función de distancia de Weyl

En geometría combinatoria , la función de distancia de Weyl se comporta de forma similar a la función de distancia de un espacio métrico , pero en lugar de tomar valores en los números reales positivos, toma valores en un grupo de reflexiones , denominado grupo de Weyl (en honor a Hermann Weyl ). Esta función de distancia se define sobre el conjunto de cámaras en una estructura matemática conocida como edificio , y su valor sobre un par de cámaras constituye una secuencia mínima de reflexiones (en el grupo de Weyl) para ir de una cámara a la otra. Una secuencia adyacente de cámaras en un edificio se conoce como galería, por lo que la función de distancia de Weyl es una forma de codificar la información de una galería mínima entre dos cámaras. En particular, el número de reflexiones para ir de una cámara a otra coincide con la longitud de la galería mínima entre las dos cámaras, lo que proporciona una métrica natural (la métrica de galería) en el edificio. Según Abramenko y Brown (2008) , la función de distancia de Weyl es algo así como un vector geométrico : codifica tanto la magnitud (distancia) entre dos cámaras de un edificio, como la dirección entre ellas.

Aquí registramos las definiciones de Abramenko y Brown (2008) . Sea Σ ( W , S ) el complejo de Coxeter asociado a un grupo W generado por un conjunto de reflexiones S . Los vértices de Σ ( W , S ) son los elementos de W , y las cámaras del complejo son las clases laterales de S en W . Los vértices de cada cámara pueden ser coloreados de manera biunívoca por los elementos de S de modo que ningún vértice adyacente del complejo reciba el mismo color. Esta coloración, aunque esencialmente canónica, no es del todo única. La coloración de una cámara dada no está determinada unívocamente por su realización como clase lateral de S . Pero una vez que se ha fijado la coloración de una sola cámara, el resto del complejo de Coxeter es unívocamente coloreable. Fijemos dicha coloración del complejo.

Una galería es una secuencia de cámaras adyacentes.

${\displaystyle C_{0},C_{1},\dots ,C_{n}.}$

Debido a que estas cámaras son adyacentes, cualquier par consecutivo${\displaystyle C_{i-1},C_{i}}$de cámaras comparten todos los vértices excepto uno. Denote el color de este vértice por${\displaystyle s_{i}}$. La función de distancia de Weyl entre${\displaystyle C_{0}}$y${\displaystyle C_{n}}$se define por

${\displaystyle \delta (C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}.}$

Se puede demostrar que esto no depende de la elección de la galería que conecta${\displaystyle C_{0}}$y${\displaystyle C_{n}}$.

Ahora bien, un edificio es un complejo simplicial organizado en apartamentos, cada uno de los cuales es un complejo de Coxeter (que satisface ciertos axiomas de coherencia). Los edificios son coloreables, ya que los complejos de Coxeter que los componen son coloreables. Una coloración de un edificio está asociada con una elección uniforme de grupo de Weyl para los complejos de Coxeter que lo componen, lo que permite considerarlo como una colección de palabras en el conjunto de colores con relaciones. Ahora bien, si${\displaystyle C_{0},\dots ,C_{n}}$es una galería en un edificio, luego defina la distancia de Weyl entre${\displaystyle C_{0}}$y${\displaystyle C_{n}}$por

${\displaystyle \delta (C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$

donde el${\displaystyle s_{i}}$son como se indicó anteriormente. Como en el caso de los complejos de Coxeter, esto no depende de la elección de la galería que conecta las cámaras.${\displaystyle C_{0}}$y${\displaystyle C_{n}}$.

La distancia de la galería${\ Displaystyle d (C_ {0}, C_ {n})}$se define como la longitud mínima de palabra necesaria para expresar${\displaystyle \delta (C_{0},C_{n})}$en el grupo Weyl. Simbólicamente,${\displaystyle d(C_{0},C_{n})=\ell (\delta (C_{0},C_{n}))}$.

La función de distancia de Weyl satisface varias propiedades que son análogas a las de las funciones de distancia en espacios métricos:

• ${\displaystyle \delta (C,D)=1}$si y solo si${\displaystyle C=D}$(el elemento de grupo 1 corresponde a la palabra vacía en S ). Esto corresponde a la propiedad${\displaystyle d(C,D)=0}$si y solo si${\displaystyle C=D}$de la métrica de la galería ( Abramenko y Brown 2008 , p. 199) : 
• ${\displaystyle \delta (C,D)=\delta (D,C)^{-1}}$(la inversión corresponde a la inversión de palabras en el alfabeto S ). Esto corresponde a la simetría.${\displaystyle d(C,D)=d(D,C)}$de la métrica de la galería.
• Si${\displaystyle \delta (C',C)=s\in S}$y${\displaystyle \delta (C,D)=w}$, entonces${\displaystyle \delta (C',D)}$es w o sw . Además, si${\displaystyle \ell (sw)=\ell (w)+1}$, entonces${\displaystyle \delta (C',D)=sw}$Esto corresponde a la desigualdad triangular .

Además de las propiedades enumeradas anteriormente, la función de distancia de Weyl satisface la siguiente propiedad:

• Si${\displaystyle \delta (C,D)=w}$, entonces para cualquier${\displaystyle s\in S}$Hay una cámara${\displaystyle C'}$, de tal manera que${\displaystyle \delta (C',C)=s}$y${\displaystyle \delta (C',D)=sw}$.

De hecho, esta propiedad, junto con las dos enumeradas en la sección "Propiedades", proporciona una caracterización "métrica" ​​abstracta de los edificios, como sigue. Supongamos que ( W , S ) es un sistema de Coxeter que consiste en un grupo de Weyl W generado por reflexiones pertenecientes al subconjunto S. Un edificio de tipo ( W , S ) es un par que consiste en un conjunto C de cámaras y una función:

${\displaystyle \delta :C\times C\to W}$

De modo que se cumplan las tres propiedades mencionadas anteriormente. Entonces C posee la estructura canónica de un edificio, en la que δ es la función de distancia de Weyl.

• Abramenko, P.; Brown, K. (2008), Edificios: Teoría y aplicaciones , Springer

• Mike Davis, Cohomología de grupos y edificios de Coxeter , MSRI 2007.