Gas de Bose de interacción débil

Para un gas diluido a baja temperatura, se considera que el número de partículas en el estado fundamental${\textstyle |\Omega \rangle }$es tan grande que podemos aproximar ^{[ 5 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\hat {a}}_{0}|\Omega \rangle \approx {\sqrt {N_{0}}}|\Omega \rangle$ ;}

${\displaystyle {\hat {a}}_{0}^{\dagger }|\Omega \rangle \approx {\sqrt {N_{0}}}|\Omega \rangle ,}$

dónde${\textstyle N_{0}\gg 1}$es el número de partículas en el estado fundamental. Esta manipulación se conoce como la aproximación de Bogoliubov.

Al utilizar la aproximación de Bogoliubov, conservando solo los términos cuadráticos e imponiendo el número de partículas como ^{[ 7 ]}

${\displaystyle N=N_{0}+\sum _{\mathbf {p} \neq 0}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {p} },}$

Se puede obtener un hamiltoniano efectivo ^{[ 5 ].}

${\displaystyle H\approx {\frac {gnN}{2}}+\sum _{\mathbf {p} \neq 0}\left({\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+ng\right){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }+{\frac {gn}{2}}\sum _{\mathbf {p} \neq 0}({\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }^{\dagger }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }),}$

dónde${\textstyle n=N/{\mathcal {V}}}$Este hamiltoniano ya no tiene la simetría U(1) del hamiltoniano original, el estado fundamental rompe la simetría y el número total de partículas ya no se conserva. El hamiltoniano efectivo se puede diagonalizar usando una transformación de Bogoliubov , de modo que ^{[ 5 ]}

${\displaystyle H=E_{0}+\sum _{\mathbf {p} }E_{\mathbf {p} }{\hat {\alpha }}_{\mathbf {p} }^{\dagger }{\hat {\alpha }}_{\mathbf {p} },}$

dónde

${\displaystyle E_{0}={\frac {gn^{2}{\mathcal {V}}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {p} \neq 0}\left({\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+gn-E_{\mathbf {p} }\right),}$

es la energía del estado fundamental ^{[ 8 ]} y${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{\mathbf {p} }}$son los operadores diagonalizados con energías, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\left({\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+2ng\right)}},}$

Bajo estos nuevos operadores, el sistema puede ser descrito como un condensado (gas) de cuasipartículas , a veces llamadas bogolones . ^{[ 4 ]} Los bogolones son bosones de Goldstone debido a la simetría rota del hamiltoniano y, según el teorema de Goldstone, son lineales y sin brecha de energía a bajos momentos. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle E_{\mathbf {p} }\approx c_{\mathrm {s} }|\mathbf {p} |}$

dónde${\textstyle c_{\mathrm {s} }={\sqrt {ng/m}}}$está asociada con la velocidad del sonido del condensado de cuasipartículas y se denomina segundo sonido . Según el criterio de Landau, el sistema solo puede presentar superfluidez por debajo de${\textstyle c_{\mathrm {s} }}$Por encima de este límite puede producirse disipación. ^{[ 9 ]}

Para grandes momentos, la dispersión es cuadrática y el sistema se comporta como un gas de Bose ideal . ^{[ 5 ]} La transición entre el régimen balístico y el cuadrático se da cuando${\textstyle \hbar ^{2}/(2m\xi ^{2})=2ng}$, dónde${\textstyle |\mathbf {p} |=\hbar /\xi }$y${\textstyle \xi }$Se denomina longitud de curación. ^{[ 5 ]}

La teoría de Bogoliubov del gas de interacción débil no predice la dispersión en momentos intermedios debido a los rotones . ^{[ 4 ]}

La energía del estado fundamental${\textstyle E_{0}}$El cálculo anterior es en realidad divergente y puede hacerse finito calculando correcciones de orden superior. ^{[ 8 ]} La corrección de siguiente orden da

${\displaystyle E_{0}={\frac {gn^{2}{\mathcal {V}}}{2}}\left(1+{\frac {128}{15}}{\sqrt {\frac {na_{\mathrm {s} }^{3}}{\pi }}}\right),}$

que proporciona una presión ^{[ 8 ]}

${\displaystyle P_{0}=-{\frac {\partial E_{0}}{\partial {\mathcal {V}}}}={\frac {gn^{2}}{2}}\left(1+{\frac {64}{5}}{\sqrt {\frac {na_{\mathrm {s} }^{3}}{\pi }}}\right)}$

y un potencial químico ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mu ={\frac {\partial E_{0}}{N}}=gn\left(1+{\frac {32}{3}}{\sqrt {\frac {na_{\mathrm {s} }^{3}}{\pi }}}\right).}$

Utilizando la fórmula para la velocidad del sonido${\displaystyle mc_{\mathrm {s} }^{2}=(\partial P_{0}/\partial n)}$, se puede confirmar que${\textstyle c_{\mathrm {s} }={\sqrt {ng/m}}}$en el orden de aproximación más bajo. ^{[ 8 ]}