El problema de Wetzel

En matemáticas , el problema de Wetzel trata sobre los límites de la cardinalidad de un conjunto de funciones analíticas que, para cada uno de sus argumentos, toman pocos valores distintos. Recibe su nombre de John Wetzel, matemático de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Sea F una familia de funciones analíticas distintas en un dominio dado con la propiedad de que, para cada x en el dominio, las funciones en F asignan a x un conjunto numerable de valores. En su tesis doctoral, Wetzel preguntó si esta suposición implica que F es necesariamente numerable. ^{[ 3 ]} Paul Erdős, a su vez, conoció el problema en la Universidad de Michigan , probablemente a través de Lee Albert Rubel . ^{[ 1 ]} En su artículo sobre el problema, Erdős atribuyó a un matemático anónimo la observación de que, cuando cada x se asigna a un conjunto finito de valores, F es necesariamente finito. ^{[ 4 ]}

Sin embargo, como demostró Erdős, la situación para conjuntos numerables es más complicada: la respuesta a la pregunta de Wetzel es sí si y solo si la hipótesis del continuo es falsa. ^{[ 4 ]} Es decir, la existencia de un conjunto no numerable de funciones que asigna a cada argumento x un conjunto numerable de valores es equivalente a la no existencia de un conjunto no numerable de números reales cuya cardinalidad sea menor que la cardinalidad del conjunto de todos los números reales. Una dirección de esta equivalencia también fue demostrada independientemente, pero no publicada, por otro matemático de la UIUC, Robert Dan Dixon. ^{[ 1 ]} De la independencia de la hipótesis del continuo, demostrada en 1963 por Paul Cohen , ^{[ 5 ]} se deduce que la respuesta al problema de Wetzel es independiente de la teoría de conjuntos ZFC . ^{[ 1 ]} La demostración de Erdős es tan breve y elegante que se considera una de las Demostraciones del LIBRO . ^{[ 2 ]}

En caso de que la hipótesis del continuo sea falsa, Erdős preguntó si existe una familia de funciones analíticas, con la cardinalidad del continuo, tal que cada número complejo tenga un conjunto de imágenes menor que el continuo. Como demostraron posteriormente Ashutosh Kumar y Saharon Shelah , tanto las respuestas afirmativas como las negativas a esta pregunta son consistentes. ^{[ 6 ]}