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transformada wavelet

Un ejemplo de la transformada wavelet discreta 2D que se utiliza en JPEG2000. En matemáticas , una serie de ondículas es una representación de una función de cuadrado integrable...

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Un ejemplo de la transformada wavelet discreta 2D que se utiliza en JPEG2000.

En matemáticas , una serie de ondículas es una representación de una función de cuadrado integrable ( con valores reales o complejos ) mediante una serie ortonormal generada por una ondícula . Este artículo proporciona una definición formal y matemática de una ondícula ortonormal y de la transformada integral de ondículas . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

Definición

Una funciónψ∈L2(R){\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}Se denomina wavelet ortonormal si puede utilizarse para definir una base de Hilbert , es decir, un sistema ortonormal completo para el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en la recta real.

La base de Hilbert se construye como la familia de funciones{ψjk:j,k∈Z}{\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}mediante traducciones y dilataciones diádicas deψ{\displaystyle \psi \,}, ψjk(incógnita)=2j2ψ(2jincógnita−k),{\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk\right),} para números enterosj,k∈Z{\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }.

Si, bajo el producto interno estándar enL2(R){\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}, ⟨F,gramo⟩=∫−∞∞F(incógnita)gramo(incógnita)¯dincógnita,{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx,} Esta familia es ortonormal, entonces es un sistema ortonormal: ⟨ψjk,ψlmetro⟩=∫−∞∞ψjk(incógnita)ψlmetro(incógnita)¯dincógnita,=δjlδkmetro,{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx,\\&=\delta _{jl}\delta _{km},\end{aligned}}} dóndeδjl{\displaystyle \delta _{jl}\,}es el delta de Kronecker .

La completitud se satisface si cada funciónF∈L2(R){\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}puede ampliarse en la base como

F(incógnita)=∑j,k=−∞∞dojkψjk(incógnita){\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}

donde la convergencia de la serie se entiende como convergencia en norma . Tal representación deF{\displaystyle f}se conoce como una serie de ondículas . Esto implica que una ondícula ortonormal es autodual .

La transformada wavelet integral es la transformada integral definida como [WψF](a,b)=1|a|∫−∞∞ψ(incógnita−ba)¯F(incógnita)dincógnita{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {xb}{a}}\right)}}f(x)dx\,} Los coeficientes de ondículadojk{\displaystyle c_{jk}}son dados entonces por dojk=[WψF](2−j,k2−j){\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}

Aquí,a=2−j{\displaystyle a=2^{-j}}se denomina dilatación binaria o dilatación diádica , yb=k2−j{\displaystyle b=k2^{-j}}es la posición binaria o diádica .

Principio

La idea fundamental de las transformadas wavelet es que la transformación debe permitir solo cambios en la extensión temporal, pero no en la forma, imponiendo una restricción en la elección de funciones base adecuadas. Se espera que los cambios en la extensión temporal se ajusten a la frecuencia de análisis correspondiente de la función base. Basado en el principio de incertidumbre del procesamiento de señales,

ΔtΔω≥12{\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}

dóndet{\displaystyle t}representa el tiempo yω{\displaystyle \omega }frecuencia angular (ω=2πF{\displaystyle \omega =2\pi f}, dóndeF{\displaystyle f}es frecuencia ordinaria ).

Cuanto mayor sea la resolución requerida en el tiempo, menor deberá ser la resolución en la frecuencia. Cuanto mayor sea la extensión de las ventanas de análisis elegida, mayor será el valor deΔt{\displaystyle \Delta t}.

CuandoΔt{\displaystyle \Delta t}es grande

  1. mala resolución de tiempo
  2. Buena resolución de frecuencia
  3. Baja frecuencia, gran factor de escala

CuandoΔt{\displaystyle \Delta t}es pequeño

  1. Buena resolución de tiempo
  2. mala resolución de frecuencia
  3. Alta frecuencia, factor de escala pequeño

En otras palabras, la función baseψ{\displaystyle \psi }puede considerarse como una respuesta impulsional de un sistema con el cual la funciónincógnita(t){\displaystyle x(t)}Se ha filtrado. La señal transformada proporciona información sobre el tiempo y la frecuencia. Por lo tanto, la transformada wavelet contiene información similar a la transformada de Fourier de tiempo corto , pero con propiedades especiales adicionales de las wavelets, que se muestran en la resolución temporal a frecuencias de análisis más altas de la función base. La diferencia en la resolución temporal a frecuencias ascendentes para la transformada de Fourier y la transformada wavelet se muestra a continuación. Sin embargo, observe que la resolución de frecuencia disminuye a medida que aumentan las frecuencias, mientras que la resolución temporal aumenta. Esta consecuencia del principio de incertidumbre de Fourier no se muestra correctamente en la figura.

Esto demuestra que la transformada wavelet es buena en la resolución temporal de altas frecuencias, mientras que para funciones que varían lentamente, la resolución de frecuencia es notable.

Otro ejemplo: El análisis de tres señales sinusoidales superpuestasy(t)=pecado⁡(2πF0t)+pecado⁡(4πF0t)+pecado⁡(8πF0t){\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}con STFT y transformada wavelet.

compresión wavelet

La compresión wavelet es una forma de compresión de datos muy adecuada para la compresión de imágenes (a veces también para la compresión de vídeo y audio ). Algunas implementaciones destacadas son JPEG 2000 , DjVu y ECW para imágenes fijas, JPEG XS , CineForm y Dirac de la BBC . El objetivo es almacenar los datos de la imagen en el menor espacio posible en un archivo . La compresión wavelet puede ser sin pérdidas o con pérdidas . [ 5 ]

Método

Primero se aplica una transformada wavelet. Esto produce tantos coeficientes como píxeles haya en la imagen (es decir, aún no hay compresión, ya que solo es una transformada). Estos coeficientes se pueden comprimir más fácilmente porque la información se concentra estadísticamente en unos pocos. Este principio se denomina codificación por transformada . Después, los coeficientes se cuantifican y los valores cuantificados se codifican mediante entropía y/o codificación de longitud de ejecución .

Algunas aplicaciones unidimensionales y bidimensionales de compresión de ondículas utilizan una técnica denominada "huellas de ondículas". [ 6 ] [ 7 ]

Evaluación

Requisito para la compresión de imágenes

Para la mayoría de las imágenes naturales, la densidad espectral de baja frecuencia es mayor. [ 8 ] Como resultado, la información de la señal de baja frecuencia (señal de referencia) generalmente se conserva, mientras que la información de la señal de detalle se descarta. Desde la perspectiva de la compresión y reconstrucción de imágenes, una ondícula debe cumplir los siguientes criterios al realizar la compresión de imágenes:

  • Ser capaz de transformar una mayor parte de la imagen original en la señal de referencia.
  • Reconstrucción de máxima fidelidad basada en la señal de referencia.
  • No debería generar artefactos en la imagen reconstruida a partir únicamente de la señal de referencia.

Requisito para la variación de turnos y el comportamiento de timbre

El sistema de compresión de imágenes mediante ondículas utiliza filtros y diezmado, por lo que puede describirse como un sistema lineal con variación de desplazamiento. A continuación se muestra un diagrama típico de la transformación de ondículas:

El sistema de transformación contiene dos filtros de análisis (un filtro de paso bajo)h0(norte){\displaystyle h_{0}(n)}y un filtro de paso altoh1(norte){\displaystyle h_{1}(n)}), un proceso de diezmado, un proceso de interpolación y dos filtros de síntesis (gramo0(norte){\displaystyle g_{0}(n)}ygramo1(norte){\displaystyle g_{1}(n)}). El sistema de compresión y reconstrucción generalmente involucra componentes de baja frecuencia, que son los filtros de análisis.h0(norte){\displaystyle h_{0}(n)}para la compresión de imágenes y los filtros de síntesisgramo0(norte){\displaystyle g_{0}(n)}para la reconstrucción. Para evaluar dicho sistema, podemos introducir un impulso.δ(norte−nortei){\displaystyle \delta (n-n_{i})}y observar su reconstrucciónh(norte−nortei){\displaystyle h(n-n_{i})}; Las ondículas óptimas son aquellas que aportan una varianza de desplazamiento y un lóbulo lateral mínimos.h(norte−nortei){\displaystyle h(n-n_{i})}Aunque una ondícula con una varianza de desplazamiento estricta no es realista, es posible seleccionar una ondícula con una varianza de desplazamiento leve. Por ejemplo, podemos comparar la varianza de desplazamiento de dos filtros: [ 9 ]

Al observar las respuestas impulsionales de los dos filtros, podemos concluir que el segundo filtro es menos sensible a la ubicación de la entrada (es decir, es menos variable con respecto al desplazamiento).

Otro aspecto importante para la compresión y reconstrucción de imágenes es el comportamiento oscilatorio del sistema, que puede generar graves artefactos indeseados en la imagen reconstruida. Para evitarlo, los filtros wavelet deben tener una elevada relación pico-lóbulo lateral.

Hasta ahora hemos hablado de la transformación unidimensional del sistema de compresión de imágenes. Este tema puede extenderse a dos dimensiones, y se propone un término más general: transformaciones multiescala desplazables. [ 10 ]

Derivación de la respuesta impulsional

Como se mencionó anteriormente, la respuesta impulsional se puede utilizar para evaluar el sistema de compresión/reconstrucción de imágenes.

Para la secuencia de entradaincógnita(norte)=δ(norte−nortei){\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}, la señal de referenciar1(norte){\displaystyle r_{1}(n)}después de un nivel de descomposición esincógnita(norte)∗h0(norte){\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}sufre una diezma por un factor de dos, mientras queh0(norte){\displaystyle h_{0}(n)}es un filtro de paso bajo. De manera similar, la siguiente señal de referenciar2(norte){\displaystyle r_{2}(n)}se obtiene porr1(norte)∗h0(norte){\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}pasa por una diezma por un factor de dos. Después de L niveles de descomposición (y diezma), la respuesta del análisis se obtiene al retener uno de cada2L{\displaystyle 2^{L}}muestras:hA(L)(norte,nortei)=Fh0(L)(norte−nortei/2L){\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}.

Por otro lado, para reconstruir la señal x(n), podemos considerar una señal de referencia.rL(norte)=δ(norte−nortej){\ Displaystyle r_ {L} (n) = \ delta (n-n_ {j})}. Si las señales de detalledi(norte){\displaystyle d_{i}(n)}son iguales a cero para1≤i≤L{\displaystyle 1\leq i\leq L}, luego la señal de referencia en la etapa anterior (L−1{\displaystyle L-1}etapa) esrL−1(norte)=gramo0(norte−2nortej){\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}, que se obtiene mediante interpolaciónrL(norte){\displaystyle r_{L}(n)}y enredándose congramo0(norte){\displaystyle g_{0}(n)}De manera similar, el procedimiento se repite para obtener la señal de referencia.r(norte){\displaystyle r(n)}en el escenarioL−2,L−3,....,1{\displaystyle L-2,L-3,....,1}Después de L iteraciones, se calcula la respuesta impulsional de síntesis:hs(L)(norte,nortei)=Fgramo0(L)(norte/2L−nortej){\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}, que relaciona la señal de referenciarL(norte){\displaystyle r_{L}(n)}y la señal reconstruida.

Para obtener el sistema global de análisis/síntesis de nivel L, las respuestas de análisis y síntesis se combinan como se indica a continuación:

hAS(L)(norte,nortei)=∑kFh0(L)(k−nortei/2L)Fgramo0(L)(norte/2L−k){\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}.

Finalmente, la relación entre el pico y el primer lóbulo lateral y el segundo lóbulo lateral promedio de la respuesta impulsional general.hAS(L)(norte,nortei){\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}Puede utilizarse para evaluar el rendimiento de la compresión de imágenes mediante ondículas.

Mediante la transformada wavelet, los métodos de compresión wavelet son adecuados para representar transitorios , como sonidos de percusión en audio o componentes de alta frecuencia en imágenes bidimensionales, por ejemplo, una imagen de estrellas en el cielo nocturno. Esto significa que los elementos transitorios de una señal de datos pueden representarse con una menor cantidad de información que si se hubiera utilizado otra transformada, como la transformada discreta del coseno , más extendida.

Limitaciones

Si bien las transformadas wavelet ofrecen ventajas teóricas, sus limitaciones prácticas han restringido la compresión wavelet al análisis de cambios localizados y señales transitorias. A pesar de décadas de investigación, los sistemas de compresión basados ​​en wavelet para multimedia común como audio y video no igualan de forma consistente la eficiencia y la calidad perceptiva de los sistemas actuales basados ​​en la transformada discreta del coseno . [ 11 ]

Para datos unidimensionales como audio o ECG, las ondículas son excelentes para representar y comprimir señales transitorias: eventos repentinos y aislados como un golpe de tambor en la música o los picos agudos en un ritmo cardíaco. Por ejemplo, la transformada discreta de ondículas se ha aplicado con éxito para la compresión de señales de electrocardiograma (ECG). [ 12 ] Sin embargo, para señales suaves y periódicas, que constituyen gran parte del audio típico, el análisis armónico en el dominio de la frecuencia con transformadas relacionadas con Fourier logra una mejor compresión y calidad de sonido . La compresión de datos que tienen características tanto transitorias como periódicas se puede realizar con técnicas híbridas que utilizan ondículas junto con el análisis armónico tradicional. Por ejemplo, el códec de audio Vorbis utiliza principalmente la transformada discreta del coseno modificada para comprimir audio (que generalmente es suave y periódico), pero permite la adición de un banco de filtros de ondículas híbrido para una mejor reproducción de transitorios. [ 13 ]

Para datos de dimensiones superiores, la compresión mediante ondículas presenta desafíos significativos. En vídeo, por ejemplo, las técnicas de compresión modernas, como la codificación intra y la compensación de movimiento (que predice partes de una imagen en función de lo que está a su lado espacial y temporalmente), y los tamaños de bloque mixtos y dinámicos, se vuelven increíblemente complejos con las ondículas debido a su naturaleza superpuesta. Esta complejidad se traduce en mayor potencia de procesamiento y menor velocidad, lo que las hace menos prácticas para un uso generalizado. Además, si bien las ondículas pueden obtener buenos resultados en medidas tradicionales como PSNR , los bloques DCT crean una percepción de nitidez de la que a menudo carecen las ondículas, lo que requiere tasas de bits más altas para lograr una calidad subjetiva similar. [ 11 ]

Comparación con la transformada de Fourier y el análisis tiempo-frecuencia

Las ondículas ofrecen algunas ventajas sobre las transformadas de Fourier en la reducción de cálculos al examinar frecuencias específicas. Sin embargo, rara vez son más sensibles, y de hecho, la ondícula de Morlet común es matemáticamente idéntica a una transformada de Fourier de tiempo corto que utiliza una función de ventana gaussiana. [ 14 ] La excepción se da al buscar señales con una forma conocida y no sinusoidal (por ejemplo, latidos cardíacos); en ese caso, el uso de ondículas coincidentes puede superar los análisis STFT/Morlet estándar. [ 15 ]

Otras aplicaciones prácticas

La transformada wavelet nos permite obtener la frecuencia de las señales y el tiempo asociado a dichas frecuencias, lo que la hace muy conveniente para su aplicación en numerosos campos. Por ejemplo, el procesamiento de señales de aceleraciones para el análisis de la marcha, [ 16 ] para la detección de fallas, [ 17 ] para el análisis de desplazamientos estacionales de deslizamientos de tierra, [ 18 ] para el diseño de marcapasos de baja potencia y también en comunicaciones inalámbricas de banda ultraancha (UWB). [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]

  1. Discretización de lado−τ{\displaystyle c-\tau }Se aplicó la siguiente discretización de frecuencia y tiempo:
    donorte=do0norteτmetro=metro⋅T⋅do0norte{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}

    Lo que da lugar a ondículas de la forma, la fórmula discreta para la ondícula base:

    Ψ(k,norte,metro)=1do0norte⋅Ψ[k−metrodo0nortedo0norteT]=1do0norte⋅Ψ[(kdo0norte−metro)T]{\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}

    Estas ondículas discretas pueden utilizarse para la transformación:

    YDW(norte,metro)=1do0norte⋅∑k=0K−1y(k)⋅Ψ[(kdo0norte−metro)T]{\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}
  2. Implementación mediante la transformada rápida de Fourier (FFT), como se observa en la representación de la transformada wavelet (que se muestra a continuación).
    YW(do,τ)=1do⋅∫−∞∞y(t)⋅Ψ(t−τdo)dt{\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}

    dóndedo{\displaystyle c}es factor de escala,τ{\displaystyle \tau }representa el factor de desplazamiento temporal

    y como ya se mencionó en este contexto, la transformada wavelet corresponde a una convolución de una funcióny(t){\displaystyle y(t)}y una función wavelet. Una convolución puede implementarse como una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Con esto, el siguiente enfoque de implementación da como resultado:

    • Transformada de Fourier de la señaly(k){\displaystyle y(k)}con la FFT
    • Selección de un factor de escala discretodonorte{\displaystyle c_{n}}
    • Escalado de la función base de la ondícula por este factor.donorte{\displaystyle c_{n}}y la FFT subsiguiente de esta función
    • Multiplicación con la señal transformada YFFT del primer paso
    • La transformación inversa del producto al dominio del tiempo da como resultado:YW(do,τ){\displaystyle Y_{W}(c,\tau )}para diferentes valores discretos deτ{\displaystyle \tau }y un valor discreto dedonorte{\displaystyle c_{n}}
    • Volver al segundo paso, hasta que todos los valores de escala discretos paradonorte{\displaystyle c_{n}}se procesan
    Existen muchos tipos diferentes de transformadas wavelet para fines específicos. Consulte también la lista completa de transformadas wavelet, pero las más comunes se enumeran a continuación: wavelet de sombrero mexicano , wavelet de Haar , wavelet de Daubechies , wavelet triangular.
  3. Detección de fallas en sistemas de energía eléctrica. [ 22 ]
  4. Estimación estadística adaptativa local de funciones cuya suavidad varía sustancialmente en el dominio, o más específicamente, estimación de funciones que son dispersas en el dominio de la ondícula. [ 23 ]

ondículas causales en el tiempo

Para procesar señales temporales en tiempo real, es fundamental que los filtros wavelet no accedan a valores de señal futuros y que se puedan obtener latencias temporales mínimas. Szu et al. [ 24 ] y Lindeberg [ 25 ] desarrollaron representaciones wavelet causales temporales , y este último método también incluye una implementación recursiva temporal con uso eficiente de memoria.

Transformación sincrocomprimida

La transformada sincro-comprimida puede mejorar significativamente la resolución temporal y de frecuencia de la representación tiempo-frecuencia obtenida mediante la transformada wavelet convencional. [ 26 ] [ 27 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Meyer, Yves (1992), Wavelets and Operators, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8
  2. ↑ Chui, Charles K. (1992), Introducción a las ondículas, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8
  3. ↑ Daubechies, Ingrid. (1992), Diez conferencias sobre ondículas, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2
  4. ↑ Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992), Descomposición de señales multirresolución: transformadas, subbandas y ondículas, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
  5. ↑ JPEG 2000 , por ejemplo, puede usar una ondícula 5/3 para la transformación sin pérdidas (reversible) y una ondícula 9/7 para la transformación con pérdidas (irreversible).
  6. ↑ N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman y VV Dinesh Chander. "Un nuevo e innovador algoritmo de compresión de imágenes mediante huellas wavelet"
  7. ↑ Ho Tatt Wei y Jeoti, V. "Un esquema de compresión basado en huellas de ondículas para señales de ECG". Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). "Un esquema de compresión basado en huellas de ondículas para señales de ECG". Conferencia IEEE Región 10 TENCON 2004. Vol. A. pág. 283. doi : 10.1109/TENCON.2004.1414412 . ISBN   0-7803-8560-8. S2CID 43806122 . 
  8. ↑ J. Field, David (1987). "Relaciones entre las estadísticas de imágenes naturales y las propiedades de respuesta de las células corticales" (PDF) . J. Opt. Soc. Am. A. 4 ( 12): 2379– 2394. Bibcode : 1987JOSAA...4.2379F . doi : 10.1364/JOSAA.4.002379 . PMID 3430225 . 
  9. ↑ Villasenor, John D. (agosto de 1995). "Evaluación de filtros wavelet para compresión de imágenes". IEEE Transactions on Image Processing . 4 (8): 1053– 60. Bibcode : 1995ITIP....4.1053V . doi : 10.1109/83.403412 . PMID 18291999 . 
  10. ^ Simoncelli, EP; Freeman, peso; Adelson, EH; Heeger, DJ (1992). "Transformaciones multiescala desplazables". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 38 (2): 587– 607. doi : 10.1109/18.119725 . S2CID 43701174 . 
  11. 1 2 Garrett-Glaser, Jason (2 de febrero de 2010). "Los problemas con las ondículas" . Diario de un desarrollador x264 . Archivado del original el 28 de febrero de 2010.
  12. ↑ Ramakrishnan, AG; Saha, S. (1997). "Codificación de ECG mediante predicción lineal basada en ondículas" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 44 (12): 1253– 1261. doi : 10.1109/10.649997 . PMID 9401225. S2CID 8834327 .  
  13. ↑ "Especificación Vorbis I" . Fundación Xiph.Org . 4 de julio de 2020. Archivado del original el 3 de abril de 2022. Recuperado el 10 de abril de 2022. Vorbis I es un códec de transformación monolítica adaptativa hacia adelante basado en la Transformada Coseno Discreta Modificada. El códec está estructurado para permitir la adición de un banco de filtros de ondículas híbrido en Vorbis II para ofrecer una mejor respuesta y reproducción transitoria utilizando una transformación más adecuada para eventos temporales localizados.
  14. ↑ Bruns, Andreas (2004). "Análisis de señales basado en Fourier, Hilbert y wavelet: ¿son realmente enfoques diferentes?". Journal of Neuroscience Methods . 137 (2): 321– 332. doi : 10.1016/j.jneumeth.2004.03.002 . PMID 15262077. S2CID 21880274 .  
  15. ↑ Krantz, Steven G. (1999). Un panorama del análisis armónico . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-031-1.
  16. ↑ Martin, E. (2011). «Método novedoso para la estimación de la longitud de la zancada con acelerómetros de red de área corporal». 2011 IEEE Topical Conference on Biomedical Wireless Technologies, Networks, and Sensing Systems . pp. 79–82 . doi : 10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356 . ISBN  978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047 . 
  17. ↑ Liu, Jie (2012). "Análisis del espectro de ondículas de Shannon en señales de vibración truncadas para la detección de fallas incipientes en máquinas". Measurement Science and Technology . 23 (5): 1– 11. Bibcode : 2012MeScT..23e5604L . doi : 10.1088/0957-0233/23/5/055604 . S2CID 121684952 . 
  18. ↑ Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (1 de junio de 2016). "Uso de herramientas wavelet para analizar variaciones estacionales a partir de datos de series temporales InSAR: un estudio de caso del deslizamiento de Huangtupo" . Landslides . 13 (3): 437– 450. Bibcode : 2016Lands..13..437T . doi : 10.1007/s10346-015-0589-y . hdl : 10045/62160 . ISSN 1612-5118 . 
  19. ↑ Akansu, AN; Serdijn, WA; Selesnick, IW (2010). "Aplicaciones emergentes de las ondículas: una revisión" (PDF) . Physical Communication . 3 : 1–18 . doi : 10.1016/j.phycom.2009.07.001 .
  20. ↑ Sheybani, E.; Javidi, G. (diciembre de 2009). «Reducción de dimensionalidad y eliminación de ruido en conjuntos de datos de redes de sensores inalámbricos». Segunda Conferencia Internacional de Ingeniería Informática y Eléctrica de 2009. Vol. 2. págs. 674–677 . doi : 10.1109/ICCEE.2009.282 . ISBN   978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179 . 
  21. ↑ Sheybani, EO; Javidi, G. (mayo de 2012). «Bancos de filtros multirresolución para imágenes SAR mejoradas». Conferencia Internacional de Sistemas e Informática de 2012 (ICSAI2012) . págs. 2702–2706 . doi : 10.1109/ICSAI.2012.6223611 . ISBN  978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915 . 
  22. ↑ Silva, KM; Souza, BA; Brito, NSD (octubre de 2006). "Detección y clasificación de fallas en líneas de transmisión basadas en la transformada wavelet y ANN". IEEE Transactions on Power Delivery . 21 (4): 2058– 2063. Bibcode : 2006ITPD...21.2058S . doi : 10.1109/TPWRD.2006.876659 . S2CID 36881450 . 
  23. ↑ Wasserman, LA (2005). Toda la estadística no paramétrica .
  24. ↑ Szu, Harold H.; Telfer, Brian A.; Lohmann, Adolf W. (1992). "Transformada wavelet analítica causal". Optical Engineering . 31 (9): 1825. Bibcode : 1992OptEn..31.1825S . doi : 10.1117/12.59911 .
  25. ↑ Lindeberg, T. (23 de enero de 2023). "Una representación de espacio de escala covariante de escala, causal y recursiva en el tiempo, de señales temporales y tiempo pasado" . Cibernética Biológica . 117 ( 1–2 ): 21–59 . doi : 10.1007/s00422-022-00953-6 . PMC 10160219. PMID 36689001 .  
  26. ↑ Daubechies, Ingrid; Lu, Jianfeng; Wu, Hau-Tieng (12 de diciembre de 2009). "Transformadas wavelet sincrónicas comprimidas: una herramienta para la descomposición empírica de modos". arXiv : 0912.2437 [ math.NA ].
  27. ↑ Qu, Hongya; Li, Tiantian; Chen, Genda (1 de enero de 2019). "Transformada wavelet adaptativa sincrónicamente comprimida con parámetros óptimos para series temporales arbitrarias" . Mechanical Systems and Signal Processing . 114 : 366–377 . Bibcode : 2019MSSP..114..366Q . doi : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID 126007150 . 
  • Amara Graps (junio de 1995). "Una introducción a las ondículas" . IEEE Computational Science and Engineering . 2 (2): 50– 61. doi : 10.1109/99.388960 .
  • Robi Polikar (12 de enero de 2001). "El tutorial de ondículas" .
  • Introducción concisa a las ondículas por René Puschinger
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