterior suele aparecer en los libros de texto de cálculo modernos, el producto de Wallis es, en retrospectiva, un corolario sencillo del posterior producto infinito de Euler para la función seno .

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

Dejar${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}}$   ^{[ 1 ]}

La aproximación de Stirling para la función factorial${\displaystyle n!}$afirma que

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right].}$

Consideremos ahora las aproximaciones finitas al producto de Wallis, obtenidas tomando el primero${\displaystyle k}$términos en el producto

${\displaystyle p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {2n}{2n-1}}{\frac {2n}{2n+1}},}$

dónde${\displaystyle p_{k}}$se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{[(2n)(2n-1)]^{2}}}\\[6pt]&={1 \over {2k+1}}\cdot {{2^{4k}\,(k!)^{4}} \over {[(2k)!]^{2}}}.\end{aligned}}}$

Sustituyendo la aproximación de Stirling en esta expresión (tanto para${\displaystyle k!}$y${\displaystyle (2k)!}$) se puede deducir (tras un breve cálculo) que${\displaystyle p_{k}}$converge a${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$como${\displaystyle k\rightarrow \infty }$.

La función zeta de Riemann y la función eta de Dirichlet se pueden definir: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)>1\\[6pt]\eta (s)&=(1-2^{1-s})\zeta (s)\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\Re (s)>0\end{aligned}}}$

Aplicando una transformada de Euler a la última serie, se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (s)&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\\[6pt]\Rightarrow \eta '(s)&=(1-2^{1-s})\zeta '(s)+2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {\ln n}{n^{s}}}-{\frac {\ln(n+1)}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \eta '(0)&=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {1}{2}}-\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {3}{4}}-\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {5}{6}}-\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {2}{1}}+\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {4}{3}}+\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {6}{5}}+\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{2}}\\\Rightarrow \zeta '(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)\end{aligned}}}$

• John Wallis , matemático inglés a quien se le atribuye parcialmente el desarrollo del cálculo infinitesimal y de pi .
• La fórmula de Viète , una fórmula de producto infinito diferente para${\displaystyle \pi }$.
• Fórmula de Leibniz para π , una suma infinita que puede convertirse en un producto de Euler infinito para π .
• Tamiz de Wallis
• La fórmula del producto de Pippenger obtiene e tomando raíces de los términos en el producto de Wallis.

• "Fórmula de Wallis" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• ¿Por qué este producto es igual a π/2? Una nueva demostración de la fórmula de Wallis para π. 3Blue1Brown . 20 de abril de 2018. Archivado del original el 12 de diciembre de 2021 ( vía YouTube) .