Poliedro de Waterman

En geometría , los poliedros de Waterman son una familia de poliedros descubiertos alrededor de 1990 por el matemático Steve Waterman. Un poliedro de Waterman se crea empaquetando esferas según el empaquetamiento cúbico cerrado (CCP), también conocido como empaquetamiento cúbico centrado en las caras (fcc), y luego barriendo las esferas que están más alejadas del centro que un radio definido, ^[1] creando luego la envoltura convexa de los centros de las esferas.

• 
  Esferas cúbicas compactas con radio √ 24
• 
  Poliedro de Waterman correspondiente W24 Origen 1

Los poliedros de Waterman forman una amplia familia de poliedros. Algunos de ellos tienen una serie de propiedades interesantes, como simetrías múltiples o formas interesantes y regulares. Otros son simplemente una colección de caras formadas a partir de polígonos convexos irregulares .

Los poliedros de Waterman más populares son aquellos con centros en el punto (0,0,0) y formados por cientos de polígonos. Estos poliedros se parecen a esferas. De hecho, cuantas más caras tenga un poliedro de Waterman, más se parecerá a su esfera circunscrita en volumen y área total.

A cada punto del espacio 3D podemos asociar una familia de poliedros de Waterman con distintos valores de radios de las esferas circunscritas. Por tanto, desde un punto de vista matemático podemos considerar los poliedros de Waterman como espacios 4D W(x, y, z, r), donde x, y, z son coordenadas de un punto en 3D, y r es un número positivo mayor que 1. ^[2]

Pueden existir siete orígenes definidos en CCP, ^[3] donde n = {1, 2, 3, …}:

• Origen 1: desplazamiento 0,0,0, radio${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$
• Origen 2: desplazamiento ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ,0, radio${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+4n}}}$
• Origen 3: desplazamiento ⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠2/3⁠ , radio${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {6(n+1)}}}$
• Origen 3*: desplazamiento ⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ , radio${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3+6n}}}$
• Origen 4: desplazamiento ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ , radio${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3+8(n-1)}}}$
• Origen 5: desplazamiento 0,0, ⁠1/2⁠ , radio${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+4n}}}$
• Origen 6: desplazamiento 1,0,0, radio${\displaystyle {\sqrt {1+2(n-1)}}}$

Dependiendo del origen del barrido se obtiene una forma diferente y un poliedro resultante.

Algunos poliedros de Waterman crean sólidos platónicos y sólidos arquimedianos . Para esta comparación de poliedros de Waterman, se normalizan, p. ej., W2 O1 tiene un tamaño o volumen diferente al de W1 O6, pero tiene la misma forma que un octaedro. ^{[ cita requerida ]}

• Tetraedro: W1 O3*, W2 O3*, W1 O3, W1 O4
• Octaedro: W2 O1, W1 O6
• Cubo: W2 O6
• El icosaedro y el dodecaedro no tienen representación como poliedros de Waterman. ^{[ cita requerida ]}

• Cuboctaedro : W1 O1, W4 O1
• Octaedro truncado : W10 O1
• Tetraedro truncado : W4O3, W2O4
• Los demás sólidos arquimedianos no tienen representación como poliedros de Waterman. ^{[ cita requerida ]}

El W7 O1 podría confundirse con un cuboctaedro truncado , así como también el W3 O1 = W12 O1 podría confundirse con un rombicuboctaedro , pero esos poliedros de Waterman tienen dos longitudes de arista y, por lo tanto, no califican como sólidos arquimedianos. ^{[ cita requerida ]}

Los poliedros de Waterman generalizados se definen como la envoltura convexa derivada del conjunto de puntos de cualquier extracción esférica de una red regular. ^{[ cita requerida ]}

Se incluye un análisis detallado de las siguientes 10 redes: bcc, cuboctaedro, diamante, fcc, hcp, octaedro truncado, dodecaedro rómbico , cúbico simple, tet truncado, tet truncado, octaedro truncado, cuboctaedro. ^{[ cita requerida ]}

Se examinó cada una de las 10 redes para aislar aquellos puntos de origen particulares que manifestaban un poliedro único, además de poseer algún requisito mínimo de simetría. ^{[ cita requerida ]} Desde un punto de origen viable, dentro de una red, existe una serie ilimitada de poliedros. ^{[ cita requerida ]} Dado su intervalo de barrido adecuado, entonces existe una correspondencia biunívoca entre cada valor entero y un poliedro de Waterman generalizado. ^{[ cita requerida ]}

• Página de inicio de Steve Waterman
• Subprograma Java Waterman Polyhedra de Mark Newbold
• El artículo de Maurice Starck
• modelos hechos a mano por Magnus Wenninger
• Artículo de Paul Bourke
• Generador en línea de Paul Bourke
• Programa para hacer el poliedro de Waterman de Adrian Rossiter en Antiprism
• Proyección de Waterman y redacción de Carlos Furiti
• Globo giratorio de Izidor Hafner
• Vientos y temperaturas en tiempo real según la proyección Waterman de Cameron Beccario
• Terminación solar (Waterman) de Mike Bostock
• Mapa interactivo de mariposas de Waterman, por Jason Davies
• Artículo de Maurice Starck
• Los primeros 1000 cúmulos de esferas y poliedros de Waterman, obra de Nemo Thorx
• Secuencia OEIS A119870 (Número de vértices del poliedro de Waterman de raíz n)
• Poliedro Waterman de Steve Waterman (WP)
• Poliedro de Waterman generalizado de Ed Pegg Jr. de Wolfram
• Varios grupos de esferas de Waterman de Ed Pegg Jr. de Wolfram
• Aplicación para crear un poliedro Waterman 4D en Great Stella de Rob Webb
• La aplicación de poliedro Waterman en Matlab necesita una solución alternativa como se muestra en la siguiente página de referencia
• Poliedro de Waterman en Mupad