ecuación de onda

Un pulso que viaja a través de una cuerda con extremos fijos, modelado mediante la ecuación de onda.

Ondas esféricas provenientes de una fuente puntual.

Una solución a la ecuación de onda 2D

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe ondas o campos de ondas estacionarias, como ondas mecánicas (por ejemplo, ondas de agua , ondas sonoras y ondas sísmicas ) u ondas electromagnéticas (incluidas las ondas de luz ). Surge en campos como la acústica , el electromagnetismo y la dinámica de fluidos .

Este artículo se centra en las ondas en la física clásica . La física cuántica utiliza una ecuación de ondas basada en operadores, a menudo como una ecuación de ondas relativista .

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial hiperbólica que describe ondas, incluyendo ondas viajeras y estacionarias ; estas últimas pueden considerarse como superposiciones lineales de ondas que viajan en direcciones opuestas. Este artículo se centra principalmente en la ecuación de onda escalar, que describe ondas en escalares mediante funciones escalares de una variable temporal (una variable que representa el tiempo) y una o más variables espaciales (variables que representan una posición en el espacio en cuestión). Al mismo tiempo, existen ecuaciones de onda vectoriales que describen ondas en vectores , como ondas para un campo eléctrico, un campo magnético, un potencial vectorial magnético y ondas elásticas . En comparación con las ecuaciones de onda vectoriales, la ecuación de onda escalar puede considerarse un caso especial de las ecuaciones de onda vectoriales; en el sistema de coordenadas cartesianas , la ecuación de onda escalar es la ecuación que debe satisfacer cada componente (para cada eje de coordenadas, como la componente para el eje x ) de una onda vectorial sin fuentes de ondas en el dominio considerado (es decir, espacio y tiempo). Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas, para la representación de una onda de campo vectorial eléctrico en ausencia de fuentes de onda, cada componente del eje de coordenadas debe satisfacer la ecuación de onda escalar. Otras soluciones de la ecuación de onda escalar u se utilizan para magnitudes físicas en escalares , como la presión en un líquido o gas, o el desplazamiento a lo largo de una dirección específica de las partículas de un sólido vibrante con respecto a sus posiciones de reposo (equilibrio). ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle (E_ {x}, E_ {y}, E_ {z})}$${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle E_{i},i=x,y,z,}$

La ecuación de onda escalar es

dónde

• ${\displaystyle c}$es un coeficiente real fijo no negativo que representa la velocidad de propagación de la onda.
• ${\displaystyle u}$es un campo escalar que representa el desplazamiento o, más generalmente, la cantidad conservada (por ejemplo, presión o densidad ).
• ${\displaystyle x,y,}$y son las tres coordenadas espaciales y siendo la coordenada temporal.${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$

La ecuación establece que, en cualquier punto dado, la segunda derivada con respecto al tiempo es proporcional a la suma de las segundas derivadas con respecto al espacio, siendo la constante de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad de la onda. ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

Utilizando notaciones del cálculo vectorial , la ecuación de onda se puede escribir de forma compacta como o donde el doble subíndice denota la derivada parcial de segundo orden con respecto al tiempo, es el operador de Laplace y el operador de d'Alembert , definido como: $${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\Delta u,}$$$${\displaystyle \Box u=0,}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Box }$$${\displaystyle u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .}$$

La solución a esta ecuación de onda (bidireccional) puede ser bastante compleja. Sin embargo, puede analizarse como una combinación lineal de soluciones simples que son ondas planas sinusoidales con diversas direcciones de propagación y longitudes de onda, pero todas con la misma velocidad de propagación . Este análisis es posible porque la ecuación de onda es lineal y homogénea, de modo que cualquier múltiplo de una solución también es una solución, y la suma de dos soluciones cualesquiera también lo es. Esta propiedad se conoce como principio de superposición en física. ${\displaystyle c}$

La ecuación de onda por sí sola no especifica una solución física; generalmente se obtiene una solución única planteando el problema con condiciones adicionales, como condiciones iniciales , que prescriben la amplitud y la fase de la onda. Otra clase importante de problemas se presenta en espacios cerrados especificados por condiciones de contorno , para los cuales las soluciones representan ondas estacionarias o armónicos , análogos a los armónicos de los instrumentos musicales.

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede escribir de la siguiente manera: Esta ecuación se describe típicamente como si tuviera solo una dimensión espacial , porque la única otra variable independiente es el tiempo . $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

La ecuación de onda en una dimensión espacial puede derivarse en diversos contextos físicos. El ejemplo más conocido es el de una cuerda que vibra en un plano bidimensional, donde cada uno de sus elementos es estirado en direcciones opuestas por la fuerza de tensión . ^{[ 2 ]}

Otro marco físico para la derivación de la ecuación de onda en una dimensión espacial utiliza la ley de Hooke . En la teoría de la elasticidad , la ley de Hooke es una aproximación para ciertos materiales, que establece que la cantidad en que se deforma un cuerpo material (la deformación ) está relacionada linealmente con la fuerza que causa la deformación (la tensión ).

La ecuación de onda en el caso unidimensional se puede derivar de la ley de Hooke de la siguiente manera: imaginemos una matriz de pequeñas pesas de masa interconectadas con resortes sin masa de longitud ⁠ ⁠ . Los resortes tienen una constante elástica de ⁠ ⁠ : ${\displaystyle m}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

Aquí, la variable dependiente mide el desplazamiento horizontal desde el equilibrio de la masa situada en ⁠ ⁠ , de modo que esencialmente mide la magnitud de una perturbación (es decir, una deformación) que se propaga en un material elástico. La fuerza resultante ejercida sobre la masa en la ubicación es: ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x+h}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}}$$

Al igualar la última ecuación con $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}}$$

La ecuación de movimiento para el peso en la ubicación ⁠ ⁠${\displaystyle x+h}$ se obtiene: Si el conjunto de pesos consta de pesos espaciados uniformemente a lo largo de la longitud de la masa total ⁠ ⁠ , y la constante elástica total del conjunto ⁠ ⁠ , podemos escribir la ecuación anterior como $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle L=Nh}$${\displaystyle M=Nm}$${\displaystyle K=k/N}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.}$$

Tomando el límite y asumiendo suavidad, se obtiene lo cual es de la definición de una segunda derivada . es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular. ${\displaystyle N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$${\displaystyle KL^{2}/M}$

En el caso de un pulso de tensión que se propaga longitudinalmente a través de una barra, esta se comporta como un número infinito de resortes en serie y puede considerarse una extensión de la ecuación derivada para la ley de Hooke. Una barra uniforme, es decir, de sección transversal constante, hecha de un material elástico lineal, tiene una rigidez dada por donde es el área de la sección transversal y es el módulo de Young del material. La ecuación de onda se convierte en ${\displaystyle K}$$${\displaystyle K={\frac {EA}{L}},}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.}$$

${\displaystyle AL}$es igual al volumen de la barra, y por lo tanto donde es la densidad del material. La ecuación de onda se reduce a $${\displaystyle {\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},}$$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.}$$

Por lo tanto, la velocidad de una onda de tensión en una barra es . ${\displaystyle {\sqrt {E/\rho }}}$

Para la ecuación de onda unidimensional se puede encontrar una solución general relativamente simple. Definiendo nuevas variables ^{[ 3 ]} se transforma la ecuación de onda en lo que conduce a la solución general. $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,}$$$${\displaystyle u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).}$$

En otras palabras, la solución es la suma de una función que se desplaza hacia la derecha y una función que se desplaza hacia la izquierda . "Desplazarse" significa que la forma de estas funciones arbitrarias individuales con respecto a x permanece constante; sin embargo, las funciones se trasladan hacia la izquierda y hacia la derecha con el tiempo a la velocidad . Esto fue derivado por Jean le Rond d'Alembert . ^{[ 4 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c}$

Otra forma de llegar a este resultado es factorizar la ecuación de onda usando dos operadores diferenciales de primer orden: Entonces, para nuestra ecuación original, podemos definir y encontrar que debemos tener $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.}$$$${\displaystyle v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.}$$

Esta ecuación de advección se puede resolver interpretándola como que la derivada direccional de en la dirección es 0. Esto significa que el valor de es constante en líneas características de la forma x + ct = x ₀ , y por lo tanto que debe depender solo de x + ct , es decir, tener la forma H ( x + ct ) . Entonces, para resolver la primera ecuación (no homogénea) relacionada con u , podemos observar que su solución homogénea debe ser una función de la forma F ( x - ct ) , por una lógica similar a la anterior. Suponiendo una solución particular de la forma G ( x + ct ) , encontramos que ${\displaystyle v}$${\displaystyle (1,-c)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).}$$

Desarrollando el lado izquierdo, reorganizando los términos y luego usando el cambio de variables s = x + ct se simplifica la ecuación a

$${\displaystyle G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.}$$

Esto significa que podemos encontrar una solución particular G de la forma deseada mediante integración. Por lo tanto, hemos demostrado nuevamente que u obedece u ( x , t ) = F ( x - ct ) + G ( x + ct ) . ^{[ 5 ]}

Para un problema de valor inicial , las funciones arbitrarias F y G pueden determinarse para satisfacer las condiciones iniciales: $${\displaystyle u(x,0)=f(x),}$$$${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}$$

El resultado es la fórmula de d'Alembert : $${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.}$$

En el sentido clásico, si f ( x ) ∈ C ^k , y g ( x ) ∈ C ^{k −1} , entonces u ( t , x ) ∈ C ^k . Sin embargo, las formas de onda F y G también pueden ser funciones generalizadas , como la función delta. En ese caso, la solución puede interpretarse como un impulso que se propaga hacia la derecha o hacia la izquierda.

La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal , por lo que se rige por el principio de superposición . Esto significa que el desplazamiento neto causado por dos o más ondas es la suma de los desplazamientos que habría causado cada onda individualmente. Además, el comportamiento de una onda se puede analizar descomponiéndola en componentes; por ejemplo, la transformada de Fourier descompone una onda en componentes sinusoidales.

Otra forma de resolver la ecuación de onda unidimensional es analizar primero sus modos propios de frecuencia . Un modo propio es una solución que oscila en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida ω , de modo que la parte temporal de la función de onda toma la forma e ^{− iωt} = cos( ωt ) − i sin( ωt ) , y la amplitud es una función f ( x ) de la variable espacial x , lo que da una separación de variables para la función de onda: $${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).}$$

Esto produce una ecuación diferencial ordinaria para la parte espacial f ( x ) : $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).}$$

Por lo tanto, que es precisamente una ecuación de autovalores para f ( x ) , de ahí el nombre de modo propio. Conocida como la ecuación de Helmholtz , tiene las conocidas soluciones de onda plana con número de onda k = ω / c . $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),}$$$${\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx},}$$

La función de onda total para este modo propio es entonces la combinación lineal donde los números complejos A y B dependen en general de cualquier condición inicial y de contorno del problema. $${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},}$$

Los modos propios son útiles para construir una solución completa a la ecuación de onda, porque cada uno de ellos evoluciona en el tiempo trivialmente con el factor de fase, de modo que una solución completa puede descomponerse en una expansión de modos propios : o en términos de ondas planas, que es exactamente la misma forma que en el enfoque algebraico. Las funciones s _± ( ω ) se conocen como la componente de Fourier y están determinadas por las condiciones iniciales y de contorno. Este es un llamado método en el dominio de la frecuencia , alternativo a las propagaciones directas en el dominio del tiempo , como el método FDTD , del paquete de ondas u ( x ,  t ) , que es completo para representar ondas en ausencia de dilataciones del tiempo. La completitud de la expansión de Fourier para representar ondas en presencia de dilataciones del tiempo ha sido cuestionada por soluciones de ondas chirp que permiten la variación temporal de ω . ^{[ 6 ]} Las soluciones de ondas chirriantes parecen particularmente implicadas por residuos de radar muy grandes pero previamente inexplicables en la anomalía de sobrevuelo y difieren de las soluciones sinusoidales en que solo se pueden recibir a cualquier distancia en frecuencias y dilataciones de tiempo desplazadas proporcionalmente, que corresponden a estados chirriantes pasados ​​de la fuente. ${\displaystyle e^{-i\omega t},}$$${\displaystyle u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}}$$

La ecuación de onda vectorial (de la cual se puede derivar directamente la ecuación de onda escalar) se puede obtener aplicando un equilibrio de fuerzas a un elemento de volumen infinitesimal . Si el medio tiene un módulo de elasticidad homogéneo (es decir, independiente de ) dentro del elemento de volumen, entonces su tensor de tensiones viene dado por , para una deflexión elástica vectorial . El equilibrio local de: ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$

1. la fuerza de tensión debida a la deflexión y${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$
2. la fuerza de inercia causada por la aceleración local${\displaystyle \rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}}$${\displaystyle \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}}$

se puede escribir como${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .}$

Al combinar los módulos de densidad y elasticidad, se obtiene la velocidad del sonido (ley material). Tras la inserción, se obtiene la conocida ecuación de onda que rige un medio homogéneo: ^{[ 7 ]} (Nota: En lugar de una ecuación vectorial , solo se puede usar una escalar, es decir, las ondas viajan solo a lo largo del eje, y la ecuación de onda escalar se obtiene como .) ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle E,}$${\displaystyle c={\sqrt {E/\rho }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.}$$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),}$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

La ecuación diferencial parcial vectorial de segundo orden anterior proporciona dos soluciones mutuamente independientes. Del término de velocidad cuadrática se puede ver que hay dos ondas que viajan en direcciones opuestas y son posibles, de ahí la denominación "ecuación de onda bidireccional". Se puede demostrar que para la propagación de ondas longitudinales planas , la síntesis de dos ecuaciones de onda unidireccionales conduce a una ecuación de onda bidireccional general. Para una ecuación de onda bidireccional especial con el operador de d'Alembert se obtiene: ^{[ 8 ]} Para esto se simplifica a Por lo tanto, la ecuación de onda unidireccional vectorial de primer orden con ondas que viajan en una dirección de propagación predefinida resulta ^{[ 9 ]} como ${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle -c}$${\displaystyle \nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$${\displaystyle \nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$

La solución del problema de valor inicial para la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales se puede obtener a partir de la solución correspondiente para una onda esférica. Este resultado también se puede utilizar para obtener la misma solución en dos dimensiones espaciales.

Para obtener una solución con frecuencias constantes, aplique la transformada de Fourier , que transforma la ecuación de onda en una ecuación diferencial parcial elíptica de la forma: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,}$$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.}$$

Esta es la ecuación de Helmholtz y se puede resolver usando la separación de variables . En coordenadas esféricas, esto lleva a una separación de las variables radiales y angulares, escribiendo la solución como: ^{[ 10 ]} La parte angular de la solución toma la forma de armónicos esféricos y la función radial satisface: independiente de , con . Sustituyendo transforma la ecuación en que es la ecuación de Bessel . $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).}$$$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}}$$${\displaystyle f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),}$$$${\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,}$$

Consideremos el caso l = 0. Entonces no hay dependencia angular y la amplitud depende solo de la distancia radial, es decir, Ψ( r , t ) → u ( r , t ) . En este caso, la ecuación de onda se reduce a o $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.}$$

Esta ecuación puede reescribirse como donde la cantidad ru satisface la ecuación de onda unidimensional. Por lo tanto, hay soluciones de la forma donde F y G son soluciones generales de la ecuación de onda unidimensional y pueden interpretarse como ondas esféricas salientes y entrantes, respectivamente. La onda saliente puede ser generada por una fuente puntual , y hacen posibles señales agudas cuya forma se altera solo por una disminución en amplitud a medida que r aumenta (ver una ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha). Tales ondas existen solo en casos de espacio con dimensiones impares. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,}$$$${\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),}$$

Para ejemplos físicos de soluciones a la ecuación de onda 3D que poseen dependencia angular, consulte la radiación dipolar .

Aunque la palabra "monocromático" no es del todo precisa, ya que se refiere a la luz o radiación electromagnética con una frecuencia bien definida, la idea es descubrir el modo propio de la ecuación de onda en tres dimensiones. Siguiendo la derivación de la sección anterior sobre los modos propios de onda plana , si restringimos nuevamente nuestras soluciones a ondas esféricas que oscilan en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida ω , entonces la función transformada ru ( r , t ) tiene simplemente soluciones de onda plana: o $${\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},}$$$${\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.}$$

De esto podemos observar que la intensidad máxima de la oscilación de onda esférica, caracterizada como la amplitud de onda al cuadrado, ^cae a una tasa proporcional a 1/ r² , un ejemplo de la ley del inverso del cuadrado . $${\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},}$$

The wave equation is linear in u and is left unaltered by translations in space and time. Therefore, we can generate a great variety of solutions by translating and summing spherical waves. Let φ(ξ, η, ζ) be an arbitrary function of three independent variables, and let the spherical wave form F be a delta function. Let a family of spherical waves have center at (ξ, η, ζ), and let r be the radial distance from that point. Thus

$${\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.}$$

If u is a superposition of such waves with weighting function φ, then $${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;}$$ the denominator 4πc is a convenience.

From the definition of the delta function, u may also be written as $${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,}$$ where α, β, and γ are coordinates on the unit sphere S, and ω is the area element on S. This result has the interpretation that u(t, x) is t times the mean value of φ on a sphere of radius ct centered at x: $${\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].}$$

It follows that $${\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z).}$$

The mean value is an even function of t, and hence if $${\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},}$$ then $${\displaystyle v(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}$$

These formulas provide the solution for the initial-value problem for the wave equation. They show that the solution at a given point P, given (t, x, y, z) depends only on the data on the sphere of radius ct that is intersected by the light cone drawn backwards from P. It does not depend upon data on the interior of this sphere. Thus the interior of the sphere is a lacuna for the solution. This phenomenon is called Huygens' principle. It is only true for odd numbers of space dimension, where for one dimension the integration is performed over the boundary of an interval with respect to the Dirac measure.^[11][12]

In two space dimensions, the wave equation is

$${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}$$

We can use the three-dimensional theory to solve this problem if we regard u as a function in three dimensions that is independent of the third dimension. If

$${\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}$$

Entonces la fórmula de solución tridimensional se convierte en:

$${\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,}$$

donde α y β son las dos primeras coordenadas en la esfera unitaria, y d ω es el elemento de área en la esfera. Esta integral puede reescribirse como una integral doble sobre el disco D con centro ( x , y ) y radio ct :

$${\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .}$$

Es evidente que la solución en ( t , x , y ) depende no solo de los datos en el cono de luz donde , sino también de los datos que están dentro de ese cono. $${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}$$

Queremos encontrar soluciones para u _tt − Δ u = 0 para u  : R ⁿ × (0, ∞) → R con u ( x , 0) = g ( x ) y u _t ( x , 0) = h ( x ) . ^{[ 13 ]}

Supongamos que n ≥ 3 es un entero impar, y g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) para m = ( n + 1)/2 . Sea γ _n = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( n − 2) y sea

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]}$$

Entonces

• ${\displaystyle u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}}$,
• ${\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0}$en ,${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )}$
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})}$,
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$.

Supongamos que n ≥ 2 es un entero par y g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) , para m = ( n + 2)/2 . Sea γ _n = 2 × 4 × ⋯ × n y sea

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}$$

entonces

• u ∈ C ² ( R ⁿ × [0, ∞))
• u _tt − Δ u = 0 en R ⁿ × (0, ∞)
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})}$
• ${\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$

Consideremos la ecuación de onda no homogénea en dimensiones Al reescalar el tiempo, podemos establecer la velocidad de onda . ${\displaystyle 1+D}$$${\displaystyle (\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)}$$${\displaystyle c=1}$

Dado que la ecuación de onda tiene orden 2 en el tiempo, existen dos respuestas impulsionales : un impulso de aceleración y un impulso de velocidad. El efecto de aplicar un impulso de aceleración es cambiar repentinamente la velocidad de la onda . El efecto de aplicar un impulso de velocidad es cambiar repentinamente el desplazamiento de la onda . ${\displaystyle (\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)}$${\displaystyle \partial _{t}u}$${\displaystyle u}$

Para el impulso de aceleración, donde es la función delta de Dirac . La solución a este caso se denomina función de Green para la ecuación de onda. ${\displaystyle s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle G}$

Para el impulso de velocidad, , entonces si resolvemos la función de Green , la solución para este caso es simplemente . ${\displaystyle s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \partial _{t}G}$

El principal uso de las funciones de Green es resolver problemas de valor inicial mediante el principio de Duhamel , tanto para el caso homogéneo como para el no homogéneo.

Dada la función de Green y las condiciones iniciales , la solución a la ecuación de onda homogénea es ^{[ 14 ]} donde el asterisco es una convolución en el espacio. Más explícitamente, para el caso no homogéneo, la solución tiene un término adicional por convolución sobre el espaciotiempo :${\displaystyle G}$${\displaystyle u(0,x),\partial _{t}u(0,x)}$$${\displaystyle u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u}$$$${\displaystyle u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.}$$$${\displaystyle \iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.}$$

Mediante una transformada de Fourier , el término puede integrarse mediante el teorema de los residuos . Esto requeriría perturbar ligeramente la integral, ya sea por o por , porque es una integral impropia . Una perturbación da la solución hacia adelante y la otra la solución hacia atrás. ^{[ 15 ]} La solución hacia adelante da La integral puede resolverse continuando analíticamente el núcleo de Poisson , dando ^{[ 14 ] [ 16 ]} donde es la mitad del área superficial de una hiperesfera -dimensional . ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.}$$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle +i\epsilon }$${\displaystyle -i\epsilon }$$${\displaystyle G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.}$$$${\displaystyle G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}}$$$${\displaystyle C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)}$$${\displaystyle (D+1)}$

Podemos relacionar la función de Green en dimensiones con la función de Green en dimensiones (disminuir la dimensión es posible en cualquier caso, aumentarla es posible en simetría esférica). ^{[ 17 ]}${\displaystyle D}$${\displaystyle D+n}$

Dada una función y una solución de una ecuación diferencial en dimensiones, podemos extenderla trivialmente a dimensiones estableciendo que las dimensiones adicionales sean constantes: Dado que la función de Green se construye a partir de y , la función de Green en dimensiones se integra a la función de Green en dimensiones: ${\displaystyle s(t,x)}$${\displaystyle u(t,x)}$${\displaystyle (1+D)}$${\displaystyle (1+D+n)}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (1+D+n)}$${\displaystyle (1+D)}$$${\displaystyle G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.}$$

La función de Green en dimensiones se puede relacionar con la función de Green en dimensiones. Por simetría esférica, integrando en coordenadas polares, donde en la última igualdad hicimos el cambio de variables . Así, obtenemos la relación de recurrencia.${\displaystyle D}$${\displaystyle D+2}$$${\displaystyle G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.}$$$${\displaystyle G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',}$$${\displaystyle q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}}$$${\displaystyle G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).}$$

Cuando , el integrando en la transformada de Fourier es la función sinc donde es la función signo y es la función escalón unitario . ${\displaystyle D=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \operatorname {sgn} }$${\displaystyle \theta }$

La dimensión se puede elevar para dar el caso y de manera similar para la solución hacia atrás. Esto se puede integrar hacia abajo en una dimensión para dar el caso${\displaystyle D=3}$$${\displaystyle G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}}$$${\displaystyle D=2}$$${\displaystyle G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-{\sqrt {r^{2}+z^{2}}})}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}}$$

En este caso, la solución de la función de Green es la suma de dos frentes de onda que se mueven en direcciones opuestas. ${\displaystyle D=1}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}}$

En dimensiones impares, la solución directa es distinta de cero solo en . A medida que aumentan las dimensiones, la forma del frente de onda se vuelve cada vez más compleja, involucrando derivadas de orden superior de la función delta de Dirac. Por ejemplo, ^{[ 17 ]} donde , y se restaura la velocidad de la onda .${\displaystyle t=r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{5}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{4}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{3}}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \tau =t-r}$${\displaystyle c}$

En dimensiones pares, la solución directa es distinta de cero en , toda la región detrás del frente de onda se vuelve distinta de cero, llamada estela . La estela tiene la ecuación: ^{[ 17 ]} El frente de onda en sí también involucra derivadas cada vez más altas de la función delta de Dirac. ${\displaystyle r\leq t}$$${\displaystyle G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}}$$

Esto significa que un principio general de Huygens —el desplazamiento de la onda en un punto del espacio-tiempo depende únicamente del estado en los puntos por donde pasan los rayos característicos— solo se cumple en dimensiones impares. Una interpretación física es que las señales transmitidas por ondas permanecen sin distorsión en dimensiones impares, pero se distorsionan en dimensiones pares. ^{[ 18 ] : 698} ${\displaystyle (t,x)}$${\displaystyle (t,x)}$

La conjetura de Hadamard afirma que este principio generalizado de Huygens sigue siendo válido en todas las dimensiones impares, incluso cuando los coeficientes de la ecuación de onda ya no son constantes. No es estrictamente correcto, pero sí lo es para ciertas familias de coeficientes ^{[ 18 ] : 765}

Para una onda incidente que viaja de un medio (con velocidad c₁ ₎ a otro (con velocidad c₂ ), una parte de la onda se transmite al _segundo medio, mientras que la otra se refleja en sentido contrario y permanece en el primer medio. La amplitud de la onda transmitida y de la onda reflejada se puede calcular mediante la condición de continuidad en el límite.

Consideremos el componente de la onda incidente con una frecuencia angular de ω , que tiene la forma de onda En t = 0 , el incidente alcanza el límite entre los dos medios en x = 0. Por lo tanto, la onda reflejada correspondiente y la onda transmitida tendrán las formas de onda La condición de continuidad en el límite es Esto da las ecuaciones y tenemos la reflectividad y la transmisividad Cuando c ₂ < c ₁ , la onda reflejada tiene un cambio de fase de reflexión de 180°, ya que B / A < 0. La conservación de la energía se puede verificar mediante La discusión anterior es válida para cualquier componente, independientemente de su frecuencia angular de ω . $${\displaystyle u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).}$$$${\displaystyle A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,}$$$${\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.}$$

El caso límite de c ₂ = 0 corresponde a un "extremo fijo" que no se mueve, mientras que el caso límite de c ₂ → ∞ corresponde a un "extremo libre".

Una cuerda flexible que se estira entre dos puntos x = 0 y x = L satisface la ecuación de onda para t > 0 y 0 < x < L. En los puntos límite, u puede satisfacer diversas condiciones de contorno. Una forma general apropiada para aplicaciones es

$${\displaystyle {\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}}$$

donde a y b son no negativos. El caso en que se requiere que u se anule en un punto final (es decir, "extremo fijo") es el límite de esta condición cuando el respectivo a o b tiende a infinito. El método de separación de variables consiste en buscar soluciones de este problema en la forma especial $${\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}$$

Una consecuencia es que $${\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .}$$

El valor propio λ debe determinarse de manera que exista una solución no trivial del problema de contorno. $${\displaystyle {\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}}$$

Este es un caso particular del problema general de la teoría de Sturm-Liouville . Si a y b son positivos, los autovalores son todos positivos y las soluciones son funciones trigonométricas . Se puede obtener una solución que satisfaga las condiciones iniciales de cuadrado integrable para u y u _t mediante el desarrollo de estas funciones en la serie trigonométrica apropiada.

La teoría de valores iniciales y de contorno unidimensional puede extenderse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Consideremos un dominio D en un espacio x de m dimensiones , con frontera B. Entonces, la ecuación de onda debe satisfacerse si x está en D y t > 0. En la frontera de D , la solución u debe satisfacer

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,}$$

donde n es el vector normal unitario exterior a B , y a es una función no negativa definida en B. El caso en que u se anula en B es un caso límite para a que tiende a infinito. Las condiciones iniciales son

$${\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),}$$