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Articulo de referencia

La ecuación de Washburn

En física , la ecuación de Washburn describe el flujo capilar en un haz de tubos cilíndricos paralelos; se extiende, con algunas salvedades, también a la imbibición en materiale...

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En física , la ecuación de Washburn describe el flujo capilar en un haz de tubos cilíndricos paralelos; se extiende, con algunas salvedades, también a la imbibición en materiales porosos . La ecuación recibe su nombre de Edward Wight Washburn ; [ 1 ] también conocida como ecuación de Lucas-Washburn , dado que Richard Lucas [ 2 ] escribió un artículo similar tres años antes, o como ecuación de Bell-Cameron-Lucas-Washburn , debido al descubrimiento de la forma de la ecuación por JM Bell y FK Cameron en 1906. [ 3 ]

Derivación

Medición de la humectabilidad del polvo mediante el método Washburn.
Medición de la humectabilidad del polvo mediante el método Washburn.

En su forma más general, la ecuación de Lucas Washburn describe la longitud de penetración (L{\displaystyle L}) de un líquido en un poro o tubo capilar con el tiempot{\displaystyle t}comoL=(Dt)12{\displaystyle L=(Dt)^{\frac {1}{2}}}, dóndeD{\displaystyle D}es un coeficiente de difusión simplificado. [ 4 ] Esta relación, que se cumple en diversas situaciones, captura la esencia de la ecuación de Lucas y Washburn y muestra que la penetración capilar y el transporte de fluidos a través de estructuras porosas exhiben un comportamiento difusivo similar al que ocurre en numerosos sistemas físicos y químicos. El coeficiente de difusiónD{\displaystyle D}está regido por la geometría del capilar, así como por las propiedades del fluido penetrante. Un líquido que tiene una viscosidad dinámicaη{\displaystyle \eta }y tensión superficialγ{\displaystyle \gamma }penetrará una distanciaL{\displaystyle L}en el capilar cuyo radio de poro esr{\displaystyle r}siguiendo la relación:

L=γrtporque⁡(ϕ)2η{\displaystyle L={\sqrt {\frac {\gamma rt\cos(\phi )}{2\eta }}}}

Dónde ϕ{\displaystyle \phi }es el ángulo de contacto entre el líquido penetrante y el sólido (pared del tubo).

La ecuación de Washburn también se utiliza comúnmente para determinar el ángulo de contacto de un líquido con un polvo mediante un tensiómetro de fuerza . [ 5 ]

En el caso de los materiales porosos, se han planteado muchas cuestiones sobre el significado físico del radio de poro calculado.r{\displaystyle r}[ 6 ] y la posibilidad real de usar esta ecuación para el cálculo del ángulo de contacto del sólido. [ 7 ] La ecuación se deriva para el flujo capilar en un tubo cilíndrico en ausencia de uncampo gravitatorio, pero es suficientemente precisa en muchos casos cuando la fuerza capilar es aún significativamente mayor que la fuerza gravitatoria.

En su artículo de 1921, Washburn aplica la Ley de Poiseuille al movimiento de fluidos en un tubo circular. Insertando la expresión para el volumen diferencial en términos de la longitudl{\displaystyle l}de fluido en el tubodV=πr2dl{\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}, uno obtiene

δlδt=∑PAG8ηl(r2+4ϵr){\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8\eta l}}(r^{2}+4\epsilon r)}

dónde∑PAG{\displaystyle \sum P}es la suma de las presiones participantes, como la presión atmosférica.PAGA{\displaystyle P_{A}}la presión hidrostáticaPAGh{\displaystyle P_{h}}y la presión equivalente debida a las fuerzas capilaresPAGdo{\displaystyle P_{c}}.η{\displaystyle \eta }es la viscosidad del líquido, yϵ{\displaystyle \epsilon }es el coeficiente de deslizamiento, que se supone que es 0 para materiales humectantes .r{\displaystyle r}es el radio del capilar. Las presiones a su vez se pueden escribir como

PAGh=hgramoρ−lgramoρpecado⁡ψ{\displaystyle P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi }
PAGdo=2γrporque⁡ϕ{\displaystyle P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi }

dóndeρ{\displaystyle \rho }es la densidad del líquido yγ{\displaystyle \gamma }su tensión superficial .ψ{\displaystyle \psi }es el ángulo del tubo con respecto al eje horizontal.ϕ{\displaystyle \phi }es el ángulo de contacto del líquido sobre el material capilar. Sustituyendo estas expresiones se obtiene la ecuación diferencial de primer orden para la distancia que penetra el fluido en el tubo.l{\displaystyle l}:

δlδt=[PAGA+gramoρ(h−lpecado⁡ψ)+2γrporque⁡ϕ](r2+4ϵr)8ηl{\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (hl\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{2}+4\epsilon r)}{8\eta l}}}

La constante de Washburn

La constante de Washburn puede incluirse en la ecuación de Washburn.

Se calcula de la siguiente manera:

104[μmetrodometro][nortemetro2]68947.6[dynortemisdometro2]=0,1450(38){\displaystyle {\frac {10^{4}\left[\mathrm {\frac {\mu m}{cm}} \right]\left[\mathrm {\frac {N}{m^{2}}} \right]}{68947.6\left[\mathrm {\frac {dynes}{cm^{2}}} \right]}}=0.1450(38)}[ 8 ] [ 9 ]

inercia del fluido

En la derivación de la ecuación de Washburn, la inercia del líquido se ignora por considerarse despreciable. Esto es evidente en la dependencia de la longitud.L{\displaystyle L}a la raíz cuadrada del tiempo,L∝t{\displaystyle L\propto {\sqrt {t}}}, lo que da una velocidad dL/dt arbitrariamente grande para valores pequeños de t . Una versión mejorada de la ecuación de Washburn, llamada ecuación de Bosanquet , tiene en cuenta la inercia del líquido. [ 10 ]

Aplicaciones

Impresión de inyección de tinta

La penetración de un líquido en el sustrato que fluye bajo su propia presión capilar se puede calcular utilizando una versión simplificada de la ecuación de Washburn: [ 11 ] [ 12 ]

l=[rporque⁡θ2]12[γη]12t12{\displaystyle l=\left[{\frac {r\cos \theta }{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}}

donde la relación tensión superficial-viscosidad[γη]12{\displaystyle \left[{\tfrac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}}representa la velocidad de penetración de la tinta en el sustrato. En realidad, la evaporación de los disolventes limita la penetración del líquido en una capa porosa y, por lo tanto, para una modelización precisa de la física de la impresión por inyección de tinta, es apropiado utilizar modelos que tengan en cuenta los efectos de la evaporación en la penetración capilar limitada.

Alimento

Según el físico y ganador del premio Ig Nobel Len Fisher , la ecuación de Washburn puede ser extremadamente precisa para materiales más complejos, incluidas las galletas . [ 13 ] [ 14 ] Tras una celebración informal llamada Día Nacional de Mojar Galletas, algunos artículos periodísticos citaron la ecuación como la ecuación de Fisher . [ 15 ]

Nueva bomba capilar

El comportamiento del flujo en los capilares tradicionales sigue la ecuación de Washburn. Recientemente, se desarrollaron nuevas bombas capilares con un caudal constante independiente de la viscosidad del líquido [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] , que presentan una ventaja significativa sobre las bombas capilares tradicionales (cuyo comportamiento de flujo es el de Washburn, es decir, el caudal no es constante). Estos nuevos conceptos de bombas capilares tienen un gran potencial para mejorar el rendimiento de las pruebas de flujo lateral .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Edward W. Washburn (1921). "La dinámica del flujo capilar" . Physical Review . 17 (3): 273. Bibcode : 1921PhRv...17..273W . doi : 10.1103/PhysRev.17.273 .
  2. ^ Lucas, R. (1918). "Ueber das Zeitgesetz des Kapillaren Aufstiegs von Flussigkeiten" . Koloide Z. 23 : 15. doi : 10.1007/bf01461107 . S2CID 97596580 . 
  3. ↑ Bell, JM y Cameron, FK (1906). "El flujo de líquidos a través de espacios capilares" . J. Phys. Chem . 10 (8): 658– 674. doi : 10.1021/j150080a005 .
  4. ↑ Liu, M.; et al. (2016). "Penetración capilar radial limitada por evaporación en medios porosos" . Langmuir . 32 (38): 9899– 9904. doi : 10.1021/acs.langmuir.6b02404 . PMID 27583455 .  
  5. ↑ Alghunaim, Abdullah; Kirdponpattara, Suchata; Newby, Bi-min Zhang (2016). "Técnicas para determinar el ángulo de contacto y la humectabilidad de polvos". Powder Technology . 287 : 201–215 . doi : 10.1016/j.powtec.2015.10.002 .
  6. ↑ Dullien, FAL (1979). Medios porosos: transporte de fluidos y estructura de poros . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-12-223650-1.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )
  7. ↑ Marco, Brugnara; Claudio, Della Volpe; Stefano, Siboni (2006). "Mojabilidad de materiales porosos. II. ¿Podemos obtener el ángulo de contacto a partir de la ecuación de Washburn?" . En Mittal, KL (ed.). Ángulo de contacto, mojabilidad y adhesión . Mass. VSP.
  8. ↑ Micromeritics, "Manual de usuario de Autopore IV", septiembre (2000). Sección B, Apéndice D: Reducción de datos, página D-1. (Tenga en cuenta que la adición de 1 N/m² no se menciona en esta referencia, sino que se da por implícita).
  9. ↑ Micromeritics, Akima, Hiroshi (1970). "Un nuevo método de interpolación y ajuste de curvas suaves basado en procedimientos locales" (PDF) . Journal of the ACM . 17 (4): 589– 602. doi : 10.1145/321607.321609 . S2CID 33862277 . 
  10. ↑ Schoelkopf, Joachim; Matthews, G. Peter (2000). "Influencia de la inercia en la absorción de líquidos en las estructuras de recubrimiento del papel". Nordic Pulp & Paper Research Journal . 15 (5): 422– 430. doi : 10.3183/npprj-2000-15-05-p422-430 . S2CID 36690492 . 
  11. ↑ Oliver, JF (1982). "Mojado y penetración de superficies de papel". Coloides y superficies en tecnología reprográfica . Serie de simposios de la ACS. Vol. 200. págs. 435–453 . doi : 10.1021/bk-1982-0200.ch022 . ISBN   978-0-8412-0737-0ISSN 1947-5918​​ 
  12. ↑ Leelajariyakul, S.; Noguchi, H.; Kiatkamjornwong, S. (2008). "Tintas pigmentadas microencapsuladas y modificadas superficialmente para impresión por inyección de tinta en tejidos textiles". Progress in Organic Coatings . 62 (2): 145– 161. doi : 10.1016/j.porgcoat.2007.10.005 . ISSN 0300-9440 . 
  13. ↑ "La ceremonia de entrega del Premio Ig Nobel de 1999" . improbable.com . Investigación improbable . Consultado el 7 de octubre de 2015. Len Fisher, descubridor de la forma óptima de mojar una galleta.
  14. ↑ Barb, Natalie (25 de noviembre de 1998). "No más fracasos en los mates" . bbc.co.uk. BBC News . Consultado el 7 de octubre de 2015 .
  15. ↑ Fisher, Len (11 de febrero de 1999). "La física se lleva la palma" . Nature . 397 (6719): 469. Bibcode : 1999Natur.397..469F . doi : 10.1038/17203 . S2CID 4404966. Washburn se revolverá en su tumba al saber que los medios de comunicación han rebautizado su trabajo como la "ecuación de Fisher". 
  16. ↑ Weijin Guo; Jonás Hansson; Wouter van der Wijngaart (2016). "Imbibición de microfluidos de papel independiente de la viscosidad" (PDF) . MicroTAS 2016, Dublín, Irlanda .
  17. ↑ Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2016). "Bombeo capilar independiente de la viscosidad de la muestra líquida" . Langmuir . 32 ( 48): 12650– 12655. doi : 10.1021/acs.langmuir.6b03488 . PMID 27798835. S2CID 24662688 .  
  18. ↑ Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2017). "Bombeo capilar con un caudal constante independiente de la viscosidad de la muestra líquida y la energía superficial". 2017 IEEE 30th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS) . IEEE MEMS 2017, Las Vegas, EE. UU. pp. 339–341 . doi : 10.1109/MEMSYS.2017.7863410 . ISBN  978-1-5090-5078-9. S2CID 13219735 . 
  19. ↑ Weijin Guo; Jonás Hansson; Wouter van der Wijngaart (2018). "Bombeo capilar independiente de la energía y viscosidad de la superficie del líquido" . Microsistemas y Nanoingeniería . 4 (1): 2. Código Bib : 2018MicNa...4....2G . doi : 10.1038/s41378-018-0002-9 . PMC 6220164 . PMID 31057892 .  
  • Medición de la humectabilidad del polvo con el método Washburn