Función de peso

En el entorno discreto, una función de peso${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$es una función positiva definida en un conjunto discreto${\displaystyle A}$, que suele ser finito o contable . La función de peso${\displaystyle w(a):=1}$Corresponde a la situación sin ponderación en la que todos los elementos tienen el mismo peso. Este peso se puede aplicar a diversos conceptos.

Si la función${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$es una función de valor real , entonces la suma no ponderada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle A}$se define como

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

pero dada una función de peso${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$, la suma ponderada o combinación cónica se define como

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

Una aplicación común de las sumas ponderadas surge en la integración numérica .

Si B es un subconjunto finito de A , se puede reemplazar la cardinalidad no ponderada | B | de B por la cardinalidad ponderada.

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Si A es un conjunto finito no vacío, se puede reemplazar la media no ponderada o el promedio

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

por la media ponderada o promedio ponderado

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

En este caso, solo son relevantes los pesos relativos .

Las medias ponderadas se utilizan comúnmente en estadística para compensar la presencia de sesgo . Para una cantidad${\displaystyle f}$medido en múltiples momentos independientes${\displaystyle f_{i}}$con varianza${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$La mejor estimación de la señal se obtiene promediando todas las mediciones con peso${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$y la varianza resultante es menor que cada una de las mediciones independientes.${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$El método de máxima verosimilitud pondera la diferencia entre el ajuste y los datos utilizando los mismos pesos .${\displaystyle w_{i}}$.

El valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los posibles valores que puede tomar, donde los pesos son las probabilidades respectivas . En términos más generales, el valor esperado de una función de una variable aleatoria es el promedio ponderado por la probabilidad de los valores que toma la función para cada posible valor de la variable aleatoria.

En las regresiones donde se supone que la variable dependiente está influenciada tanto por los valores actuales como por los rezagados (pasados) de la variable independiente , se estima una función de retardo distribuido , que es un promedio ponderado de los valores actuales y rezagados de la variable independiente. De manera similar, un modelo de media móvil especifica una variable en evolución como un promedio ponderado de los valores actuales y rezagados de una variable aleatoria.

La terminología función de peso surge de la mecánica : si uno tiene una colección de${\displaystyle n}$objetos sobre una palanca , con pesas${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{n}}$(donde el peso ahora se interpreta en el sentido físico) y ubicaciones${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$Entonces la palanca estará en equilibrio si el punto de apoyo de la palanca está en el centro de masa.

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

que también es el promedio ponderado de las posiciones${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$.

Si${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$es una función de valor real , entonces la integral no ponderada

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

puede generalizarse a la integral ponderada

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Tenga en cuenta que es posible que se necesite${\displaystyle f}$ser absolutamente integrable con respecto al peso${\displaystyle w(x)\,dx}$para que esta integral sea finita.

Si E es un subconjunto de${\displaystyle \Omega }$, entonces el volumen vol( E ) de E puede generalizarse al volumen ponderado

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

Si${\displaystyle \Omega }$tiene un volumen ponderado finito distinto de cero, entonces podemos reemplazar el promedio no ponderado

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

por el promedio ponderado

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\displaystyle \int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

Si${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$y${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$son dos funciones, se puede generalizar la forma bilineal no ponderada

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}

a una forma bilineal ponderada

${\displaystyle {\langle f,g\rangle }_{w}:=\int _{\Omega }f(x)g(x)w(x)\ dx.}$

Consulte la entrada sobre polinomios ortogonales para ver ejemplos de funciones ortogonales ponderadas .