Media aritmética ponderada

Cuando se tratan los pesos como constantes y se tiene una muestra de n observaciones de variables aleatorias no correlacionadas , todas con la misma varianza y esperanza (como es el caso de las variables aleatorias i.i.d. ), entonces la varianza de la media ponderada se puede estimar como la multiplicación de la varianza no ponderada por el efecto de diseño de Kish (ver demostración ):

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {y}}_{w})={\hat {\sigma }}_{y}^{2}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\bar {w}}^{2}}}}$

Con${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}}$,${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}}$, y${\displaystyle {\overline {w^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{n}}}$

Sin embargo, esta estimación es bastante limitada debido a la fuerte suposición sobre las observaciones de y . Esto ha llevado al desarrollo de estimadores alternativos y más generales.

Desde una perspectiva basada en modelos , nos interesa estimar la varianza de la media ponderada cuando los diferentes${\displaystyle y_{i}}$no son variables aleatorias i.i.d. Una perspectiva alternativa para este problema es la de un diseño de muestreo arbitrario de los datos en el que las unidades se seleccionan con probabilidades desiguales (con reemplazo). ^{[ 1 ] : 306}

En la metodología de encuestas , la media poblacional de alguna cantidad de interés y se calcula tomando una estimación del total de y sobre todos los elementos de la población ( Y o a veces T ) y dividiéndola por el tamaño de la población, ya sea conocido (${\displaystyle N}$) o estimado (${\displaystyle {\hat {N}}}$). En este contexto, cada valor de y se considera constante, y la variabilidad proviene del procedimiento de selección. Esto contrasta con los enfoques "basados ​​en modelos" en los que la aleatoriedad a menudo se describe en los valores de y. El procedimiento de muestreo de la encuesta produce una serie de valores indicadores de Bernoulli (${\displaystyle I_{i}}$) que obtienen 1 si alguna observación i está en la muestra y 0 si no fue seleccionada. Esto puede ocurrir con un tamaño de muestra fijo o con un tamaño de muestra variable (por ejemplo, muestreo de Poisson ). La probabilidad de que un elemento sea elegido, dada una muestra, se denota como${\displaystyle P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}}$y la probabilidad de selección en una sola extracción es${\displaystyle P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}}$(Si N es muy grande y cada${\displaystyle p_{i}}$es muy pequeño). Para la siguiente derivación asumiremos que la probabilidad de seleccionar cada elemento está totalmente representada por estas probabilidades. ^{[ 2 ] : 42, 43, 51} Es decir: seleccionar algún elemento no influirá en la probabilidad de extraer otro elemento (esto no se aplica a cosas como el diseño de muestreo por conglomerados ).

Dado que cada elemento (${\displaystyle y_{i}}$) es fijo, y la aleatoriedad proviene de si se incluye o no en la muestra (${\displaystyle I_{i}}$), a menudo hablamos de la multiplicación de los dos, que es una variable aleatoria. Para evitar confusiones en la siguiente sección, llamaremos a este término:${\displaystyle y'_{i}=y_{i}I_{i}}$Con la siguiente expectativa:${\displaystyle E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}}$; y varianza:${\displaystyle V[y'_{i}]=y_{i}^{2}V[I_{i}]=y_{i}^{2}\pi _{i}(1-\pi _{i})}$.

Cuando cada elemento de la muestra se infla por el inverso de su probabilidad de selección, se denomina${\displaystyle \pi }$-valores y expandidos , es decir:${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$. Una cantidad relacionada es${\displaystyle p}$-valores y expandidos :${\displaystyle {\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}}$. ^{[ 2 ] : 42, 43, 51, 52} Como se indicó anteriormente, podemos agregar una marca de graduación si multiplicamos por la función indicadora . Es decir:${\displaystyle {\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}}$

En esta perspectiva basada en el diseño , los pesos, utilizados en el numerador de la media ponderada, se obtienen tomando el inverso de la probabilidad de selección (es decir, el factor de inflación). Es decir:${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}}$.

Si se conoce el tamaño de la población N, podemos estimar la media de la población utilizando${\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}}$.

Si el diseño de muestreo es uno que da como resultado un tamaño de muestra fijo n (como en el muestreo pps ), entonces la varianza de este estimador es:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}\right)={\frac {1}{N^{2}}}{\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}}$

Un término alternativo, para cuando el muestreo tiene un tamaño de muestra aleatorio (como en el muestreo de Poisson ), se presenta en Sarndal et al. (1992) como: ^{[ 2 ] : 182}

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{j}\right)}$$

Con${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$. También,${\displaystyle C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}}$dónde${\displaystyle \pi _{ij}}$es la probabilidad de seleccionar tanto i como j. ^{[ 2 ] : 36} Y${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}}$y para i=j:${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}}$. ^{[ 2 ] : 43}

Si las probabilidades de selección no están correlacionadas (es decir:${\displaystyle \forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0}$), y suponiendo que la probabilidad de cada elemento es muy pequeña, entonces:

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^{2}}$

La sección anterior trató sobre la estimación de la media poblacional como una razón de un total poblacional estimado (${\displaystyle {\hat {Y}}}$) con un tamaño de población conocido (${\displaystyle N}$), y la varianza se estimó en ese contexto. Otro caso común es que el tamaño de la población en sí (${\displaystyle N}$) es desconocido y se estima utilizando la muestra (es decir:${\displaystyle {\hat {N}}}$). La estimación de${\displaystyle N}$se puede describir como la suma de pesos. Entonces, cuando${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$obtenemos${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}}$Con la notación anterior, el parámetro que nos interesa es la razón de las sumas de${\displaystyle y_{i}}$s y 1s. Es decir:${\displaystyle R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$Podemos estimarlo utilizando nuestra muestra con:${\displaystyle {\hat {R}}={\hat {\bar {Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}1'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}={\bar {y}}_{w}}$. Al pasar de usar N a usar n, sabemos que todas las variables indicadoras obtienen 1, por lo que podríamos simplemente escribir:${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$Este será el valor estimado para valores específicos de y y w, pero las propiedades estadísticas se obtienen al incluir la variable indicadora.${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}}$. ^{[ 2 ] : 162, 163, 176}

Esto se denomina ^estimador de razón y es aproximadamente insesgado para R. [ ^{2 ] : 182}

En este caso, la variabilidad de la razón depende de la variabilidad de las variables aleatorias tanto en el numerador como en el denominador, así como de su correlación. Dado que no existe una forma analítica cerrada para calcular esta varianza, se utilizan varios métodos para la estimación aproximada. Principalmente, la linealización de primer orden de la serie de Taylor , los métodos asintóticos y el bootstrap/jackknife. ^{[ 2 ] : 172} El método de linealización de Taylor podría conducir a una subestimación de la varianza para tamaños de muestra pequeños en general, pero eso depende de la complejidad del estadístico. Para la media ponderada, se supone que la varianza aproximada es relativamente precisa incluso para tamaños de muestra medianos. ^{[ 2 ] : 176} Cuando el muestreo tiene un tamaño de muestra aleatorio (como en el muestreo de Poisson ), es como sigue: ^{[ 2 ] : 182}

${\displaystyle {\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}}$.

Si${\displaystyle \pi _{i}\approx p_{i}n}$, entonces ya sea usando${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$o${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$daría el mismo estimador, ya que multiplicar${\displaystyle w_{i}}$Por algún factor, se obtendría el mismo estimador. Esto también significa que si escalamos la suma de los pesos para que sea igual a un tamaño de población N conocido de antemano , el cálculo de la varianza sería el mismo. Cuando todos los pesos son iguales entre sí, esta fórmula se reduce al estimador de varianza insesgado estándar.

Tenemos (al menos) dos versiones de la varianza para la media ponderada: una con estimación del tamaño de la población conocida y otra con estimación del tamaño de la población desconocida. No hay un enfoque uniformemente mejor, pero la literatura presenta varios argumentos para preferir el uso de la versión de estimación de la población (incluso cuando se conoce el tamaño de la población). ^{[ 2 ] : 188} Por ejemplo: si todos los valores de y son constantes, el estimador con tamaño de población desconocido dará el resultado correcto, mientras que el que tiene tamaño de población conocido tendrá cierta variabilidad. Además, cuando el tamaño de la muestra en sí es aleatorio (por ejemplo, en el muestreo de Poisson ), la versión con media de población desconocida se considera más estable. Por último, si la proporción de muestreo está correlacionada negativamente con los valores (es decir, menor probabilidad de muestrear una observación que es grande), entonces la versión con tamaño de población desconocido compensa ligeramente eso.

Para el caso trivial en el que todos los pesos son iguales a 1, la fórmula anterior es igual que la fórmula habitual para la varianza de la media (pero observe que utiliza el estimador de máxima verosimilitud para la varianza en lugar de la varianza insesgada. Es decir: la divide por n en lugar de (n-1)).

Gatz et al. (1995) demostraron que, en comparación con los métodos de remuestreo (bootstrapping ) , la siguiente estimación de la varianza de la razón-media mediante la linealización de la serie de Taylor es razonable para el cuadrado del error estándar de la media (cuando se utiliza en el contexto de la medición de constituyentes químicos): ^{[ 4 ] : 1186}

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{{\bar {x}}_{w}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\left[\sum (w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})^{2}-2{\bar {x}}_{w}\sum (w_{i}-{\bar {w}})(w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})+{\bar {x}}_{w}^{2}\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}\right]}$

dónde${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}}$Una mayor simplificación conduce a

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{\bar {x}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\sum w_{i}^{2}(x_{i}-{\bar {x}}_{w})^{2}}$

Gatz et al. mencionan que la formulación anterior fue publicada por Endlich et al. (1988) cuando trataron la media ponderada como una combinación de un estimador total ponderado dividido por un estimador del tamaño de la población, ^{[ 5 ]} basado en la formulación publicada por Cochran (1977), como una aproximación a la media de razón. Sin embargo, Endlich et al. no parecieron publicar esta derivación en su artículo (aunque mencionan que la usaron), y el libro de Cochran incluye una formulación ligeramente diferente. ^{[ 1 ] : 155} Aun así, es casi idéntica a las formulaciones descritas en secciones anteriores.

Debido a que no existe una forma analítica cerrada para la varianza de la media ponderada, se propuso en la literatura recurrir a métodos de replicación como el Jackknife y el Bootstrapping . ^{[ 1 ] : 321}

Para observaciones no correlacionadas con varianzas${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, la varianza de la media muestral ponderada es

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}}$

cuya raíz cuadrada${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$se puede denominar error estándar de la media ponderada (caso general) .

En consecuencia, si todas las observaciones tienen la misma varianza,${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}}$, la media muestral ponderada tendrá varianza

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}},}$

dónde${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$La varianza alcanza su valor máximo,${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$, cuando todos los pesos excepto uno son cero. Su valor mínimo se encuentra cuando todos los pesos son iguales (es decir, media no ponderada), en cuyo caso tenemos${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$, es decir, degenera en el error estándar de la media , al cuadrado.

Dado que siempre se pueden transformar pesos no normalizados en pesos normalizados, todas las fórmulas de esta sección se pueden adaptar a pesos no normalizados reemplazando todos${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$.

Si los pesos son pesos de frecuencia (donde un peso es igual al número de ocurrencias), entonces el estimador insesgado es:

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}}$

Esto aplica efectivamente la corrección de Bessel para ponderaciones de frecuencia. Por ejemplo, si los valores${\displaystyle \{2,2,4,5,5,5\}}$Si se extraen de la misma distribución, podemos tratar este conjunto como una muestra no ponderada o como una muestra ponderada.${\displaystyle \{2,4,5\}}$con pesos correspondientes${\displaystyle \{2,1,3\}}$y obtenemos el mismo resultado en ambos casos.

Si los pesos de frecuencia${\displaystyle \{w_{i}\}}$se normalizan a 1, entonces la expresión correcta después de la corrección de Bessel se convierte en

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}$

donde el número total de muestras es${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}}$(no${\displaystyle N}$). En cualquier caso, la información sobre el número total de muestras es necesaria para obtener una corrección imparcial, incluso si${\displaystyle w_{i}}$tiene un significado diferente al de peso de frecuencia.

El estimador solo puede ser insesgado si los pesos no están estandarizados ni normalizados , ya que estos procesos cambian la media y la varianza de los datos y, por lo tanto, conllevan una pérdida de la tasa base (el recuento de la población, que es un requisito para la corrección de Bessel).

Si en cambio los pesos son pesos de confiabilidad (valores no aleatorios que reflejan la confiabilidad relativa de la muestra, a menudo derivados de la varianza de la muestra), podemos determinar un factor de corrección para obtener un estimador insesgado. Suponiendo que cada variable aleatoria se muestrea de la misma distribución con media${\displaystyle \mu }$y variación real${\displaystyle \sigma _{\text{actual}}^{2}}$, teniendo en cuenta las expectativas que tenemos,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu )^{2}]}{N}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {1}{N}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left({\frac {N-1}{N}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\\\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu ^{*})^{2}]}{V_{1}}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}}$y${\displaystyle V_{2}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}$Por lo tanto, el sesgo en nuestro estimador es${\displaystyle \left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)}$, análogo al${\displaystyle \left({\frac {N-1}{N}}\right)}$sesgo en el estimador no ponderado (nótese también que${\displaystyle \ V_{1}^{2}/V_{2}=N_{eff}}$es el tamaño efectivo de la muestra ). Esto significa que para corregir el sesgo de nuestro estimador necesitamos dividir previamente por${\displaystyle 1-\left(V_{2}/V_{1}^{2}\right)}$, asegurando que el valor esperado de la varianza estimada sea igual a la varianza real de la distribución muestral . La estimación final insesgada de la varianza muestral es:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {w} }^{2}\ &={\frac {{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}{1-(V_{2}/V_{1}^{2})}}\\[4pt]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-\mu ^{*})^{2}}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}},\end{aligned}}}$^{[ 6 ]}

dónde${\displaystyle \operatorname {E} [s_{\mathrm {w} }^{2}]=\sigma _{\text{actual}}^{2}}$Los grados de libertad de esta varianza muestral ponderada e insesgada varían en consecuencia desde N  −  1 hasta  0. La desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada de la varianza anterior.

Como nota al margen, se han descrito otros enfoques para calcular la varianza muestral ponderada. ^{[ 7 ]}

Si los pesos son pesos de frecuencia , la estimación ponderada insesgada de la matriz de covarianza${\displaystyle \textstyle \mathbf {C} }$, con la corrección de Bessel, viene dada por: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-1}}.}$

Este estimador solo puede ser insesgado si los pesos no están estandarizados ni normalizados , ya que estos procesos cambian la media y la varianza de los datos y, por lo tanto, conllevan una pérdida de la tasa base (el recuento de la población, que es un requisito para la corrección de Bessel).

En el caso de los pesos de confiabilidad , los pesos se normalizan :

${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$

(Si no lo son, divida los pesos por su suma para normalizarlos antes de calcularlos)${\displaystyle V_{1}}$:

${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$

Luego, el vector de media ponderada${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} }$se puede simplificar a

${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.}$

y la estimación ponderada insesgada de la matriz de covarianza${\displaystyle \mathbf {C} }$es: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\left(\sum _{i=1}^{N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}}.\end{aligned}}}$

El razonamiento aquí es el mismo que en la sección anterior.

Dado que asumimos que los pesos están normalizados, entonces${\displaystyle V_{1}=1}$y esto se reduce a:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{1-V_{2}}}.}$

Si todos los pesos son iguales, es decir${\displaystyle w_{i}/V_{1}=1/N}$, entonces la media ponderada y la covarianza se reducen a la media muestral no ponderada y la covarianza mencionadas anteriormente.