prueba de matriz de información

En econometría , la prueba de la matriz de información se utiliza para determinar si un modelo de regresión está mal especificado . La prueba fue desarrollada por Halbert White , ^{[ 1 ]} quien observó que en un modelo correctamente especificado y bajo supuestos de regularidad estándar, la matriz de información de Fisher puede expresarse de dos maneras: como el producto exterior del gradiente de la función de log-verosimilitud, o como una función de su matriz hessiana .

Consideremos un modelo lineal.${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} \mathbf {\beta } +\mathbf {u} }$donde los errores${\displaystyle \mathbf {u} }$se supone que están distribuidos${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}\mathbf {I} )}$. Si los parámetros${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \sigma ^{2}}$están apilados en el vector${\displaystyle \mathbf {\theta } ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}\beta &\sigma ^{2}\end{bmatrix}}}$, la función de verosimilitud logarítmica resultante es

${\displaystyle \ell (\mathbf {\theta } )=-{\frac {n}{2}}\log \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta } \right)^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta } \right)}$

La matriz de información puede expresarse entonces como

${\displaystyle \mathbf {I} (\mathbf {\theta } )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}\right)\left({\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}\right)^{\mathsf {T}}\right]}$

Ese es el valor esperado del producto exterior del gradiente o puntuación . En segundo lugar, se puede escribir como el negativo de la matriz hessiana de la función de verosimilitud logarítmica.

${\displaystyle \mathbf {I} (\mathbf {\theta } )=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}\ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } \,\partial \mathbf {\theta } ^{\mathsf {T}}}}\right]}$

Si el modelo está correctamente especificado, ambas expresiones deberían ser iguales. La combinación de las formas equivalentes produce:

${\displaystyle \mathbf {\Delta } (\mathbf {\theta } )=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial ^{2}\ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } \,\partial \mathbf {\theta } ^{\mathsf {T}}}}+{\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}{\frac {\partial \ell (\mathbf {\theta } )}{\partial \mathbf {\theta } }}\right]}$

dónde${\displaystyle \mathbf {\Delta } (\mathbf {\theta } )}$es un${\displaystyle (r\times r)}$matriz aleatoria , donde${\displaystyle r}$es el número de parámetros. White demostró que los elementos de${\displaystyle n^{-1/2}\mathbf {\Delta } (\mathbf {\hat {\theta }} )}$, dónde${\displaystyle \mathbf {\hat {\theta }} }$es el MLE, se distribuyen asintóticamente de forma normal con media cero cuando el modelo está correctamente especificado. ^{[ 2 ]} Sin embargo, en muestras pequeñas, la prueba generalmente tiene un rendimiento deficiente. ^{[ 3 ]}

• Krämer, W.; Sonnberger, H. (1986). "El modelo de regresión lineal bajo prueba" . Heidelberg: Physica-Verlag. págs. 105 a 110. ISBN  3-7908-0356-1.
• White, Halbert (1994). «Prueba de matriz de información» . Estimación, inferencia y análisis de especificaciones . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 300–344 . ISBN  0-521-25280-6.