Forma modular débilmente holomorfa

En matemáticas , una forma modular débilmente holomorfa es similar a una forma modular holomorfa, excepto que se le permite tener polos en las cúspides. Algunos ejemplos son las funciones modulares y las formas modulares .

Para simplificar la notación, esta sección trata el caso de nivel 1; la extensión a niveles superiores es sencilla.

Una forma modular débilmente holomorfa de nivel 1 es una función f en el semiplano superior con las propiedades:

• f se transforma como una forma modular: para algún entero k llamado peso , para cualquier elemento de SL ₂ ( Z ).${\displaystyle f((a\tau +b)/(c\tau +d))=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$
• Como función de q =e ^{2π i τ} , f viene dada por una serie de Laurent cuyo radio de convergencia es 1 (por lo que f es holomórfica en el semiplano superior y meromorfa en las cúspides).

El anillo de formas modulares de nivel 1 se genera mediante las series de Eisenstein E ₄ y E ₆ (que generan el anillo de formas modulares holomorfas) junto con la inversa 1/Δ del discriminante modular .

Cualquier forma modular débilmente holomorfa de cualquier nivel puede escribirse como un cociente de dos formas modulares holomorfas. Sin embargo, no todo cociente de dos formas modulares holomorfas es una forma modular débilmente holomorfa, ya que puede tener polos en el semiplano superior.

• Duke, W.; Jenkins, Paul (2008), "Sobre los ceros y coeficientes de ciertas formas modulares débilmente holomorfas", Pure Appl. Math. Q. , Número especial: En honor a Jean-Pierre Serre. Parte 1, 4 (4): 1327–1340, doi : 10.4310/PAMQ.2008.v4.n4.a15 , MR  2441704, Zbl  1200.11027