Límite cardinal

En matemáticas , los cardinales límite son ciertos números cardinales . Un número cardinal λ es un cardinal límite débil si λ no es ni un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que no se puede "llegar" a λ desde otro cardinal mediante operaciones sucesivas de cardinales. Estos cardinales a veces se denominan simplemente "cardinales límite" cuando el contexto lo permite.

Un cardinal λ es un cardinal límite fuerte si λ no puede alcanzarse mediante operaciones repetidas de conjuntos potencia . Esto significa que λ es distinto de cero y, para todo κ < λ , 2 ^κ < λ . Todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil, porque por el teorema de Cantor κ ⁺ ≤ 2 ^κ para todo cardinal κ , donde κ ⁺ denota el cardinal sucesor de κ .

El primer cardinal infinito,${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-cero ), es un cardinal límite fuerte y, por lo tanto, también un cardinal límite débil.

Una forma de construir cardinales límite es mediante la operación de unión:${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es un cardinal límite débil, definido como la unión de todos los alephs que lo preceden; y en general${\displaystyle \aleph _{\beta }}$para cualquier ordinal límite β es un cardinal límite débil.

La operación ב se puede utilizar para obtener cardinales de límite fuerte. Esta operación es un mapeo de ordinales a cardinales definidos como

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$(el ordinal más pequeño que es igual al conjunto potencia)

Si β es un ordinal límite,${\displaystyle \beth _{\beta }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\beta \}.}$

El cardenal

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω . Más generalmente, dado cualquier ordinal α , el cardinal

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

es un cardinal límite fuerte. Por lo tanto, existen cardinales límite fuertes arbitrariamente grandes.

Si se cumple el axioma de elección , cada número cardinal tiene un ordinal inicial . Si ese ordinal inicial es${\displaystyle \omega _ {\beta}\,,}$entonces el número cardinal es de la forma${\displaystyle \aleph _{\beta }}$para el mismo subíndice ordinal β . El ordinal β determina si${\displaystyle \aleph _{\beta }}$es un cardinal límite débil. Porque${\displaystyle \aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$si β es un ordinal sucesor entonces${\displaystyle \aleph _{\beta }}$no es un límite débil. Por el contrario, si un cardinal κ es un cardinal sucesor, digamos${\displaystyle \kappa =(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$entonces${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.}$Así, en general,${\displaystyle \aleph _{\beta }}$es un cardinal límite débil si y solo si β es cero o un ordinal límite.

Aunque el subíndice ordinal aleph nos indica si un cardinal es un límite débil, no nos indica si un cardinal es un límite fuerte. Por ejemplo, ZFC demuestra que${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es un cardinal límite débil, pero ni prueba ni refuta que${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es un cardinal límite fuerte (Hrbacek y Jech 1999:168). La hipótesis del continuo generalizado establece que${\displaystyle \kappa ^{+}=2^{\kappa }\,}$para cada cardinal infinito κ . Bajo esta hipótesis, las nociones de cardinales límite débiles y fuertes coinciden.

Los conceptos de cardinales límite débiles o fuertes definen nociones de "inaccesibilidad": nos ocupamos de casos en los que ya no basta con realizar un número finito de iteraciones de las operaciones de sucesor y conjunto potencia; de ahí la frase "no se puede alcanzar" en ambas definiciones intuitivas anteriores. Pero la "operación de unión" siempre proporciona otra forma de "acceder" a estos cardinales (y, de hecho, tal es también el caso de los ordinales límite). Se pueden definir nociones más fuertes de inaccesibilidad utilizando la cofinalidad . Para un cardinal límite débil (respectivamente fuerte) κ, el requisito es que cf( κ ) = κ (es decir, κ sea regular ) de modo que κ no pueda expresarse como una suma (unión) de menos de κ cardinales más pequeños. Dicho cardinal se denomina cardinal débilmente (respectivamente fuertemente) inaccesible . Los ejemplos anteriores de${\displaystyle \aleph _{\omega }}$y${\displaystyle \beth _{\omega }}$son ambos cardinales singulares de cofinalidad ω, y por lo tanto no son inaccesibles.

${\displaystyle \aleph _{0}}$Sería un cardinal inaccesible de ambas "fuerzas", excepto que la definición de inaccesible requiere que sean incontables. La teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) ni siquiera puede probar la consistencia de la existencia de un cardinal inaccesible de cualquiera de los tipos anteriores.${\displaystyle \aleph _{0}}$, debido al teorema de incompletitud de Gödel . Más específicamente, si${\displaystyle \kappa }$es débilmente inaccesible entonces${\displaystyle L_{\kappa }\models ZFC}$. Los cardinales inaccesibles forman el primero en una jerarquía de cardinales grandes .

• Hrbaček, Karel; Jech, Thomas (1999), Introducción a la teoría de conjuntos (3  ed.), CRC Press, ISBN 0-8247-7915-0
• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en matemáticas (  edición del tercer milenio), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-44761-X , ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: Una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Tinta infinita sobre los cardinales