La conjetura de Weibel

En matemáticas, la conjetura de Weibel proporciona un criterio para la desaparición de grupos negativos de la teoría K algebraica . La conjetura fue propuesta por Weibel (1980) y demostrada en su totalidad por Kerz, Strunk y Tamme (2018) utilizando métodos de la geometría algebraica derivada . Anteriormente, Haesemeyer (2004) , Cortiñas et al. (2008) , Geisser y Hesselholt (2010) , Cisinski (2013) , Kelly (2014) y Morrow (2016) habían demostrado casos parciales .

La conjetura de Weibel afirma que para un esquema noetheriano X de dimensión de Krull finita d , los K -grupos se anulan en grados < − d : 

${\displaystyle K_{i}(X)=0{\text{ para }}i<-d}$

y afirma además una propiedad de invariancia homotópica para grupos K negativos.

${\displaystyle K_{i}(X)=K_{i}(X\times \mathbb {A} ^{r}){\text{ para }}i\leq -d{\text{ y }}r arbitrario.}$

Recientemente, Kelly, Saito y Tamme (2024) generalizaron la conjetura de Weibel a esquemas derivados cuasi-compactos y cuasi-separados arbitrarios. En esta formulación, la dimensión de Krull se reemplaza por la dimensión valuativa (es decir, el máximo de la dimensión de Krull de todas las explosiones). En el caso de los esquemas noetherianos, la dimensión de Krull es igual a la dimensión valuativa.

• Weibel, Charles A. (1980), "Teoría K e isomorfismos analíticos", Invent. Math. , 61 (2): 177– 197, Bibcode : 1980InMat..61..177W , doi : 10.1007/bf01390120
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018), " Teoría K algebraica y descenso para explosiones", Invent. Math. , 211 (2): 523– 577, arXiv : 1611.08466 , Bibcode : 2018InMat.211..523K , doi : 10.1007/s00222-017-0752-2 , MR 3748313 
• Cortiñas, Guillermo; Haesemeyer, cristiano; Schlichting, Marco; Weibel, Charles (2008). "Homología cíclica, cohomología cdh y teoría K negativa". Anales de Matemáticas . 167 (2): 549– 573. arXiv : matemáticas/0502255 . doi : 10.4007/annals.2008.167.549 . JSTOR 40345438 . 
• Cisinski, Denis-Charles (2013). "Descente par éclatements en K-théorie invariante par homotopie". Anales de Matemáticas . 177 (2): 425– 448. arXiv : 1003.1487 . doi : 10.4007/anales.2013.177.2.2 . JSTOR 23496531 . 
• Kelly, Shane (2014). "Desaparición de la teoría K negativa en característica positiva". Compositio Mathematica . 150 (8). London Mathematical Society: 1425– 1434. doi : 10.1112/S0010437X14007472 (inactivo el 1 de julio de 2025).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )
• Morrow, Matthew (2016). "Pro cdh-descent for cyclic homology and K-theory". Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu . 15 (3). Cambridge University Press: 539– 567. doi : 10.1017/S1474748014000049 (inactivo el 1 de julio de 2025).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )
• Geisser, Thomas; Hesselholt, Lars (2010). "Sobre la desaparición de los grupos K negativos". Annalen Matemáticas . 348 (3). Springer: 707– 736. doi : 10.1007/s00208-009-0413-1 (inactivo el 1 de julio de 2025).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )
• Haesemeyer, Christian (2004). "Propiedades de descenso de la K-teoría homotópica" . Duke Mathematical Journal . 125 (3): 589– 620. doi : 10.1215/S0012-7094-04-12534-5 .
• Kelly, Shane; Saito, Shuji; Tamme, Georg (2024). "Sobre el descenso pro-cdh en esquemas derivados". arXiv : 2407.04378 [ math.KT ].