Condición energética

En las teorías clásicas relativistas de la gravitación , en particular la relatividad general , una condición de energía es una generalización de la afirmación «la densidad de energía de una región del espacio no puede ser negativa» en una formulación matemática relativista. Existen múltiples formas alternativas de expresar dicha condición, de manera que pueda aplicarse al contenido de materia de la teoría. Se espera, entonces, que cualquier teoría de la materia razonable satisfaga esta condición o, al menos, la preserve si se cumple con las condiciones iniciales.

Las condiciones energéticas no son restricciones físicas en sí mismas , sino más bien condiciones límite impuestas matemáticamente que intentan capturar la creencia de que "la energía debería ser positiva". ^{[ 1 ]} Se sabe que muchas condiciones energéticas no se corresponden con la realidad física ; por ejemplo, se sabe que los efectos observables de la energía oscura violan la condición de energía fuerte. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En la relatividad general, las condiciones de energía se utilizan con frecuencia (y son necesarias) en las demostraciones de varios teoremas importantes sobre agujeros negros, como el teorema de la ausencia de pelo o las leyes de la termodinámica de los agujeros negros .

En la relatividad general y teorías afines, la distribución de la masa, el momento y la tensión debida a la materia y a cualquier campo no gravitacional se describe mediante el tensor energía-momento (o tensor de materia ).${\displaystyle T^{ab}}$Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein no especifica qué tipos de estados de la materia o campos no gravitacionales son admisibles en un modelo espaciotemporal. Esto representa tanto una ventaja, puesto que una buena teoría general de la gravitación debería ser lo más independiente posible de cualquier suposición sobre la física no gravitacional, como una desventaja, ya que, sin algún criterio adicional, la ecuación de campo de Einstein admite soluciones hipotéticas con propiedades que la mayoría de los físicos consideran irreales , es decir, demasiado extrañas para asemejarse siquiera a algo del universo real.

Las condiciones energéticas representan dichos criterios. En términos generales, describen de forma aproximada propiedades comunes a todos (o casi todos) los estados de la materia y a todos los campos no gravitacionales bien establecidos en física, a la vez que son lo suficientemente sólidas como para descartar muchas "soluciones" no físicas de la ecuación de campo de Einstein.

Desde el punto de vista matemático, la característica distintiva más evidente de las condiciones de energía es que, en esencia, constituyen restricciones sobre los autovalores y autovectores del tensor de materia. Una característica más sutil, pero no menos importante, es que se imponen evento por evento , a nivel de espacios tangentes . Por lo tanto, no ofrecen ninguna posibilidad de descartar características globales indeseables , como las curvas temporales cerradas .

Para comprender las afirmaciones de las diversas condiciones de energía, es necesario estar familiarizado con la interpretación física de algunas cantidades escalares y vectoriales construidas a partir de vectores temporales o nulos arbitrarios y del tensor de materia.

Primero, un campo vectorial unitario de tipo temporal${\displaystyle {\vec {X}}}$puede interpretarse como la definición de las líneas de universo de alguna familia de observadores ideales (posiblemente no inerciales). Entonces, el campo escalar

$${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}$$

puede interpretarse como la densidad total de masa-energía (materia más energía de campo de cualquier campo no gravitacional) medida por el observador de nuestra familia (en cada evento en su línea de universo ). De manera similar, el campo vectorial con componentes${\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}$representa (después de una proyección) el momento medido por nuestros observadores.

Segundo, dado un campo vectorial nulo arbitrario${\displaystyle {\vec {k}},}$el campo escalar

$${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}$$

puede considerarse una especie de caso límite de la densidad de masa-energía.

En tercer lugar, en el caso de la relatividad general, dado un campo vectorial de tipo temporal arbitrario${\displaystyle {\vec {X}}}$, interpretado nuevamente como la descripción del movimiento de una familia de observadores ideales, el escalar de Raychaudhuri es el campo escalar obtenido al tomar la traza del tensor de marea correspondiente a esos observadores en cada evento:

$${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}$$

Esta cantidad juega un papel crucial en la ecuación de Raychaudhuri . Entonces, a partir de la ecuación de campo de Einstein, obtenemos inmediatamente

$${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}$$

dónde${\displaystyle T={T^{m}}_{m}}$es la traza del tensor de materia.

Existen varias alternativas energéticas de uso común:

Los fluidos perfectos poseen un tensor de materia de forma

$${\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}$$

dónde${\displaystyle {\vec {u}}}$es la cuadrivelocidad de las partículas de materia y donde${\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}}$es el tensor de proyección sobre los elementos del hiperplano espacial ortogonales a la cuadrivelocidad, en cada evento. (Nótese que estos elementos del hiperplano no formarán una hipercorte espacial a menos que la velocidad sea libre de vorticidad , es decir, irrotacional ). Con respecto a un sistema de referencia alineado con el movimiento de las partículas de materia, los componentes del tensor de materia toman la forma diagonal

$${\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}$$

Aquí,${\displaystyle \rho }$es la densidad de energía y${\displaystyle p}$es la presión .

Las condiciones energéticas pueden entonces reformularse en términos de estos autovalores:

• La condición de energía nula estipula que${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• La condición de energía débil estipula que${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• La condición energética dominante estipula que${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• La condición de energía fuerte estipula que${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

Las implicaciones de estas condiciones se muestran en la figura de la derecha. Cabe destacar que algunas de estas condiciones permiten presión negativa . Asimismo, es importante señalar que, a pesar de la denominación, la condición de energía fuerte no implica la condición de energía débil, incluso en el contexto de fluidos perfectos .

Finalmente, hay propuestas para extender las condiciones de energía a espaciotiempos que contienen fluidos no perfectos, donde la segunda ley de la termodinámica proporciona una función de Lyapunov natural para explorar tanto la estabilidad como la causalidad, donde el origen físico de la conexión entre estabilidad y causalidad reside en la relación entre entropía e información . ^{[ 4 ]} Estos intentos generalizan el teorema de conservación del vacío de Hawking-Ellis (según el cual, si la energía puede entrar en una región vacía más rápido que la velocidad de la luz, entonces se viola la condición de energía dominante y la densidad de energía puede volverse negativa en algún marco de referencia ^{[ 5 ]} ) a espaciotiempos que contienen materia fuera de equilibrio a temperatura y potencial químico finitos .

De hecho, la idea de que existe una conexión entre la violación de la causalidad y las inestabilidades de fluidos tiene una larga historia. Por ejemplo, en palabras de W. Israel : «Si la fuente de un efecto puede retrasarse, debería ser posible que un sistema tome prestada energía de su estado fundamental, y esto implica inestabilidad». ^{[ 6 ]} Es posible demostrar que esto es una reformulación del teorema de conservación del vacío de Hawking-Ellis a temperatura y potencial químico finitos. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Si bien la intención de las condiciones de energía es proporcionar criterios simples que excluyan muchas situaciones no físicas y admitan cualquier situación físicamente razonable, de hecho, al menos cuando se introduce un modelo de campo efectivo de algunos efectos cuánticos, algunos tensores de materia posibles que se sabe que son físicamente razonables e incluso realistas porque han sido verificados experimentalmente , en realidad no cumplen diversas condiciones de energía. En particular, en el efecto Casimir , en la región entre dos placas conductoras mantenidas paralelas a una separación muy pequeña d , existe una densidad de energía negativa.

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}$$

entre las placas. (Tenga en cuenta, sin embargo, que el efecto Casimir es topológico, ya que el signo de la energía del vacío depende tanto de la geometría como de la topología de la configuración. Siendo negativa para placas paralelas, la energía del vacío es positiva para una esfera conductora). Sin embargo, varias desigualdades cuánticas sugieren que una condición de energía promedio adecuada puede satisfacerse en tales casos. En particular, la condición de energía nula promedio se satisface en el efecto Casimir. De hecho, para tensores de energía-momento que surgen de teorías de campo efectivas en el espaciotiempo de Minkowski, la condición de energía nula promedio se cumple para campos cuánticos cotidianos. Extender estos resultados es un problema abierto.

La condición de energía fuerte se cumple para toda la materia normal/newtoniana, pero un falso vacío puede violarla. Consideremos el estado de la ecuación barotrópica lineal.

$${\displaystyle p=w\rho ,}$$

dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad de energía de la materia,${\displaystyle p}$es la presión de la materia, y${\displaystyle w}$es una constante. Entonces la condición de energía fuerte requiere${\displaystyle w\geq -1/3}$; pero para el estado conocido como falso vacío, tenemos${\displaystyle w=-1}$. ^{[ 7 ]}

• Congruencia (relatividad general)
• Soluciones exactas en la relatividad general
• Campos de referencia en la relatividad general
• Teorema de la energía positiva
• Desigualdades cuánticas

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.Las condiciones energéticas se analizan en el apartado 4.3.
• Poisson, Eric (2004). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode : 2004rtmb.book.....P . ISBN 0-521-83091-5.En la Sección 2.1 se analizan diversas condiciones energéticas (incluidas todas las mencionadas anteriormente) .
• Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: Una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.En la Sección 4.6 se analizan diversas condiciones energéticas .
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.Las condiciones energéticas comunes se analizan en la Sección 9.2 .
• Ellis, GFR; Maartens, R.; MacCallum, MAH (2012). Cosmología relativista . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38115-4.Las violaciones de la condición de energía fuerte se analizan en la Sección 6.1 .