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Función Wannier

Funciones de Wannier de dímeros de nitrógeno con enlaces triples y simples en nitruro de paladio. Las funciones de Wannier son un conjunto completo de funciones ortogonales util...

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Funciones de Wannier de dímeros de nitrógeno con enlaces triples y simples en nitruro de paladio.

Las funciones de Wannier son un conjunto completo de funciones ortogonales utilizadas en la física del estado sólido . Fueron introducidas por Gregory Wannier en 1937. [ 1 ] [ 2 ] Las funciones de Wannier son los orbitales moleculares localizados de los sistemas cristalinos.

Las funciones de Wannier para diferentes sitios de la red cristalina son ortogonales, lo que proporciona una base conveniente para la expansión de los estados electrónicos en ciertos regímenes. Las funciones de Wannier se utilizan ampliamente, por ejemplo, en el análisis de las fuerzas de enlace que actúan sobre los electrones.

Definición

Ejemplo de una función de Wannier localizada del titanio en titanato de bario (BaTiO3).

Aunque, al igual que los orbitales moleculares localizados , las funciones de Wannier se pueden elegir de muchas maneras diferentes, [ 3 ] la definición original, [ 1 ] más simple y más común en física del estado sólido es la siguiente. Elija una sola banda en un cristal perfecto y denote sus estados de Bloch por

ψk(r)=miik⋅rtúk(r){\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}

donde u k ( r ) tiene la misma periodicidad que el cristal. Entonces las funciones de Wannier se definen por

ϕR(r)=1norte∑kmi−ik⋅Rψk(r){\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )},

dónde

∑k⟶norteΩ∫BZd3k{\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {\sqrt {N}}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k} }

donde "BZ" denota la zona de Brillouin , que tiene un volumen Ω.

Propiedades

Sobre la base de esta definición, se puede demostrar que se cumplen las siguientes propiedades: [ 4 ]

  • Para cualquier vector de red R' ,
ϕR(r)=ϕR+R′(r+R′){\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')}

En otras palabras, una función de Wannier solo depende de la cantidad ( r − R ). Como resultado, estas funciones a menudo se escriben en la notación alternativa.

ϕ(r−R):=ϕR(r){\displaystyle \phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}
  • Las funciones de Bloch se pueden escribir en términos de funciones de Wannier de la siguiente manera:
ψk(r)=1norte∑Rmiik⋅RϕR(r){\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )},

donde la suma se realiza sobre cada vector de red R en el cristal.

  • El conjunto de funciones de ondaϕR{\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}es una base ortonormal para la banda en cuestión.
∫cristalϕR(r)∗ϕR′(r)d3r=1norte∑k,k′∫cristalmiik⋅Rψk(r)∗mi−ik′⋅R′ψk′(r)d3r=1norte∑k,k′miik⋅Rmi−ik′⋅R′δk,k′=1norte∑kmiik⋅(R−R′)=δR,R′{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R-R')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}}

Las funciones de Wannier también se han extendido a potenciales casi periódicos. [ 5 ]

Localización

Los estados de Bloch ψ k ( r ) se definen como las autofunciones de un hamiltoniano particular y, por lo tanto, solo se definen hasta una fase global. Al aplicar una transformación de fase e iθ ( k ) a las funciones ψ k ( r ), para cualquier función (real) θ ( k ), se obtiene una elección igualmente válida. Si bien el cambio no tiene consecuencias para las propiedades de los estados de Bloch, las funciones de Wannier correspondientes se ven significativamente alteradas por esta transformación.

Por lo tanto, se utiliza la libertad de elegir las fases de los estados de Bloch para obtener el conjunto más conveniente de funciones de Wannier. En la práctica, este suele ser el conjunto máximamente localizado, en el que la función de Wannier ϕ R se localiza alrededor del punto R y tiende rápidamente a cero al alejarse de R. Para el caso unidimensional, Walter Kohn [ 6 ] demostró que siempre existe una elección única que proporciona estas propiedades (sujeta a ciertas simetrías). Esto se aplica, por consiguiente, a cualquier potencial separable en dimensiones superiores; las condiciones generales no están establecidas y son objeto de investigación en curso. [ 7 ]

El esquema de localización de Pipek-Mezey también se ha propuesto recientemente para obtener funciones de Wannier. [ 8 ] A diferencia de las funciones de Wannier máximamente localizadas (que son una aplicación del esquema de Foster-Boys a sistemas cristalinos), las funciones de Wannier de Pipek-Mezey no mezclan orbitales σ y π.

Resultados rigurosos

La existencia de funciones de Wannier localizadas exponencialmente en aislantes se demostró matemáticamente en 2006. [ 7 ]

Teoría moderna de la polarización

Las funciones de Wannier se han aplicado recientemente para describir la polarización en cristales, por ejemplo, en materiales ferroeléctricos . La teoría moderna de la polarización fue desarrollada por Raffaele Resta y David Vanderbilt . Véase, por ejemplo, Berghold, [ 9 ] y Nakhmanson, [ 10 ] y una introducción en PowerPoint de Vanderbilt. [ 11 ] La polarización por celda unitaria en un sólido se puede definir como el momento dipolar de la densidad de carga de Wannier :

pagdo=−mi∑norte∫ d3rr|Wnorte(r)|2 ,{\displaystyle \mathbf {p_{c}} =-e\sum _{n}\int \ d^{3}r\,\,\mathbf {r} |W_{n}(\mathbf {r} )|^{2}\ ,}

donde la suma se realiza sobre las bandas ocupadas, y W n es la función de Wannier localizada en la celda para la banda n . El cambio en la polarización durante un proceso físico continuo es la derivada temporal de la polarización y también puede formularse en términos de la fase de Berry de los estados de Bloch ocupados. [ 4 ] [ 12 ]

interpolación de Wannier

Las funciones de Wannier se utilizan a menudo para interpolar estructuras de bandas calculadas ab initio en una malla gruesa de puntos k a cualquier punto k arbitrario . Esto es particularmente útil para la evaluación de integrales de la zona de Brillouin en mallas densas y la búsqueda de puntos de Weyl, y también para tomar derivadas en el espacio k . Este enfoque es similar en espíritu a la aproximación de enlace fuerte , pero en contraste permite una descripción exacta de bandas en un cierto rango de energía. Se han derivado esquemas de interpolación de Wannier para propiedades espectrales, [ 13 ] conductividad Hall anómala , [ 14 ] magnetización orbital , [ 15 ] propiedades de transporte termoeléctrico y electrónico, [ 16 ] efectos girotrópicos , [ 17 ] corriente de desplazamiento , [ 18 ] conductividad Hall de espín [ 19 ] [ 20 ] y otros efectos.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Wannier Gregory H (1937). "La estructura de los niveles de excitación electrónica en cristales aislantes". Physical Review . 52 (3): 191– 197. Bibcode : 1937PhRv...52..191W . doi : 10.1103/PhysRev.52.191 .
  2. ↑ Wannier, Gregory H. (1 de septiembre de 1962). "Dinámica de los electrones de banda en campos eléctricos y magnéticos". Reviews of Modern Physics . 34 (4). American Physical Society (APS): 645– 655. Bibcode : 1962RvMP...34..645W . doi : 10.1103/revmodphys.34.645 . ISSN 0034-6861 . 
  3. ↑ Marzari et al.: Introducción a las funciones de Wannier máximamente localizadas
  4. 1 2 A Bohm, A Mostafazadeh, H Koizumi, Q Niu y J Zqanziger (2003). La fase geométrica en sistemas cuánticos . Springer. pp. §12.5, p. 292 y ss. doi : 10.1007/978-3-662-10333-3 . ISBN  978-3-540-00031-0.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  5. ↑ MP Geller y W Kohn Teoría de las funciones de Wannier generalizadas para potenciales casi periódicos Physical Review B 48, 1993
  6. ↑ W. Kohn (1959). "Propiedades analíticas de las ondas de Bloch y las funciones de Wannier". Physical Review . 115 (4): 809– 821. Bibcode : 1959PhRv..115..809K . doi : 10.1103/PhysRev.115.809 .
  7. 1 2 Brouder, Christian; Panati, Gianluca; Calandra, Matteo; Mourougane, Christophe; Marzari, Nicola (25 de enero de 2007). "Localización exponencial de funciones de Wannier en aislantes". Physical Review Letters . 98 (4) 046402. American Physical Society (APS). arXiv : cond-mat/0606726 . Bibcode : 2007PhRvL..98d6402B . doi : 10.1103/physrevlett.98.046402 . ISSN 0031-9007 . PMID 17358792 . S2CID 32812449 .   
  8. ↑ Jónsson Elvar Ö., Lehtola Susi, Puska Martti, Jónsson Hannes (2017). "Teoría y aplicaciones de las funciones de Wannier de Pipek-Mezey generalizadas". Journal of Chemical Theory and Computation . 13 (2): 460– 474. arXiv : 1608.06396 . doi : 10.1021/acs.jctc.6b00809 . PMID 28099002 . S2CID 206612913 .  {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  9. ↑ Berghold, Gerd; Mundy, Christopher J.; Romero, Aldo H.; Hutter, Jürg; Parrinello, Michele (15 de abril de 2000). "Algoritmos generales y eficientes para obtener funciones de Wannier máximamente localizadas". Physical Review B . 61 (15). American Physical Society (APS): 10040– 10048. Bibcode : 2000PhRvB..6110040B . doi : 10.1103/physrevb.61.10040 . ISSN 0163-1829 . 
  10. ↑ Nakhmanson, SM; Calzolari, A.; Meunier, V.; Bernholc, J.; Buongiorno Nardelli, M. (10 de junio de 2003). "Polarización espontánea y piezoelectricidad en nanotubos de nitruro de boro". Physical Review B . 67 (23) 235406. arXiv : cond-mat/0305329v1 . Bibcode : 2003PhRvB..67w5406N . doi : 10.1103/physrevb.67.235406 . ISSN 0163-1829 . S2CID 119345964 .  
  11. ↑ D Vanderbilt Archivado el 28-03-2018 en Wayback Machine Fases de Berry y curvaturas en la teoría de la estructura electrónica .
  12. ↑ C. Pisani (1994). Cálculo ab initio cuántico-mecánico de las propiedades de materiales cristalinos (Actas de la IV Escuela de Química Computacional de la Sociedad Química Italiana, ed.). Springer. p. 282. ISBN   978-3-540-61645-0.
  13. ↑ Yates, Jonathan R.; Wang, Xinjie; Vanderbilt, David; Souza, Ivo (2007-05-21). "Propiedades espectrales y de la superficie de Fermi a partir de la interpolación de Wannier". Physical Review B . 75 (19) 195121. American Physical Society (APS). arXiv : cond-mat/0702554 . Bibcode : 2007PhRvB..75s5121Y . doi : 10.1103/physrevb.75.195121 . ISSN 1098-0121 . S2CID 31224663 .  
  14. ↑ Wang, Xinjie; Yates, Jonathan R.; Souza, Ivo; Vanderbilt, David (2006-11-21). "Cálculo ab initio de la conductividad Hall anómala mediante interpolación de Wannier". Physical Review B . 74 (19) 195118. arXiv : cond-mat/0608257 . Bibcode : 2006PhRvB..74s5118W . doi : 10.1103/physrevb.74.195118 . ISSN 1098-0121 . S2CID 30427871 .  
  15. ↑ Lopez, MG; Vanderbilt, David; Thonhauser, T.; Souza, Ivo (2012-01-31). "Cálculo basado en Wannier de la magnetización orbital en cristales". Physical Review B . 85 (1) 014435. arXiv : 1112.1938 . Bibcode : 2012PhRvB..85a4435L . doi : 10.1103/physrevb.85.014435 . ISSN 1098-0121 . S2CID 44056938 .  
  16. ↑ Pizzi, Giovanni; Volja, Dmitri; Kozinsky, Boris; Fornari, Marco; Marzari, Nicola (2014-01-01). "BoltzWann: Un código para la evaluación de propiedades de transporte termoeléctrico y electrónico con una base de funciones de Wannier máximamente localizadas" . Computer Physics Communications . 185 (1): 422– 429. arXiv : 1305.1587 . Bibcode : 2014CoPhC.185..422P . doi : 10.1016/j.cpc.2013.09.015 . ISSN 0010-4655 . S2CID 6140858. Recuperado el 13 de julio de 2020 .  
  17. ↑ Tsirkin, Stepan S.; Puente, Pablo Aguado; Souza, Ivo (2018-01-29). "Efectos girotrópicos en telurio trigonal estudiados desde primeros principios". Physical Review B . 97 (3) 035158. arXiv : 1710.03204 . Bibcode : 2018PhRvB..97c5158T . doi : 10.1103/physrevb.97.035158 . ISSN 2469-9950 . S2CID 55517213 .  
  18. ↑ Ibañez-Azpiroz, Julen; Tsirkin, Stepan S.; Souza, Ivo (2018-06-26). "Cálculo ab initio de la fotocorriente de desplazamiento mediante interpolación de Wannier". Physical Review B . 97 (24) 245143. arXiv : 1804.04030 . Bibcode : 2018PhRvB..97x5143I . doi : 10.1103/physrevb.97.245143 . ISSN 2469-9950 . S2CID 67751414 .  
  19. ^ Qiao, Junfeng; Zhou, Jiaqi; Yuan, Zhe; Zhao, Weisheng (3 de diciembre de 2018). "Cálculo de la conductividad Hall de espín intrínseco mediante interpolación de Wannier". Revisión física B. 98 (21) 214402. arXiv : 1810.07637 . Código Bib : 2018PhRvB..98u4402Q . doi : 10.1103/physrevb.98.214402 . ISSN 2469-9950 . S2CID 119223848 .  
  20. ↑ Ryoo, Ji Hoon; Park, Cheol-Hwan; Souza, Ivo (2019-06-07). "Cálculo de conductividades intrínsecas de spin Hall a partir de primeros principios utilizando funciones de Wannier máximamente localizadas". Physical Review B . 99 (23) 235113. arXiv : 1906.07139 . Bibcode : 2019PhRvB..99w5113R . doi : 10.1103/physrevb.99.235113 . ISSN 2469-9950 . S2CID 189928182 .  

Lecturas adicionales

  • Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Física de los ferroeléctricos: una perspectiva moderna . Springer. pág.  2. ISBN 978-3-540-34590-9.
  • Wannier Gregory H (1937). "La estructura de los niveles de excitación electrónica en cristales aislantes". Physical Review . 52 (3): 191– 197. Bibcode : 1937PhRv...52..191W . doi : 10.1103/PhysRev.52.191 .
  • Código informático Wannier90 que calcula funciones de Wannier con localización máxima.
  • Código de transporte de Wannier que calcula funciones de Wannier máximamente localizadas, adecuadas para aplicaciones de transporte cuántico. Archivado el 4 de agosto de 2017 en Wayback Machine.
  • WannierTools: Un paquete de software de código abierto para nuevos materiales topológicos.
  • WannierBerri: un código Python para interpolación de Wannier y cálculos de enlace fuerte.

Véase también

Lecturas relacionadas
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