Funciones de Weierstrass

En matemáticas , las funciones de Weierstrass son funciones especiales de una variable compleja que son auxiliares de la función elíptica de Weierstrass . Reciben su nombre de Karl Weierstrass . La relación entre sigma, zeta y${\displaystyle \wp }$La relación entre las funciones seno, cotangente y cosecante al cuadrado es análoga a la existente entre las funciones seno, cotangente y cosecante al cuadrado: la derivada logarítmica del seno es la cotangente, cuya derivada es el negativo de la cosecante al cuadrado. ^{[ 1 ]}

La función sigma de Weierstrass asociada a una red bidimensional${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$se define como el producto

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \Lambda ^{*}}$denota${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$y${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$es un par fundamental de períodos .

Mediante una manipulación cuidadosa del teorema de factorización de Weierstrass, en lo que se relaciona también con la función seno, se obtiene otra definición de producto infinito potencialmente más manejable.

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}$

para cualquier${\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}$con${\displaystyle i\neq j}$y donde hemos utilizado la notación${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$(véase la función zeta a continuación). Además, es una función "cuasiperiódica" , con la siguiente propiedad:

${\displaystyle \sigma (z+2\omega _{i})=-e^{2\eta _{i}(z+\omega _{i})}\sigma (z)}$

La función sigma se puede utilizar para representar una función elíptica : ${\displaystyle f(z+\omega _{i})=f(z)\quad i\in \{1,\ldots ,n\}}$cuando se conocen sus ceros y polos que se encuentran en el paralelogramo periódico:

${\displaystyle f(z)=c\prod _{j=1}^{n}{\frac {\sigma (z-a_{j})}{\sigma (z-b_{j})}}}$

Dónde${\displaystyle c}$es una constante en ${\displaystyle \mathbb {C} }$y${\displaystyle a_{j}}$son los ceros en el paralelogramo y${\displaystyle b_{j}}$son los polos

La función zeta de Weierstrass se define por la suma

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}$

La función zeta de Weierstrass es la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta se puede reescribir como:

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$es la serie de Eisenstein de peso 2 k  +  2.

La derivada de la función zeta es${\displaystyle -\wp (z)}$, dónde${\displaystyle \wp (z)}$es la función elíptica de Weierstrass .

La función zeta de Weierstrass no debe confundirse con la función zeta de Riemann en teoría de números .

La función eta de Weierstrass se define como

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }$y cualquier w en la red${\displaystyle \Lambda }$

Esto está bien definido, es decir${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$solo depende del vector de red w . La función eta de Weierstrass no debe confundirse ni con la función eta de Dedekind ni con la función eta de Dirichlet .

La función p de Weierstrass está relacionada con la función zeta mediante

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }$

La función ℘ de Weierstrass es una función elíptica par de orden N=2 con un polo doble en cada punto de la red y ningún otro polo.

Consideremos la situación en la que un período es real, que podemos escalar a${\displaystyle \omega _{1}=2\pi }$y el otro se lleva al límite de${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$de modo que las funciones sean solo periódicas simples. Los invariantes correspondientes son${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}$de discriminante${\displaystyle \Delta =0}$. Entonces tenemos${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$y por lo tanto, a partir de la definición de producto infinito anterior, se obtiene la siguiente igualdad:

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}$

Una generalización para otras funciones tipo seno en otras redes doblemente periódicas es

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$

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