Límite de estabilidad débil

El límite de estabilidad débil (WSB, por sus siglas en inglés), que incluye la transferencia de baja energía , es un concepto introducido por Edward Belbruno en 1987. Este concepto explicaba cómo una nave espacial podía cambiar de órbita utilizando muy poco combustible.

Se define un límite de estabilidad débil para el problema de los tres cuerpos . Este problema considera el movimiento de una partícula P de masa despreciable que se mueve con respecto a dos cuerpos más grandes, P1 y P2, modelados como masas puntuales, donde estos cuerpos se mueven en órbitas circulares o elípticas entre sí, y P2 es más pequeño que P1. ^{[ 1 ]}

La fuerza entre los tres cuerpos es la fuerza gravitatoria newtoniana clásica . Por ejemplo, P1 es la Tierra, P2 es la Luna y P es una nave espacial; o P1 es el Sol, P2 es Júpiter y P es un cometa, etc. Este modelo se denomina problema restringido de tres cuerpos . ^{[ 1 ]} El límite de estabilidad débil define una región alrededor de P2 donde P es capturado temporalmente. Esta región se encuentra en el espacio posición-velocidad. La captura significa que la energía de Kepler entre P y P2 es negativa. Esto también se denomina captura débil. ^{[ 1 ]}

Este límite fue definido por primera vez por Edward Belbruno de la Universidad de Princeton en 1987. ^{[ 2 ]} Describió una transferencia de baja energía que permitiría a una nave espacial cambiar de órbita utilizando muy poco combustible. Era para el movimiento alrededor de la Luna (P2) con P1 = Tierra. Se define algorítmicamente monitoreando el movimiento cíclico de P alrededor de la Luna y encontrando la región donde el movimiento cíclico transita entre estable e inestable después de un ciclo. El movimiento estable significa que P puede completar un ciclo alrededor de la Luna en relación con una sección de referencia, comenzando en captura débil. P necesita regresar a la sección de referencia con energía Kepler negativa . De lo contrario, el movimiento se llama inestable , donde P no regresa a la sección de referencia dentro de un ciclo o, si regresa, tiene energía Kepler no negativa. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

El conjunto de todos los puntos de transición alrededor de la Luna comprende el límite de estabilidad débil, W. El movimiento de P es sensible o caótico al moverse alrededor de la Luna dentro de W. En 2004 se presentó una prueba matemática de que el movimiento dentro de W es caótico. ^{[ 1 ]} Esto se logra demostrando que el conjunto W alrededor de un cuerpo arbitrario P2 en el problema restringido de tres cuerpos contiene un conjunto invariante hiperbólico de dimensión fraccionaria que consiste en las infinitas intersecciones de variedades hiperbólicas . ^{[ 1 ]}

El límite de estabilidad débil se denominó originalmente límite difuso . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Este término se utilizó debido a que la transición entre captura y escape definida en el algoritmo no está bien definida y está limitada por la precisión numérica. Esto define una ubicación "difusa" para los puntos de transición. También se debe al caos inherente en el movimiento de P cerca de los puntos de transición. Puede considerarse como una región de caos difuso. Como se describe en un artículo de la revista Discover , el WSB puede verse aproximadamente como el borde difuso de una región, denominada pozo gravitatorio , alrededor de un cuerpo (la Luna), donde su fuerza de gravedad se vuelve lo suficientemente pequeña como para ser dominada por la fuerza de gravedad de otro cuerpo (la Tierra) y el movimiento allí es caótico. ^{[ 3 ]}

Un algoritmo mucho más general que define W fue dado en 2007. ^{[ 5 ]} Define W en relación con n -ciclos, donde n = 1,2,3,..., produciendo límites de orden n. Esto da una región mucho más compleja que consiste en la unión de todos los límites de estabilidad débil de orden n. Esta definición fue explorada más a fondo en 2010. ^{[ 6 ]} Los resultados sugirieron que W consiste, en parte, en la red hiperbólica de variedades invariantes asociadas a las órbitas de Lyapunov alrededor de los puntos de Lagrange L1, L2 cerca de P2. La determinación explícita del conjunto W alrededor de P2 = Júpiter, donde P1 es el Sol, se describe en "Cálculo de límites de estabilidad débil: caso Sol-Júpiter". ^{[ 7 ]} Resulta que una región de estabilidad débil también puede definirse en relación con el punto de masa mayor, P1. Una prueba de la existencia del límite de estabilidad débil alrededor de P1 fue dada en 2012, ^{[ 8 ]} pero se utiliza una definición diferente. El caos del movimiento se demuestra analíticamente en "Geometría de los límites de estabilidad débil". ^{[ 8 ]} El límite se estudia en "Aplicabilidad y caracterización dinámica de los conjuntos asociados del límite de estabilidad débil algorítmico en la esfera de influencia lunar". ^{[ 9 ]}

Existen varias aplicaciones importantes para el límite de estabilidad débil (WSB). Dado que el WSB define una región de captura temporal, puede utilizarse, por ejemplo, para encontrar trayectorias de transferencia de la Tierra a la Luna que lleguen a la Luna dentro de la región WSB en captura débil, lo que se denomina captura balística para una nave espacial. En este caso, no se requiere combustible para la captura. Esto se demostró numéricamente en 1987. ^{[ 2 ]} Esta es la primera referencia para la captura balística para naves espaciales y la definición del límite de estabilidad débil. La existencia del límite se demostró operacionalmente en 1991 cuando se utilizó para encontrar una transferencia de captura balística a la Luna para la nave espacial japonesa Hiten . ^{[ 10 ]} Otras misiones han utilizado el mismo tipo de transferencia que Hiten , incluidas Grail , Capstone , Danuri , la Misión 1 de Hakuto-R y SLIM . El WSB para Marte se estudia en "Transferencias Tierra-Marte con captura balística" ^{[ 11 ]} y se calculan las transferencias de captura balística a Marte. La misión BepiColombo de la ESA debería lograr la captura balística en la órbita terrestre baja de Mercurio en noviembre de 2026.

La región WSB se puede utilizar en el campo de la astrofísica . Se puede definir para estrellas dentro de cúmulos estelares abiertos . Esto se hace en "Intercambio caótico de material sólido entre sistemas planetarios: implicaciones para la hipótesis de la litopanspermia " ^{[ 12 ]} para analizar la captura de material sólido que pudo haber llegado a la Tierra en las primeras etapas del Sistema Solar y estudiar la validez de la hipótesis de la litopanspermia .

Exploraciones numéricas de trayectorias para P comenzando en la región WSB alrededor de P2 muestran que después de que la partícula P escapa de P2 al final de la captura débil, se mueve alrededor del cuerpo primario, P1, en una órbita casi resonante, en resonancia con P2 alrededor de P1. Esta propiedad se utilizó para estudiar cometas que se mueven en órbitas alrededor del Sol en resonancia orbital con Júpiter, que cambian órbitas de resonancia al ser capturados débilmente por Júpiter. ^{[ 13 ]} Un ejemplo de tal cometa es 39P/Oterma .

Esta propiedad de cambio de resonancia de las órbitas alrededor de P1 cuando P es débilmente capturado por el WSB de P2 tiene una aplicación interesante en el campo de la mecánica cuántica para el movimiento de un electrón alrededor del protón en un átomo de hidrógeno. Se muestra que el movimiento de transición de un electrón alrededor del protón entre diferentes estados de energía descritos por la ecuación de Schrödinger es equivalente al cambio de resonancia de P alrededor de P1 a través de la captura débil por P2 para una familia de órbitas de resonancia transitorias. ^{[ 14 ]} Esto da un modelo clásico que utiliza dinámica caótica con gravedad newtoniana para el movimiento de un electrón.

• Red de Transporte Interplanetario : utiliza WSB para viajes de baja energía.
• Variedad invariante : las variedades sustentan las estructuras de trayectoria WSB.
• Esfera de Hill : define el límite de influencia gravitatoria de un cuerpo.

• Belbruno, E.; Green, J (2022). “Al abandonar el sistema solar: la materia oscura marca la diferencia” , Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , V510, 5154.
• Belbruno, Edward (2007) Fly Me to the Moon . Princeton University Press. ISBN 9780691128221
• Adler, Robert (30 de noviembre de 2000) “A los planetas con poco presupuesto” , Nature , vol. 408, n.° 6812, págs. 510-512
• Osserman, J (abril de 2005) “Matemáticas de los cielos” , Notices of the American Mathematical Society , V52, No. 4
• Ross, Shane (abril de 2008) Reseña del libro Fly me to the Moon , Notices of American Mathematical Society , Volumen 55, No. 4, 478–430
• Casselman, R (abril de 2008). “Caos en el límite de estabilidad débil” , Portada de Notices of American Mathematical Society , pág. 549.
• Matemáticas del planeta Tierra : "Trayectorias de naves espaciales con bajo consumo de combustible hacia la Luna"