Análisis de ruido blanco

En teoría de probabilidad , una rama de las matemáticas , el análisis de ruido blanco , también conocido como cálculo de Hida, es un marco para el cálculo estocástico y de dimensión infinita , basado en el espacio de probabilidad de ruido blanco gaussiano , que se compara con el cálculo de Malliavin basado en el proceso de Wiener . ^[1] Fue iniciado por Takeyuki Hida en sus Notas de la conferencia matemática de Carleton de 1975. ^[2]

El término ruido blanco se utilizó por primera vez para señales con un espectro plano.

La medida de probabilidad de ruido blanco en el espacio de distribuciones templadas tiene la función característica ^[3]${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle S'(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C(f)=\int _{S'(\mathbb {R} )}\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\,d\mu (\omega )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }f^{2}(t)\,dt\right),\quad f\in S(\mathbb {R} ).}$

Una versión del movimiento browniano de Wiener se obtiene mediante el emparejamiento dual $Estilo de visualización B(t)$

${\displaystyle B(t)=\langle \omega ,1\!\!1_{[0,t)}\rangle ,}$

donde es la función indicadora del intervalo . Informalmente ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,t)}}$${\estilo de visualización [0,t)}$

${\displaystyle B(t)=\int _{0}^{t}\omega (t)\,dt}$

y en un sentido generalizado

${\displaystyle \omega(t)={\frac {dB(t)}{dt}}.}$

Fundamental para el análisis del ruido blanco es el espacio de Hilbert.

${\displaystyle (L^{2}):=L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right),}$

generalizando los espacios de Hilbert a dimensión infinita. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n},e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}d^{n}x)}$

Una base ortonormal en este espacio de Hilbert, que generaliza la de los polinomios de Hermite, está dada por los llamados polinomios "Wick", o " normalmente ordenados ", con y${\displaystyle \left\langle {:\omega ^{n}:},f_{n}\right\rangle }$${\displaystyle {:\omega ^{n}:}\en S'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f_{n}\in S(\mathbb {R} ^{n})}$

con normalización

${\displaystyle \int _{S'(\mathbb {R} )}\left\langle :\omega ^{n}:,f_{n}\right\rangle ^{2}\,d\mu (\omega )=n!\int f_{n}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,d^{n}x,}$

que implica el isomorfismo de Itô-Segal-Wiener del espacio de Hilbert de ruido blanco con el espacio de Fock : ${\estilo de visualización (L^{2})}$

${\displaystyle L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right)\simeq \bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} L^{2}(\mathbb {R} ^{n},n!\,d^{n}x).}$

La "expansión del caos"

${\displaystyle \varphi (\omega )=\sum _{n}\left\langle :\omega ^{n}:,f_{n}\right\rangle }$

En términos de polinomios de Wick, corresponde a la expansión en términos de integrales de Wiener múltiples . Las martingalas brownianas se caracterizan por funciones de núcleo que dependen únicamente de un "punto de corte": ${\displaystyle M_{t}(\omega )}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n};t)={\begin{cases}f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&{\text{if }}ix_{i}\leq t,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Las restricciones adecuadas de la función kernel deben ser suaves y decrecientes rápidamente y dar lugar a espacios de funciones de prueba de ruido blanco y, por dualidad , a espacios de funciones generalizadas de ruido blanco, con ${\displaystyle \varphi _{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi \right\rangle \!\right\rangle :=\sum _{n}n!\left\langle \psi _{n},\varphi _{n}\right\rangle }$

generalizando el producto escalar en . Ejemplos de ello son el triple de Hida, con ${\displaystyle (L^{2})}$

${\displaystyle \varphi \in (S)\subset (L^{2})\subset (S)^{\ast }\ni \Psi }$

o las ternas más generales de Kondratiev. ^[4]

Uso de las funciones de prueba de ruido blanco

${\displaystyle \varphi _{f}(\omega ):=\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S),\quad f\in S(\mathbb {R} )}$

Se introduce la "transformada T" de distribuciones de ruido blanco estableciendo ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle T\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi _{f}\right\rangle \!\right\rangle .}$

De la misma manera, utilizando

${\displaystyle \phi _{f}(\omega ):=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int f^{2}(t)\,dt\right)\exp \left(-\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S)}$

La "transformada S" de las distribuciones de ruido blanco se define como ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle S\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\phi _{f}\right\rangle \!\right\rangle ,\quad f\in S(\mathbb {R} ).}$

Vale la pena señalar que para funciones generalizadas , con núcleos como en, ^{[ aclaración necesaria ]} la transformada S es simplemente ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \psi _{n}}$

${\displaystyle S\Psi (f)=\sum n!\left\langle \psi _{n},f^{\otimes n}\right\rangle .}$

Dependiendo de la elección del triple de Gelfand, las funciones y distribuciones de prueba de ruido blanco se caracterizan por las propiedades de crecimiento y analiticidad correspondientes de sus transformadas S o T. ^{[3] [4]}

La función es la transformada T de una distribución de Hida (única) si y solo si para toda la función es analítica en todo el plano complejo y de crecimiento exponencial de segundo orden, es decir, donde es alguna forma cuadrática continua en . ^{[3] [5] [6]}${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle f_{1},f_{2}\in S(R),}$${\displaystyle z\mapsto G(zf_{1}+f_{2})}$$${\displaystyle \left\vert G(\ f)\right\vert <ae^{bK(f,f)},}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle S'(\mathbb {R} )\times S'(\mathbb {R} )}$

Lo mismo es válido para las transformadas S, y teoremas de caracterización similares se aplican a las distribuciones de Kondratiev más generales . ^[4]

Para las funciones de prueba existen derivadas parciales direccionales: ${\displaystyle \varphi \in (S)}$

${\displaystyle \partial _{\eta }\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \eta )-F(\omega )}{\varepsilon }}}$

donde puede variarse mediante cualquier función generalizada . En particular, para la distribución de Dirac se define la "derivada de Hida", que denota ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta =\delta _{t}}$

${\displaystyle \partial _{t}\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \delta _{t})-F(\omega )}{\varepsilon }}.}$

La integración gaussiana por partes produce el operador dual en el espacio de distribución

$${\displaystyle \partial _{t}^{\ast }=-\partial _{t}+\omega (t)}$$

Un gradiente de dimensión infinita

${\displaystyle \nabla :(S)\rightarrow L^{2}(R,dt)\otimes (S)}$

viene dado por

${\displaystyle \nabla F(t,\omega )=\partial _{t}F(\omega ).}$

El laplaciano (" operador de Laplace-Beltrami ") con ${\displaystyle \triangle }$

${\displaystyle -\triangle =\int dt\;\partial _{t}^{\ast }\partial _{t}\geq 0}$

juega un papel importante en el análisis de dimensión infinita y es la imagen del operador numérico del espacio de Fock .

Se puede definir una integral estocástica, la integral de Hitsuda–Skorokhod , para familias adecuadas de distribuciones de ruido blanco como una integral de Pettis.${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \int \partial _{t}^{\ast }\Psi (t)\,dt\in (S)^{\ast },}$

generalizando la integral de Itô más allá de los integrandos adaptados.

En términos generales, hay dos características del análisis de ruido blanco que han sido destacadas en las aplicaciones. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

En primer lugar, el ruido blanco es un proceso estocástico generalizado con valores independientes en cada momento. ^[12] Por lo tanto, desempeña el papel de un sistema generalizado de coordenadas independientes, en el sentido de que en varios contextos ha sido fructífero expresar procesos más generales que ocurren, por ejemplo, en ingeniería o finanzas matemáticas, en términos de ruido blanco. ^{[13] [9] [10]}

En segundo lugar, el teorema de caracterización expuesto anteriormente permite identificar diversas expresiones heurísticas como funciones generalizadas del ruido blanco. Esto resulta especialmente eficaz para atribuir un significado matemático bien definido a las denominadas " integrales funcionales ". En particular, a las integrales de Feynman se les ha dado un significado riguroso para grandes clases de modelos dinámicos cuánticos.

Las extensiones no conmutativas de la teoría han surgido bajo el nombre de ruido blanco cuántico y, finalmente, la invariancia rotacional de la función característica del ruido blanco proporciona un marco para las representaciones de grupos de rotación de dimensión infinita.