Prueba t de Welch

La prueba t de Welch , o prueba t de varianzas desiguales en estadística , es una prueba de localización de dos muestras que se utiliza para contrastar la hipótesis (nula) de que dos poblaciones tienen medias iguales. Recibe su nombre de su creador, Bernard Lewis Welch , y es una adaptación de la prueba t de Student ^{[ 1 ] .} Es más fiable cuando las dos muestras tienen varianzas desiguales y posiblemente tamaños de muestra desiguales ^{[ 2 , 3 ]} . Estas pruebas se suelen denominar pruebas t de muestras independientes o no pareadas , ya que se aplican normalmente cuando las unidades estadísticas subyacentes a las dos muestras que se comparan no se solapan. Dado que la prueba t de Welch ha sido menos popular que la prueba t de Student ^{[ 2 ]} y puede resultar menos familiar para los lectores, un nombre más informativo es « prueba t de varianzas desiguales de Welch » o, simplemente, « prueba t de varianzas desiguales ». ^{[ 3 ]} A veces se la conoce como prueba de Satterthwaite o prueba de Welch-Satterthwaite .

La prueba t de Student asume que las medias muestrales que se comparan para dos poblaciones tienen una distribución normal y que las poblaciones tienen varianzas iguales. La prueba t de Welch está diseñada para varianzas poblacionales desiguales, pero se mantiene el supuesto de normalidad. ^{[ 1 ]} La prueba t de Welch es una solución aproximada al problema de Behrens-Fisher .

La prueba t de Welch define el estadístico t mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle t={\frac {\Delta {\overline {X}}}{s_{\Delta {\bar {X}}}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{s_{{\bar {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}},}$

${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}={\frac {s_{i}}{\sqrt {N_{i}}}},}$

dónde${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$y${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}}$son los${\displaystyle i}$-ésima media muestral y su error estándar , con${\displaystyle s_{i}}$denotando la desviación estándar de la muestra corregida y el tamaño de la muestra.${\displaystyle N_{i}}$A diferencia de la prueba t de Student , el denominador no se basa en una estimación de la varianza combinada .

Los grados de libertad${\displaystyle \nu }$La varianza asociada a esta estimación se aproxima utilizando la ecuación de Welch-Satterthwaite : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \nu \approx {\frac {\left({\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2}\nu _{1}}}+{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\nu _{2}}}}}={\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{{\frac {s_{{\bar {X}}_{1}}^{4}}{\nu _{1}}}+{\frac {s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}{\nu _{2}}}}},}$

dónde${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$son los grados de libertad asociados con la i -ésima estimación de la varianza.

Esta expresión se puede simplificar cuando${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$:

${\displaystyle \nu \approx \nu '{\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{s_{{\bar {X}}_{1}}^{4}+s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}},}$

dónde${\displaystyle \nu '=\nu _{1}=\nu _{2}=N_{1}-1=N_{2}-1}$son los grados de libertad asociados a cada estimación de varianza.

La estadística se obtiene aproximadamente de la distribución t , ya que tenemos una aproximación de la distribución chi-cuadrado . Esta aproximación se realiza mejor cuando ambos${\displaystyle N_{1}}$y${\displaystyle N_{2}}$son mayores que 5. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Una vez t y${\displaystyle \nu }$Una vez calculados, estos estadísticos pueden utilizarse con la distribución t para probar una de dos posibles hipótesis nulas :

• Una prueba de dos colas , en la que las dos medias poblacionales son iguales; o
• Una prueba unilateral , en la que una de las medias poblacionales es mayor o igual que la otra.

Los grados de libertad aproximados son números reales.${\displaystyle \left(\nu \in \mathbb {R} ^{+}\right)}$y se utilizan como tales en software orientado a la estadística, mientras que en las hojas de cálculo se redondean al entero más cercano.

Basándonos en la prueba t de Welch, también es posible construir un intervalo de confianza bilateral para la diferencia de medias (sin necesidad de asumir varianzas iguales). Esto se logrará tomando:

${\displaystyle CI(\mu _{1}-\mu _{2}):{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\pm {\sqrt {{s_{{\bar {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}\times t_{\nu ,1-\alpha /2}}$

Basándonos en las definiciones anteriores de${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}}$y${\displaystyle \nu }$.

La prueba t de Welch es más robusta que la prueba t de Student y mantiene tasas de error de tipo I cercanas a las nominales para varianzas desiguales y tamaños de muestra desiguales bajo normalidad. Además, la potencia de la prueba t de Welch se aproxima a la de la prueba t de Student , incluso cuando las varianzas poblacionales son iguales y los tamaños de muestra están equilibrados. ^{[ 2 ]} La prueba t de Welch se puede generalizar a más de 2 muestras, ^{[ 7 ]} lo que es más robusto que el análisis de varianza unidireccional (ANOVA).

No se recomienda realizar una prueba previa para comprobar la igualdad de varianzas y luego elegir entre la prueba t de Student o la prueba t de Welch . ^{[ 8 ]} En cambio, la prueba t de Welch se puede aplicar directamente y sin desventajas sustanciales con respecto a la prueba t de Student , como se indicó anteriormente. La prueba t de Welch sigue siendo robusta para distribuciones asimétricas y tamaños de muestra grandes. ^{[ 9 ]} La fiabilidad disminuye para distribuciones asimétricas y muestras más pequeñas, donde posiblemente se podría realizar la prueba t de Welch . ^{[ 10 ]}

También se ha desarrollado una versión de la prueba t de Welch basada en permutaciones y remuestreo (bootstrap) para abordar los requisitos de distribución sin depender de grandes tamaños de muestra. El estadístico t de Welch satisface además el requisito de muestras intercambiables en pruebas de permutación en presencia de varianzas desiguales, un ejemplo del problema de Behrens-Fisher. Este enfoque se ha discutido ampliamente en la literatura estadística. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

En R se encuentran disponibles implementaciones de variantes de la prueba t de Welch basadas en remuestreo, incluyendo procedimientos de permutación en los paquetes MKinfer ( perm.t.test) y nptest ( np.loc.test), así como una versión bootstrap en MKinfer ( boot.t.test). ^{[ 36 ] [ 37 ]}

• Prueba t de Student
• Prueba Z
• Experimento factorial
• Análisis de varianza unidireccional
• El estadístico T cuadrado de dos muestras de Hotelling , una extensión multivariada de la prueba t de Welch.