Transformación de Wigner-Weyl

La transformada de Weyl (o cuantización de Weyl ) de la función f viene dada por el siguiente operador en el espacio de Hilbert, ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En todo el texto, ħ es la constante de Planck reducida .

Resulta instructivo realizar primero las integrales p y q en la fórmula anterior, lo que tiene el efecto de calcular la transformada de Fourier ordinaria.${\displaystyle {\tilde {f}}}$de la función f , mientras se deja el operador${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$. En ese caso, la transformada de Weyl se puede escribir como ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$.

Por lo tanto, podemos pensar en el mapa de Weyl de la siguiente manera: Tomamos la transformada de Fourier ordinaria de la función${\displaystyle f(p,q)}$, pero luego, al aplicar la fórmula de inversión de Fourier, sustituimos los operadores cuánticos.${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$para las variables clásicas originales p y q , obteniendo así una "versión cuántica de f ".

Una forma menos simétrica, pero útil para aplicaciones, es la siguiente:

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

El mapa de Weyl también puede expresarse en términos de los elementos de la matriz del núcleo integral de este operador, ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(xy)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

La inversa del mapa de Weyl anterior es el mapa de Wigner (o transformada de Wigner ), que fue introducido por Eugene Wigner, ^{[ 9 ]} que lleva el operador Φ de vuelta a la función núcleo del espacio de fases original f ,

Por ejemplo, el mapa de Wigner del operador de distribución térmica del oscilador.${\displaystyle \exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)}$ es ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).}$

Si uno reemplaza${\displaystyle \Phi [f]}$En la expresión anterior con un operador arbitrario, la función resultante f puede depender de la constante de Planck reducida ħ y puede describir procesos cuántico-mecánicos, siempre que esté compuesta adecuadamente a través del producto estrella , a continuación. ^{[ 10 ]} A su vez, el mapa de Weyl del mapa de Wigner se resume mediante la fórmula de Groenewold , ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

Si bien las fórmulas anteriores brindan una buena comprensión de la cuantización de Weyl de un observable muy general en el espacio de fases, no son muy convenientes para realizar cálculos en observables simples, como aquellos que son polinomios en${\displaystyle q}$y${\displaystyle p}$En secciones posteriores, veremos que en dichos polinomios, la cuantización de Weyl representa el ordenamiento totalmente simétrico de los operadores no conmutativos.${\displaystyle Q}$y${\displaystyle P}$. Por ejemplo, el mapa de Wigner del operador de momento angular al cuadrado cuántico L ² no es solo el momento angular al cuadrado clásico, sino que además contiene un término de desplazamiento − 3 ħ ² /2 , que da cuenta del momento angular no nulo de la órbita de Bohr del estado fundamental .

La acción de la cuantización de Weyl sobre funciones polinómicas de${\displaystyle q}$y${\displaystyle p}$está completamente determinado por la siguiente fórmula simétrica: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

para todos los números complejos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. A partir de esta fórmula, no es difícil demostrar que la cuantización de Weyl en una función de la forma${\displaystyle q^{k}p^{l}}$da el promedio de todos los posibles ordenamientos de${\displaystyle k}$factores de${\displaystyle Q}$y${\displaystyle l}$factores de${\displaystyle P}$:$${\displaystyle \prod _{j=1}^{N}\xi _{k_{j}}~~\longmapsto ~~{\frac {1}{N!}}\sum _{\sigma \in S_{N}}\prod _{j=1}^{N}\Xi _{k_{\sigma (j)}}}$$dónde${\displaystyle \xi _{j}=q_{j},\xi _{n+j}=p_{j}}$, y${\displaystyle S_{N}}$es el conjunto de permutaciones sobre N elementos .

Por ejemplo, tenemos

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Si bien este resultado es conceptualmente natural, no es conveniente para los cálculos cuando${\displaystyle k}$y${\displaystyle l}$son grandes. En tales casos, podemos usar en su lugar la fórmula de McCoy ^{[ 12 ].}

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Esta expresión da una respuesta aparentemente diferente para el caso de${\displaystyle p^{2}q^{2}}$a partir de la expresión totalmente simétrica anterior. Sin embargo, no hay contradicción, ya que las relaciones de conmutación canónicas permiten más de una expresión para el mismo operador. (Al lector le puede resultar instructivo utilizar las relaciones de conmutación para reescribir la fórmula totalmente simétrica para el caso de${\displaystyle p^{2}q^{2}}$en términos de los operadores${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$,${\displaystyle QP^{2}Q}$, y${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$y verificar la primera expresión en la fórmula de McCoy con${\displaystyle m=n=2}$.)

Se cree ampliamente que la cuantización de Weyl, entre todos los esquemas de cuantización, es la que más se aproxima a mapear el corchete de Poisson en el lado clásico al conmutador en el lado cuántico. (Una correspondencia exacta es imposible, a la luz del teorema de Groenewold ). Por ejemplo, Moyal demostró que

Teorema : Si${\displaystyle f(q,p)}$es un polinomio de grado como máximo 2 y${\displaystyle g(q,p)}$es un polinomio arbitrario, entonces tenemos${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$.

• Si f es una función de valor real , entonces su imagen de mapa de Weyl Φ [ f ] es autoadjunta .
• Si f es un elemento del espacio de Schwartz , entonces Φ [ f ] es de clase traza .
• En términos más generales, Φ [ f ] es un operador no acotado densamente definido .
• La aplicación Φ [ f ] es biyectiva en el espacio de Schwartz (como subespacio de las funciones de cuadrado integrable).