Derivada débil

En matemáticas , una derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función ( derivada fuerte ) para funciones que no se suponen diferenciables , sino solo integrables , es decir, que se encuentran en el espacio L ^p.${\displaystyle L^{1}([a,b])}$.

El método de integración por partes sostiene que para funciones suaves${\displaystyle u}$y${\displaystyle \varphi }$tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Una función u' ser la derivada débil de u se define esencialmente por el requisito de que esta ecuación debe cumplirse para todas las funciones suaves.${\displaystyle \varphi }$desapareciendo en los puntos límite (${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$).

Dejar${\displaystyle u}$ser una función en el espacio de Lebesgue${\displaystyle L^{1}([a,b])}$Decimos que${\displaystyle v}$ en${\displaystyle L^{1}([a,b])}$es un derivado débil de${\displaystyle u}$si

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

para todas las funciones infinitamente diferenciables${\displaystyle \varphi }$con${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Generalizar a${\displaystyle n}$dimensiones, si${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$están en el espacio${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$de funciones localmente integrables para algún conjunto abierto${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$y si${\displaystyle \alpha }$es un índice múltiple , decimos que${\displaystyle v}$es el${\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$-derivada débil de${\displaystyle u}$si

${\displaystyle \int _ {U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _ {U}v\varphi,}$

a pesar de${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$, es decir, para todas las funciones infinitamente diferenciables${\displaystyle \varphi }$con soporte compacto en${\displaystyle U}$. Aquí${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$se define como $${\displaystyle D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

Si${\displaystyle u}$tiene una derivada débil, a menudo se escribe${\displaystyle D^{\alpha }u}$ya que las derivadas débiles son únicas (al menos, hasta un conjunto de medida cero , véase más abajo). ^{[ 3 ]}

• La función de valor absoluto${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|}$, que no es diferenciable en${\displaystyle t=0}$tiene una derivada débil${\displaystyle v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$conocida como la función signo , y dada por$${\displaystyle v(t)={\begin{cases}1&{\text{si }}t>0;\\[6pt]0&{\text{si }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{si }}t<0.\end{cases}}}$$Esta no es la única derivada débil de u : cualquier w que sea igual a v casi en todas partes también es una derivada débil de u . Por ejemplo, la definición de v (0) anterior podría reemplazarse por cualquier número real deseado. Generalmente, la existencia de múltiples soluciones no representa un problema, ya que en la teoría de espacios L ^p y espacios de Sobolev , las funciones se consideran equivalentes si son iguales casi en todas partes.
• La función característica de los números racionales${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$no es diferenciable en ningún punto, pero tiene una derivada débil. Dado que la medida de Lebesgue de los números racionales es cero,$${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$$De este modo${\displaystyle v(t)=0}$es un derivado débil de${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$. Nótese que esto concuerda con nuestra intuición ya que cuando se considera como un miembro de un espacio L ^p ,${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$se identifica con la función cero.
• La función de Cantor c no tiene derivada débil, a pesar de ser diferenciable casi en todas partes. Esto se debe a que cualquier derivada débil de c tendría que ser igual casi en todas partes a la derivada clásica de c , que es cero casi en todas partes. Pero la función cero no es una derivada débil de c , como se puede ver comparándola con una función de prueba apropiada.${\displaystyle \varphi }$. De forma más teórica, c no tiene una derivada débil porque su derivada distribucional , es decir, la distribución de Cantor , es una medida singular y, por lo tanto, no puede representarse mediante una función.

Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, son iguales excepto en un conjunto con medida de Lebesgue cero, es decir, son iguales casi en todas partes . Si consideramos clases de equivalencia de funciones tales que dos funciones son equivalentes si son iguales casi en todas partes, entonces la derivada débil es única.

Además, si u es diferenciable en el sentido convencional, su derivada débil es idéntica (en el sentido antes mencionado) a su derivada convencional (fuerte). Por lo tanto, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Asimismo, las reglas clásicas para las derivadas de sumas y productos de funciones también se aplican a la derivada débil.

Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sobolev , que son útiles para problemas de ecuaciones diferenciales y en análisis funcional .

• Subderivada
• Lema de Weyl (ecuación de Laplace)