Función de Weingarten

En matemáticas, las funciones de Weingarten son funciones racionales indexadas por particiones de enteros que se pueden usar para calcular integrales de productos de coeficientes de matrices sobre grupos clásicos . Fueron estudiadas por primera vez por Weingarten (1978), quien encontró su comportamiento asintótico, y nombradas por Collins (2003) , quien las evaluó explícitamente para el grupo unitario .

Grupos unitarios

Las funciones de Weingarten se utilizan para evaluar integrales sobre el grupo unitario U _d de productos de coeficientes de matrices.

Consideremos en general una integral de la forma $\int _ {U_ {d}}U_ {i_ {1}j_ {1}} \cdots U_ {i_ {n}j_ {n}}U_ {i_ {1}^{\prime }j_ {1}^{\prime }}^{*}\cdots U_ {i_ {n'}^{\prime }j_ {n'}^{\prime }}^{*}dU,$ Se puede demostrar que la integral sería cero, a menos que $n=n'$ . ^{[ 1 ]} Por lo tanto, consideremos solo integrales de la forma $\int _ {U_ {d}}U_ {i_ {1}j_ {1}} \cdots U_ {i_ {n}j_ {n}}U_ {i_ {1}^{\prime }j_ {1}^{\prime }}^{*}\cdots U_ {i_ {n}^{\prime }j_ {n}^{\prime }}^{*}dU,$ dónde $*$ denota conjugación compleja. Tenga en cuenta que $U_{ji}^{*}=(U^{\daga })_{ij}$ dónde $U^{\dagger }$ es la transpuesta conjugada de $U$ , por lo que se puede interpretar la expresión anterior como si fuera para el $i_{1}j_{1}\ldots i_{n}j_{n}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{n}i'_{n}$ elemento de matriz de $U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\dagger }\otimes \cdots \otimes U^{\dagger }$ .

Esta integral es igual a $\sum _{\sigma ,\tau \in S_{n}}\delta _{i_{1}i_{\sigma (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{i_{n}i_{\sigma (n)}^{\prime }}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{j_{n}j_{\tau (n)}^{\prime }}W_{\sigma ,\tau }(d)$ dónde $W_{\sigma ,\tau }(d)=\operatorname {Wg} (\sigma \tau ^{-1},d)$ , y $\operatorname {Wg}$ es la función de Weingarten , dada por $\operatorname {Wg} (\sigma ,d)={\frac {1}{n!^{2}}}\sum _{\lambda }{\frac {\chi ^{\lambda }(1)^{2}\chi ^{\lambda }(\sigma )}{s_{\lambda ,d}(1)}}$ donde la suma es sobre todas las particiones λ de n ( Collins 2003 ) . Aquí χ ^λ es el carácter de S _n correspondiente a la partición λ y s es el polinomio de Schur de λ , de modo que s _{λ , d} (1) es la dimensión de la representación de U _d correspondiente a λ.

Las funciones de Weingarten son funciones racionales en d . Pueden tener polos para valores pequeños de d , que se cancelan en la fórmula anterior. Existe una definición alternativa no equivalente de las funciones de Weingarten, donde solo se suman particiones con como máximo d partes. Esta ya no es una función racional de d , pero es finita para todos los enteros positivos d . Los dos tipos de funciones de Weingarten coinciden para d mayor que n , y cualquiera de ellas puede usarse en la fórmula de la integral.

Las integrales se denominan integrales de enlace en $U(N)$ teoría de gauge en red . ^{[ 1 ]} Véase ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} para un método gráfico para evaluar estas integrales, inspirado en diagramas de cuerdas cuánticas .

Ejemplos de funciones de Weingarten

Las primeras funciones de Weingarten ${\begin{aligned}\operatorname {Wg} (,d)&=1\\\operatorname {Wg} (1,d)&={\frac {1}{d}}\\\operatorname {Wg} (2,d)&={\frac {-1}{d(d^{2}-1)}}\\\operatorname {Wg} (1^{2},d)&={\frac {1}{d^{2}-1}}\\\operatorname {Wg} (3,d)&={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\\\operatorname {Wg} (21,d)&={\frac {-1}{(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\\\operatorname {Wg} (1^{3},d)&={\frac {d^{2}-2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\\\nombre_operador {Wg} (4,d)&={\frac {-5}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\\\nombre_operador {Wg} (31,d)&={\frac {2d^{2}-3}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\\\nombre_operador {Wg} (2^{2},d)&={\frac {d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\\\nombre_operador {Wg} (21^{2},d)&={\frac {-1}{d(d^{2}-1)(d^{2}-9)}}\\\operatorname {Wg} (1^{4},d)&={\frac {d^{4}-8d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}\end{aligned}}$ donde las permutaciones σ se denotan por sus formas cíclicas. Por ejemplo, en $\operatorname {Wg} (,d)=1$ , la permutación es la permutación trivial en 0 elementos. En $\operatorname {Wg} (21^{2},d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)(d^{2}-9)}}$ La permutación es la permutación de 4 elementos que conserva 2 elementos e intercambia 2 elementos.

Existen programas de álgebra computacional para producir estas expresiones. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Ejemplos de integrales de enlace

${\begin{aligned}\int _{U_{d}}dUU_{ij}{\bar {U}}_{k\ell }&=\delta _{ik}\delta _{j\ell }\operatorname {Wg} (1,d)={\frac {\delta _{ik}\delta _{j\ell }}{d}}\\\int _{U_{d}}dUU_{ij}U_{k\ell }{\bar {U}}_{mn}{\bar {U}}_{pq}&=(\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kp}\delta _{\ell q}+\delta _{ip}\delta _{jq}\delta _{km}\delta _{\ell n})\operatorname {Wg} (1^{2},d)+(\delta _{im}\delta _{jq}\delta _{kp}\delta _{\ell n}+\delta _{ip}\delta _{jn}\delta _{km}\delta _{\ell q})\operatorname {Wg} (2,d)\\\int _{U_{d}}dU\;{\overline {U_{11}U_{22}U_{33}}}U_{12}U_{23}U_{31}&=\operatorname {Wg} (3,d)={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}\end{aligned}}$

Asintótica

Dada una permutación $\sigma$ Hay una parte trivial y una parte no trivial. La parte trivial fija los elementos, y la parte no trivial permuta los elementos en ciclos. Esto se puede escribir en la notación de ciclos para permutaciones . Por ejemplo, la siguiente permutación $(123)(45)(6)(7)(8)$ tiene la parte no trivial $(123)(45)$ .

Dada una permutación fija $\sigma$ en $n$ elementos, a medida que el tamaño del grupo unitario crece a $d\to \infty$ , tenemos la fórmula asintótica $\operatorname {Wg} (\sigma ,d)=d^{-n-|\sigma |}\left[\prod _{C_{i}\in \sigma }(-1)^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}+O(d^{-2})\right]$ dónde $C_{1},C_{2},\dots$ son los ciclos de $\sigma$ , $|C_{i}|$ es la duración del ciclo $C_{i}$ , $c_{n}:={\frac {(2n)!}{n!(n+1)!}}$ es un número catalán y $|\sigma |$ es el número más pequeño de transposiciones (intercambio por pares) que $\sigma$ está compuesto de. Esta fórmula se puede utilizar para demostrar que el álgebra del conjunto unitario gaussiano converge al álgebra de probabilidad libre . ^{[ 1 ]}

Existen expansiones de orden superior, de la forma $d^{-n-|\sigma |}(a_{0}+a_{2}d^{-2}+a_{4}d^{-4}+\cdots )$ dónde $a_{0}$ se indica arriba, y $a_{2},a_{4},\dots$ son números reales que dependen de $\sigma$ pero no $d$ . La expansión completa es: ^{[ 1 ]} $W_{\rho \sigma }(d)={\frac {(-1)^{\left|\rho ^{-1}\sigma \right|}}{d^{n+\left|\rho ^{-1}\sigma \right|}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\vec {W}}_{k}(\rho ,\sigma )}{d^{2k}}},$ dónde ${\vec {W}}_{k}(\rho ,\sigma )$ es el número de recorridos débilmente monótonos en $S_{n}$ de $\rho$ a $\sigma$ de longitud $\left|\rho ^{-1}\sigma \right|+2k$ Para definir un paseo débilmente monótono, construimos el grafo de Cayley de $S_{n}$ Cada arista dirigida se obtiene multiplicando por la derecha por una transposición . Ahora, un camino débilmente monótono en el grafo de Cayley es un camino $(i_{1}j_{1}),(i_{2}j_{2}),\dots$ de tal manera que $j_{1}\leq j_{2}\leq \cdots$ .

Existe un método diagramático ^{[ 6 ]} para calcular sistemáticamente las integrales sobre el grupo unitario como una serie de potencias en 1/d .

Ejemplo asintótico

Dejar $\sigma =(123)(45)(6)(7)(8)$ Actúa sobre $n=8$ elementos. Se descompone en ciclos con longitudes $|C_{1}|=3$ , $|C_{2}|=2$ , $|C_{3}|=|C_{4}|=|C_{5}|=1$ .

Aplicar $|\sigma |=n-k$ con $k=5$ ciclos da $|\sigma |=3$ .

Los factores catalanes son $c_{2}=2$ para el ciclo 3, $c_{1}=1$ para el ciclo 2, y $c_{0}=1$ para cada 1-ciclo, por lo que el producto en el término principal es igual a $(-1)^{2}c_{2}\cdot (-1)^{1}c_{1}\cdot 1^{3}=-2$ .

Por lo tanto, el término asintótico principal es $\operatorname {Wg} (\sigma ,d)=-2d^{-11}+O(d^{-13})$ .

Nótese que en el cálculo anterior, la parte trivial $|C_{3}|=|C_{4}|=|C_{5}|=1$ no importaba en absoluto. Esto se debe a que $(-1)^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}=1$ En ese caso. Por lo tanto, en general, la expresión asintótica depende solo de la parte no trivial de la permutación.

Grupos ortogonales y simplécticos

Para grupos ortogonales y simplécticos , las funciones de Weingarten fueron evaluadas por Collins y Śniady (2006) . Su teoría es similar a la del grupo unitario. Se parametrizan mediante particiones de tal forma que todas las partes tienen un tamaño par.

Lecturas adicionales

Presentaciones

Mele, Antonio Anna (2024-05-08). "Introducción a las herramientas de la medida de Haar en información cuántica: un tutorial para principiantes" . Quantum . 8 : 1340. arXiv : 2307.08956 . Bibcode : 2024Quant...8.1340M . doi : 10.22331/q-2024-05-08-1340 . ISSN 2521-327X .
Collins, Benoit; Matsumoto, Sho; Novak, Jonathan (1 de mayo de 2022). "El cálculo de Weingarten" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 69 (5): 1. doi : 10.1090/noti2474 . ISSN 0002-9920 .

Obras históricas

Collins, Benoît (2003), "Momentos y cumulantes de variables aleatorias polinomiales en grupos unitarios, la integral de Itzykson-Zuber y probabilidad libre", International Mathematics Research Notices , 2003 (17): 953–982 , arXiv : math-ph/0205010 , doi : 10.1155/S107379280320917X , MR 1959915
Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006), "Integración con respecto a la medida de Haar en un grupo unitario, ortogonal y simpléctico", Communications in Mathematical Physics , 264 (3): 773–795 , arXiv : math-ph/0402073 , Bibcode : 2006CMaPh.264..773C , doi : 10.1007/s00220-006-1554-3 , MR 2217291 , S2CID 16122807
Weingarten, Don (1978), "Comportamiento asintótico de integrales de grupo en el límite de rango infinito", Journal of Mathematical Physics , 19 (5): 999–1001 , Bibcode : 1978JMP....19..999W , doi : 10.1063/1.523807 , MR 0471696

Referencias

1 2 3 4 Collins, Benoit; Matsumoto, Sho; Novak, Jonathan (2022-05-01). "El cálculo de Weingarten" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 69 (5): 1. doi : 10.1090/noti2474 . ISSN 0002-9920 .
↑ Collins, Benoît; Nechita, Ion (2010-07-01). "Canales cuánticos aleatorios I: cálculo gráfico y el fenómeno del estado de Bell" . Communications in Mathematical Physics . 297 (2): 345– 370. arXiv : 0905.2313 . Bibcode : 2010CMaPh.297..345C . doi : 10.1007/s00220-010-1012-0 . ISSN 1432-0916 .
↑ Ion Nechita, "Cálculo de Weingarten y aplicaciones a la teoría de la información cuántica" – Reunión anual del SFB TRR 195, Tubinga – septiembre de 2018
↑ Z. Puchała y JA Miszczak, Integración simbólica con respecto a la medida de Haar en el grupo unitario en Mathematica. , arXiv:1109.4244 (2011).
↑ M. Fukuda, R. König e I. Nechita, RTNI: un integrador simbólico para redes tensoriales aleatorias de Haar. , arXiv:1902.08539 (2019).
↑ Brouwer, PW; Beenakker, CWJ (1996). "Método diagramático de integración sobre el grupo unitario, con aplicaciones al transporte cuántico en sistemas mesoscópicos". Journal of Mathematical Physics . 37 (10): 4904– 4934. arXiv : cond-mat/9604059 . Bibcode : 1996JMP....37.4904B . doi : 10.1063/1.531667 .

[:0-1] 1 2 3 4 Collins, Benoit; Matsumoto, Sho; Novak, Jonathan (2022-05-01). "El cálculo de Weingarten" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 69 (5): 1. doi : 10.1090/noti2474 . ISSN 0002-9920 .

[2] Collins, Benoît; Nechita, Ion (2010-07-01). "Canales cuánticos aleatorios I: cálculo gráfico y el fenómeno del estado de Bell" . Communications in Mathematical Physics . 297 (2): 345– 370. arXiv : 0905.2313 . Bibcode : 2010CMaPh.297..345C . doi : 10.1007/s00220-010-1012-0 . ISSN 1432-0916 .

[3] Ion Nechita, "Cálculo de Weingarten y aplicaciones a la teoría de la información cuántica" – Reunión anual del SFB TRR 195, Tubinga – septiembre de 2018

[4] Z. Puchała y JA Miszczak, Integración simbólica con respecto a la medida de Haar en el grupo unitario en Mathematica. , arXiv:1109.4244 (2011).

[5] M. Fukuda, R. König e I. Nechita, RTNI: un integrador simbólico para redes tensoriales aleatorias de Haar. , arXiv:1902.08539 (2019).

[6] Brouwer, PW; Beenakker, CWJ (1996). "Método diagramático de integración sobre el grupo unitario, con aplicaciones al transporte cuántico en sistemas mesoscópicos". Journal of Mathematical Physics . 37 (10): 4904– 4934. arXiv : cond-mat/9604059 . Bibcode : 1996JMP....37.4904B . doi : 10.1063/1.531667 .

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