Función de Weierstrass-Mandelbrot

La función de Weierstrass-Mandelbrot (a menudo abreviada como función WM y a veces denominada ruido de Weierstrass-Mandelbrot) es una generalización de la función de Weierstrass clásica , extendida a dimensiones superiores para modelar fenómenos fractales naturales . Se utiliza frecuentemente en la generación de terrenos , particularmente en entornos simulados para robótica y pruebas de vehículos autónomos . A diferencia de su contraparte unidimensional, la función WM en múltiples dimensiones muestra direccionalidad, anisotropía y multifractalidad, lo que la hace adecuada para simulaciones de superficies físicamente realistas. ^{[ 1 ]}

La definición más común de la función de la memoria de trabajo es:

${\displaystyle z(x,y)=A\sum _{m=1}^{M}\sum _{n=1}^{n_{\text{max}}}\gamma ^{(D-3)n}\left[\cos(\phi _{m,n})-\cos \left\{2\pi \gamma ^{n}{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{L}}\cos \left(\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-{\frac {\pi m}{M}}\right)+\phi _{m,n}\right\}\right]}$

dónde:

• ${\displaystyle z(x,y)}$es la altura del terreno en las coordenadas espaciales${\displaystyle (x,y)}$,
• ${\displaystyle (x,y)}$son las coordenadas espaciales 2D en el plano del suelo,
• ${\displaystyle A=L\left({\frac {G}{L}}\right)^{D-2}\left({\frac {\ln(\gamma )}{M}}\right)^{1/2}}$es un factor de normalización,
• ${\displaystyle \gamma }$es el factor de escala de frecuencia,
• ${\displaystyle D}$es la dimensión fractal,
• ${\displaystyle \phi _{m,n}}$es una fase aleatoria distribuida uniformemente,
• ${\displaystyle M}$es el número de direcciones angulares,
• ${\displaystyle n_{\text{máx}}}$es el índice de frecuencia máxima,
• ${\displaystyle L}$es la longitud de muestreo,
• ${\displaystyle G}$es el coeficiente de escala. ^{[ 2 ]}

La función WM genera superficies estadísticamente autosimilares con control sobre la rugosidad, la orientación y la distribución de frecuencia, lo que la hace ideal para modelar topografías realistas e irregulares.

La función de Weierstrass-Mandelbrot fue estudiada y nombrada explícitamente por primera vez en un artículo de 1980 de Michael V. Berry y ZV Lewis, titulado «Sobre la función fractal de Weierstrass-Mandelbrot». ^{[ 3 ]} Este trabajo fue publicado en las Actas de la Royal Society y marcó la introducción inicial de la función como un objeto fractal con aplicaciones en física y matemáticas. Berry y Lewis proporcionaron visualizaciones generadas por computadora de la función, lo que ayudó a establecerla como un modelo útil para los fenómenos fractales. La función extiende la función clásica de Weierstrass , que fue introducida originalmente a finales del siglo XIX por Karl Weierstrass como un ejemplo de una función continua pero no diferenciable en ningún punto. La función de Weierstrass-Mandelbrot se basa en este fundamento al incorporar características multifractales y multidimensionales, como se exploró más a fondo en estudios posteriores como los de Marcel Ausloos y DH Berman en 1985. ^{[ 4 ]} Desde entonces, la función se ha adoptado en una variedad de campos, incluido el modelado de terrenos, debido a su capacidad para simular superficies rugosas realistas y autosimilares.

La función de Weierstrass-Mandelbrot se ha utilizado ampliamente en la generación procedimental de terrenos digitales. Su naturaleza multifractal permite la síntesis de mapas de elevación realistas para evaluar el rendimiento de vehículos terrestres, en particular robots autónomos que navegan por entornos accidentados o fuera de carretera. ^{[ 2 ]}

Esta función resulta especialmente útil para probar los módulos de suspensión, tracción y planificación de trayectorias de vehículos terrestres autónomos en simulaciones por ordenador.

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• Karl Weierstrass
• Benoit Mandelbrot

• Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass" . MundoMatemático .
• Artículo sobre generación de terrenos multifractales en arXiv
• Terreno fractal para simulación de vehículos
• Función de memoria de trabajo multivariada en ResearchGate